經典力學的數學方法(五)流形上的Lagrange力學

03-02

上一篇文章介紹了變分，並且說明了 $Newton$ 方程的運動曲線正是以 $L=frac{1}{2}mdot{x}^2-U(x)$ 為 $Lagrange$ 函數的曲線變分問題的駐定曲線，這表明 $Newton$ 力學和 $Lagrange$ 力學是等價的(需要強調的是只有在保守力對應的力學系的情況才下是等價的，其次，我們只討論了相空間是 $R^{3n}oplus R^{3n}$ 中的開集的情形)。從數學角度來看，既然 $Lagrange$ 力學和 $Newton$ 力學是等價的，只不過是把 $Newton$ 方程換一種說法罷了，那麼究竟為什麼要研究 $Lagrange$ 力學呢?這是因為， $Lagrange$ 力學可以很好的處理約束力學問題。

A.從單擺問題談起

我們已經討論過，單擺問題的相空間不是 $R^2oplus R^2$ ,因此用 $R^2$ 中的坐標 $x(t)$ 來描述運動是不合適的，事實上，我們在運動穩定性那一篇文章中將問題化為了局部坐標的一個 $Newton$ 方程。

現在，我們重新審視一下單擺的受力情況。小球只受重力(保守力)和拉力的作用，並且拉力方向垂直於小球的運動軌跡方向，顯然，在運動過程中拉力是不做功的，我們的第一個問題是，拉力的大小是否影響小球的運動，如果不影響，那麼在分析小球運動時拉力只是一個可有可無的力，它的作用僅僅是和重力的分量抵消，從而使小球留在圓弧上。

為此，我們設小球的運動方程是 $x(t)$ ,有 $mddot{x}=F+G$ ,兩邊和 $dot{x}$ 作內積，得到

$m<ddot{x},dot{x}>=<G,dot{x}>$ ,注意到左側可以化成動能的導數，即:

$frac{dfrac{1}{2}m<dot{x},dot{x}>}{dt}=<G,dot{x}>=<-frac{partial U}{partial x},dot{x}>=-frac{d}{dt}U(x(t))$ (注意，如果兩邊通積分我們就得到了動能的改變數是重力所做的功的這一事實);

我們的想法是考慮把上面的方程化為局部坐標 $heta$ 下的方程( $heta$ 代表角度），而這是十分容易的,設小球運動軌跡為 $heta(t)$ :注意到

$frac{1}{2}m<dot{x},dot{x}>=frac{1}{2}mdot{ heta}^2$ ,且 $-frac{d}{dt}U(x(t))=-frac{d}{dt}U( heta(t))=-<frac{partial U}{partial heta},dot{ heta}>$ (其中後面的兩個 $U$ 應該看成勢能 $U$ 限制在圓弧上)，從而得到：

$mddot{ heta}=-frac{partial U}{partial heta}$ ,這是一個確定的方程，且表達式與 $F$ 無關。因此，正如前文所說的，在考慮小球運動時，如果知道小球的軌道，那麼這樣的力 $F$ 的效果只是確保小球留在此軌道上，在確定小球的運動方程時不再提供更多的信息，而是由勢能函數 $U$ 來提供(事實上只要知道 $U$ 在軌道上的限制)。

上面的方程 $mddot{ heta}=-frac{partial U}{partial heta}$ 對應的 $Lagrange$ 函數是 $L=frac{1}{2}mdot{ heta}^2-U( heta)$ ,因此對應於一個曲線空間上的變分問題: $Phi( heta)=int_{t_0}^{t_1}frac{1}{2}mdot{ heta}^2-U( heta)dt$ 。有意思的是， $L$ 確定了圓弧的切叢上的一個函數:如果 $dot{q}$ 是 $q$ 處的一個切矢量，則 $L(q,dot{q})=frac{1}{2}<dot{q},dot{q}>-U(q)$ ( $L$ 在坐標 $heta$ 下的表示正是 $frac{1}{2}mdot{ heta}^2-U( heta)$ ),其中這裡的內積是歐式內積的 $m$ 倍，依然用相同的內積記號來表示。

因此，上述變分問題可以寫成不依賴於坐標的形式: $Phi(gamma)=int_{t_0}^{t_1}L(gamma,dot{gamma})dt$ ,其中 $L(q,dot{q})=frac{1}{2}<dot{q},dot{q}>-U(q)$ 。

B.流形上的 $Lagrange$ 力學

我們現在總結單擺問題討論所得的一些結果，嚴謹的給出一些推廣和定義。

設 $M$ 是 $R^3$ 的一個嵌入子流形，勢能 $U$ 在 $M$ 上的約束力學是由變分： $Phi(gamma)=int_{t_0}^{t_1}L(gamma,dot{gamma})dt$ 所確定的，其中: $L(q,dot{q})=frac{1}{2}<dot{q},dot{q}>-U(q)$ 是切叢上的函數,這裡 $<,>$ 是歐式內積的 $m$ 倍，它誘導了 $M$ 上的 $Riemann$ 度量。

關於變分的駐定曲線所滿足的式子(我們希望有類似 $Lagrange$ 方程的推廣),我們有:

Th1若 $gamma$ 是上述變分問題的駐定曲線，則 $gamma$ 局部的滿足 $Lagrange$ 方程，即有:設 $gamma$ 在局部坐標 $q$ 下的表示是 $q(t)$ ,則 $q(t)$ 滿足 $frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}=frac{partial L}{partial {q}}$ 。

上述定理的證明只需要局部的考慮問題就可以了，即如果 $gamma$ 是 $Phi(gamma)=int_{t_0}^{t_1}L(gamma,dot{gamma})dt$ 的駐定曲線，則其在更小的時間段上也是駐定曲線，從而局部的滿足 $Lagrange$ 方程。

從Th1中我們可以看出 $Lagrange$ 力學的長處了:變分問題可以大範圍的定義，而微分方程(無論是 $Newton$ 方程也好還是它的推廣 $Lagrange$ 方程也好)是不可以的，從而我們可以整體，簡潔的定義一個約束力學系，這就是 $Lagrange$ 力學的優點。

C.求解約束問題的一般步驟

我們在部分B中給出了流形上的力學系的定義方式，這是抽象的，現在我們從實用的角度來進行講解。

問題1:如何確定一個力學系的構形流形?(即被約束到的那個流形?)

如果質點能從流形上的任意位置，以任意切於流形的速度開始，在流形上無限的運動下去，則這一流形就是力學系的構型流形。

問題2.如何確定 $Lagrange$ 函數?

只需要確定勢能函數 $U$ 即可，則 $L=frac{1}{2}<,>-U$ ，尋找 $U$ 的具體方式是尋找運動時力方向不總是垂直於流形切平面的保守力。

問題3.如何求確切的運動方程?

尋找流形的局部坐標,例如是 $x_1,x_2$ ,計算 $<frac{partial}{partial x_1},frac{partial}{partial x_1}>$ 和 $<frac{partial}{partial x_2},frac{partial}{partial x_2}>$ ,從而若設 $gamma=(x_1(t),x_2(t))$ 是局部表示下的曲線坐標，則 $L(gamma,dot{gamma})=frac{1}{2}dot{x}_2(t)^2<frac{partial}{partial x_2},frac{partial}{partial x_2}>+frac{1}{2}dot{x}_1(t)^2<frac{partial}{partial x_1},frac{partial}{partial x_1}>-U(gamma(t))$ ,求局部坐標系下的 $Lagrange$ 方程即可得到運動方程的局部表示。

D. $Lagrange$ 動力系統

流形上的 $Lagrange$ 動力系統指的是曲線變分問題 $Phi(gamma)=int_{t_0}^{t_1}L(gamma,dot{gamma},t)dt$ ,這裡 $L$ 是任意定義在切叢上的可微函數。其局部也滿足 $Lagrange$ 方程。這種一般的情況是我們將要考慮的。

注:以上幾個部分我們只考慮了單點系的情形，多點系的情形可以完全類似的平移。