經典力學的數學方法（四）變分學

03-02

前三篇文章我討論了關於 $Newton$ 力學的一些經典話題，在這篇文章中，我將討論一種新的力學，即 $Lagrange$ 力學，它和 $Newton$ 力學所不同的地方在於它使用了變分法。

A.變分法

由微積分我們知道函數的極值點總是駐點，即函數的梯度 $abla f=0$ 的點，只有駐點處才可能去到函數的極值。推廣這一概念，我們就有了變分的概念。

首先，我們需要有一個空間 $H$ ，不妨設 $H$ 是 $Hilbert$ 空間.其次我們需要 $H$ 上的一個泛函 $f$ ,一般來說 $f$ 是非線性的，即不再有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ,但是我們希望 $f$ 具有一定的光滑性質: $f(x+h)-f(x)=Th+o(left| h ight|)$ ,其中 $T$ 是 $H$ 上的有界線性運算元。由 $Riesz$ 表示定理，知道 $exists g in H,s.t. Th=(h,g),forall hin H$ ,我們稱 $g$ 是 $f$ 在 $x$ 處的梯度，記為 $abla f(x)=g$ . $f$ 的臨界點點就是使得 $abla f(x)=0$ 的那些 $x$ 。

關於變分的一個經典的例子是求調和方程 $Delta u=f ,uigg|_{partial {Omega }}= 0$ 的解，其中 $uin H_{0}^{1}(Omega)$ ,則方程的解等價於變分 $L(f)=int_{Omega}^{}frac{1}{2} left| Df ight|^2-fu$ 的臨界點即為方程的解。要注意的是，為了保證泛函能夠存在一個臨界點，我們至少要求空間是完備的。

B.曲線空間的變分

力學中的變分問題常常和數學嚴謹的定義有所出入。我們考慮所有連接 $R^3$ 中兩點 $a,b$ 的曲線空間 ${gamma (t):gamma (t_0)=a,gamma(t_1)=b }$ ,這裡 $t_0,t_1$ 是固定的兩個數。

這個空間根本不是線性空間，不過它是度量空間，我們可以按照距離定義一個度量。令 $L=L(q,dot{q},t)$ 一個函數，其中 $dot{q}$ 只是一個變數的記號而已。定義曲線空間上的一個泛函 $Phi(gamma)=int_{t_0}^{t_1}L(gamma,dot{gamma},t) dt$ 。

由於沒有線性結構，泛函的可微性和梯度需要另外定義: $Phi(gamma)$ 在 $gamma$ 處是可微的，如果 $Phi(gamma+h)-Phi(gamma)=S(h)+o(left| h ight|)$ 對任意 $h:h(t_0)=0,h(t_1)=0$ 的曲線成立，其中 $S$ 是線性的， $left| h ight|$ 是 $h$ 到原點的距離，也是 $gamma+h$ 與 $gamma$ 的距離。我們稱 $S$ 是一個變分，如果 $gamma$ 對應的 $S=0$ ，則稱 $gamma$ 是駐定曲線。

我們稱上述變分問題中的 $L$ 是 $Lagrange$ 函數。

一個最簡單的例子是我們可以取 $L(q,dot{q},t)=sqrt{1+left| dot{q} ight|^2}$ ,此時泛函就是長度函數，駐定曲線也自然應該是上述空間中長度最短的曲線，這當然應當是直線: $gamma(t)=frac {(t_1-t)a+(t-t_0)b}{t_1-t_0}$ .

下面我們計算 $Phi(gamma)$ 的變分 $S$ :

$Phi(gamma+h)-Phi(gamma)=int_{t_0}^{t_1}L(gamma+h,dot{gamma}+dot{h},t)-L(gamma,dot{gamma},t)dt$ ,用 $Taylor$ 公式展開，即得:

$=int_{t_0}^{t_1}[frac{partial L}{partial q}h+frac{partial L}{partial dot{q}}dot{h}]dt+o(left| h ight|)$ ;從而 $S(h)=int_{t_0}^{t_1}[frac{partial L}{partial q}h+frac{partial L}{partial dot{q}}dot{h}]dt$ ;對積分中第二項用分部積分: $S(h)=int_{t_0}^{t_1}[frac{partial L}{partial q}-frac{d}{dt}(frac{partial L}{partial dot{q}})]hdt$

由變分表達式知道，駐定曲線一定滿足: $frac{partial L}{partial q}-frac{d}{dt}(frac{partial L}{partial dot{q}})=0$ ,事實上，只需要證明如果 $int_{t_0}^{t_1}f(t)h(t)dt=0$ 對任意 $h$ 滿足 $h(t_0)=h(t_1)=0$ 成立，則有 $f(t)=0$ 成立，而這是容易的。

總之我們得到:

Th1駐定曲線滿足 $Lagrange$ 方程： $frac{d}{dt}(frac{partial L}{partial dot{q}})-frac{partial L}{partial q}=0$ 。

需要說明的是,變分問題不能總是保證存在一個臨界點，哪怕空間是完備的。事實上，曲線空間就是完備的度量空間，我們考慮重力場，發現只要 $x_0$ 比 $x_1$ 的位置低，就不存在從 $x_0$ 出發的連接 $x_1$ 的曲線，當然不跟 $x_0$ 在同一豎直方向的點也同樣如此。

C. $Newton$ 力學和 $Lagrange$ 力學的等價性

我們考慮保守的力學系 $mddot{x}=-frac{partial U}{partial x}$ .注意到 $mddot{x}=frac{d}{dt}frac{d}{d{dot{x}}}(frac{1}{2}mdot{x}^2)$ ,為了湊成 $Lagrange$ 方程的形式，我們令 $L=frac{1}{2}mdot{q}^2-U(q)$ ，於是發現， $Newton$ 方程的軌跡實際上就是一個變分問題的駐定曲線，因此 $Newton$ 力學和上述的變分問題是完全等價的，事實上，我們設 $t_0$ 時刻有狀態 $(x_0,v_0)$ ,則對所有在 $t_0$ 時刻過 $x_0$ 的駐定曲線中，找一條 $gamma$ ，使得 $dot{gamma}(t_0)=v_0$ 即可。

在之前的幾個部分我們都只考慮了單點系，對多點系也可以完全相同的定義和說明等價性，不再贅述了。