算算有多少個「步步高升數」（18年2月16日）

爆竹聲中一歲除，

春風送暖入屠蘇。

千門萬戶曈曈日，

總把新桃換舊符。

寫過年的詩詞中，

首推王安石的《春日》。

狗年的第一天，

祝您新年新氣象，

用稱心如意的「新桃」換掉所有的「舊符」。

今天的奧數題是關於排列組合的:

題目（3星難度）：

123是一個特殊的數，組成它的數字至少有2個，各不相同，且從小到大，這樣的數稱為「步步高升數」。請問自然數中共有多少個「步步高升數」？

答案：502。

輔導辦法:

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘還不能解答，由家長進行講解。

講解思路：

這道題屬於排列組合問題，

在解答之前，

先應確定構成「步步高升數」的數字特點，

再計算個數。

步驟1：

先思考第一個問題，

構成「步步高升數」的數字有哪些？

在0-9這10個數字中，

要使數字從小到大，

0一定不能有，

其餘數字都可以。

故數字是1-9這9個。

步驟2：

再思考第二個問題，

「步步高升數」有多少個？

顯然，「步步高升數」位數從2-9，

對2-9之間的數k來說，

任給1-9中間的k個數，

都唯一的確定了一個「步步高升數」。

給定k時，

「步步高升數」的個數等於從9個數中選出k個數的取法。

對k從2-9分別討論：

當k=2,取法為36，

當k=3,取法為84，

當k=4,取法為126，

當k=5,取法為126，

當k=6,取法為84，

當k=7,取法為36，

當k=8,取法為9，

當k=9,取法為1。

應用加法原理，

總數為502個。

註：如果熟悉排列組合的性質，

可以直接用2^9-1-9=502得出答案。