還是沒想好標題2——哈密頓力學

03-02

為什麼不從最小作用量原理出發呢。這一系列的出發點是給只學過普通物理但是對此感興趣的人看的，見拉格朗日力學，所以盡量從普通物理慢慢過渡到四大力學。公理化的文章一搜一大把，也沒必要重新打一遍公式了。

為什麼少了很多東西，哈密頓雅格比方程之類的。還是從出發點來看，見拉格朗日力學，並不是為了完全上一門理論力學課，只是相當於提供一個框架和往後繼續看的基礎，至少這一系列後面沒有用到這些。

為什麼沒有微振動、勢散射、剛體運動。LaTeX打矩陣太麻煩了。。。懶。有了清楚的圖像之後就可以自己看了，數學+物理背景+近似思想。

水平有限，歡迎討論。

嗯。就這樣吧。

哈密頓力學

勒讓德變換

勒讓德變換實際上將函數和它的對偶函數相聯繫，可以通過不同的變數來對系統進行描述。

[勒讓德變換]

函數 $f:I ightarrow mathbb{R}$ 的對偶函數 $f^*:I^* ightarrow mathbb{R}$ ，勒讓德變換為

$egin{equation} f^*(p) = sup_{xin I}(px-f(x)) end{equation}$

其中， $I^* = {p|f^*(p)<infty}$ ，當f是凸函數時，勒讓德變換是well-define的。且有 $f^{**}=f$ 。

實際上，勒讓德變換可以理解為給定一條過原點的斜率為p的直線，f的對偶函數將p映到這條直線與f的最大距離上。當f是可導的函數時，對求sup的部分求導，得到滿足最大值的x滿足

$p = frac{d f(x)}{d x}$

即該點處曲線的切線斜率與給定直線的斜率相等。當f為凸函數時，自變數與斜率是一一對應的，即存在逆映射， $x = (f)^{-1}(p) = g(p)$ 。因此，勒讓德變換為 $f^*(p) = pg(p) - f(g(p))$ 。函數f與其對偶函數實際上都是描述同一體系，只不過用了兩套地位等同的自變數，對偶函數將凸函數自變數的描述轉化為切線的描述。

哈密頓量

拉格朗日量實際上是利用廣義坐標和速度來描述系統的性質。利用勒讓德變換，我們可以將廣義速度轉化為廣義動量來描述，並且得到拉格朗日量的對偶函數哈密頓量。

[相空間]

相空間即為廣義坐標和廣義動量張成的2s維空間。

[哈密頓量]

系統的拉格朗日量為 $L(q,dot{q},t)$ ，那麼哈密頓量為

$egin{equation} H(q,p,t) = (sum_{alpha}p_{alpha}dot{q}_{alpha} - L)|_{p_{alpha}=partial L/partial dot{q}_{alpha}} end{equation}$

因為我們定義的廣義動量滿足去sup的條件，因此後面不再寫該要求。這裡也可以看出，哈密頓量也就是系統的廣義能量，當拉格朗日量不顯含時間時，哈密頓量守恆。當約束為定常約束時，哈密頓量等於系統真實能量，即H = T + V。

哈頓正則方程

對哈密頓量進行全微分

$egin{equation} egin{split} d H &= sum_{alpha} p_{alpha}ddot{q}_{alpha} + dot{q}_{alpha}d p_{alpha} - d L\ & = sum_{alpha} p_{alpha}ddot{q}_{alpha} + dot{q}_{alpha}d p_{alpha} - frac{partial L}{partial q_{alpha}}d q_{alpha} - frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}}d dot{q}_{alpha} - frac{partial L}{partial t}dt\ & = sum_{alpha} p_{alpha}ddot{q}_{alpha} + dot{q}_{alpha}d p_{alpha} - dot{p}_{alpha} d q_{alpha} - p_{alpha} d dot{q}_{alpha} - frac{partial L}{partial t}dt\ & = sum_{alpha} dot{q}_{alpha}d p_{alpha} - dot{p}_{alpha} d q_{alpha} - frac{partial L}{partial t}dt\ & = sum_{alpha} frac{partial H}{partial p_{alpha}}dp_{alpha} + frac{partial H}{partial q_{alpha}}dq_{alpha} + frac{partial H}{partial t}dt end{split} end{equation}$

上面用到了拉格朗日方程和廣義動量的定義。對比全微分的係數可以得到哈密頓正則方程。

[哈密頓正則方程]

$egin{equation} left{ egin{split} & dot{q} = frac{partial H}{partial p}\ & dot{p} = - frac{partial H}{partial q} end{split} ight. end{equation}$

泊松括弧

對一個函數 $f(q,p,t)$ ，將其時間導數展開，

$egin{equation} egin{split} frac{df(q,p,t)}{dt} & = frac{partial f}{partial t} + sum_{alpha}(frac{partial f}{partial q_{alpha}}dot{q_{alpha}}+frac{partial f}{partial p_{alpha}}dot{p}_{alpha})\ & = frac{partial f}{partial t} + sum_{alpha}(frac{partial f}{partial q_{alpha}}frac{partial H}{partial p_{alpha}} - frac{partial f}{partial p_{alpha}}frac{partial H}{partial q_{alpha}}) end{split} end{equation}$

上面用到了哈密頓正則方程。

[泊松括弧]

定義a, b的泊松括弧為

$egin{equation} [a, b] = sum_{alpha}(frac{partial a}{partial q_{alpha}}frac{partial b}{partial p_{alpha}} - frac{partial a}{partial p_{alpha}}frac{partial b}{partial q_{alpha}}) end{equation}$

泊松括弧滿足 $[q_{alpha},p_{eta}] = delta_{alpha eta}, ~ [a, b] = -[b, a], ~ [a, a] = 0, ~ frac{partial }{partial x}[a, b] = [frac{partial a}{partial x}, b] + [a, frac{partial b}{partial x}]$

，其中，x為參數。

用泊松括弧可以表示運動方程，對於力學量 $f(q,p,t)$ ，運動方程為

$egin{equation} frac{df}{dt} = frac{partial f}{partial t} + [f, H] end{equation}$

特別地，對廣義坐標和廣義動量，運動方程為哈密頓正則方程。利用運動方程也可以得到運動積分，若物理量f為運動積分，則 $frac{df}{dt} = 0$ ，運動方程為 $frac{partial f}{partial t} + [f, H]$ 。當哈密頓量不顯含時間時， $frac{dH}{dt} = [H, H] = 0$ 為運動積分。

[泊松定理]

若a, b是運動積分，則 $[a, b]$ 也是運動積分。