599.讀書37~《悖論：破解科學史上最複雜的9大謎團》

2017.09.28

很精彩的講解，仔細讀，不會有什麼障礙。

前言

悖論（paradox，亦可譯為詭論、謬論、詭局、佯謬、弔詭或矛盾）以各種不同的形式和難度出現。

「真悖論」指的是自相矛盾或循環論證的陳述，或者某種邏輯上不可能發生的情況。

真悖論是邏輯上不可能發生的

你瞧，「這句話是假的」是想告訴你，在宣稱這句話是假的同時，它本身必然也是假的，所以它就不是假的——也就是它是真的，所以這句話真的是假的，也就是真的……諸如此類，陷入一個無窮盡的循環。有很多類似這樣的悖論存在，但本書並不打算討論它們。

我們將要探討的許多謎團，乍看之下似乎是貨真價實的真悖論，不僅僅是認知悖論而已。這就是有趣的地方。以著名的「時光旅行悖論」簡化版為例：如果你搭乘一部時光機回到過去，殺掉幼年的自己，你這位殺手會發生什麼事？你會因為阻止自己成長，倏然之間不再存在嗎？如果是這樣的話，你從未長大成為一名時光旅行殺手，那是誰殺死了幼年的你？年長的你擁有完美的不在場證明——你甚至不曾存在過！假如你並未存在、無法回到過去殺死年幼的自己，年幼的自己就未被殺害，所以可以長大成人，接著回到過去並殺死年幼的自己，於是你又消失了，依此類推。這似乎是個完美的邏輯悖論，而且物理學家也尚未在理論上排除時光旅行的可能性。那麼，我們如何才能擺脫這種矛盾的循環呢？我將在第七章探討這個問題。

下面這個簡單的統計悖論，如果從某個基本的關聯性來思考就可能得出錯誤的結論：我們都知道，有較多教堂的城鎮普遍犯罪率較高。這似乎說不太通，除非你相信教堂是孕育不法犯罪的溫床。無論你的宗教和道德觀為何，這都是不可能的。解答非常直截了當：為數較多的教堂和較高的犯罪率，都是較多人口自然產生的結果。A導致B與A導致C，並不意味著B導致C，反之亦然。

統計悖論

接下來還有另一個簡單的動腦謎題，乍聽自相矛盾，一旦妥善解釋，它的矛盾特性就消失無蹤。它是由我的同事兼摯友，一位蘇格蘭裔的物理學教授，在多年前向我講述的。他聲稱「每一位南下到英格蘭的蘇格蘭人，都提高了兩個國家的平均智商」。關鍵在於：由於所有蘇格蘭人都聲稱自己比任何英格蘭人更聰明，只要他們其中任何一位住到英格蘭去，都會提高英格蘭的平均智商；然而離開蘇格蘭是愚蠢的行為，只有那些不怎麼聰明的人才會這麼做，所以他們離開後，剩餘蘇格蘭人的平均智商就提高了些。

動腦謎題

另外一則或許讀者沒那麼熟悉、但有些人仍然聽過的悖論，則是「麥克斯韋精靈」，這個神秘的存在管轄另一個密閉的箱子，而且貌似能夠違反最神聖的科學定律（也就是熱力學第二定律），迫使箱子中的混合物分離並呈現秩序。

愛因斯坦對於空間和時間的觀點，為邏輯難題提供了豐富的素材，例子包括竿與穀倉悖論、孿生子悖論和祖父悖論。

科學上的悖論

第一章綜藝秀里的悖論

本章所探討的只是一些邏輯方面的益智遊戲而已，不需任何科學背景即可解答。其中最後一個也是最有趣的一個，稱為蒙提霍爾悖論（MontyHallParadox），由於它特別令人困惑，我將使用較多的篇幅以數種不同方法來分析這個問題，讓讀者自行選擇最容易接受的答案。

消失的一塊錢之謎這是我幾年前在名為《心靈遊戲》的電視猜謎節目中擔任來賓時，用過的一個精采難題

三位旅客到某家旅館投宿。年輕的櫃檯接待員給他們一間有三張床的房間，收費30元。他們協議平分住宿費用，每人支付10元之後，便拿了鑰匙進房間安置行李。幾分鐘之後，櫃檯接待員發現自己弄錯了，旅館這一個禮拜正好有特價促銷活動，他應該只收他們25元。為了避免被旅館經理找麻煩，他立刻從收款機中取出5塊錢，並且趕緊上樓去彌補他所犯的過錯。在前往旅客房間的路上，他想到5元無法由三個人平分，於是決定退給每位旅客一元，自己留下兩塊錢。他自認為這是個讓每個人都滿意的好辦法。以下是我們要解決的問題：每位旅客為他們的住宿各付出9元，總計佔了原本旅館收費30元當中的27元，另外兩元被接待員拿走，那麼30元里的

最後一元哪裡去了呢？

是因為敘述上的誤導才使得這個問題聽起來自相矛盾。推理過程出錯之處在於：將客人付的27元與接待員拿走的兩元加總在一起——這樣算根本毫無道理，因為總金額已經不再是30元。接待員拿走的兩元要從旅客支付的27元當中扣掉，所以收款機里的總金額應該是25元才對。

總金額變了，接待員的錢要從旅客的27裡面減去

貝特朗箱子悖論「似是而非的悖論」的第二個例子由19世紀法國數學家約瑟夫·貝特朗提出。

有三個箱子，每個箱子里各有兩枚硬幣，放置方式如下：每個箱子都隔成兩半；每一半各放一枚硬幣，而且蓋子可以單獨打開來查看裡頭的硬幣種類（但不允許查看另一枚）。第一個箱子里放了兩枚金幣（代號GG），第二個箱子里放了兩枚銀幣（代號SS），第三個箱子則有金幣和銀幣各一枚（代號GS）。請問你選到內有金幣跟銀幣的箱子概率有多少？答案的確很簡單：三分之一。這一點都不難。接著，隨機挑選一個箱子。如果打開半邊的蓋子發現裡面是金幣，這個箱子是GS箱的概率有多少？在發現一枚金幣的當下，你已經知道這個箱子不可能是SS箱，排除之後只剩兩種可能性：GG箱或GS箱。因此它是GS箱的概率是二分之一，對吧？假如打開蓋子出現的是銀幣，我們就可以排除GG箱的選項，剩下的只有SS箱或GS箱兩種可能，所以選到GS箱的機會依然是二分之一。

由於打開選定的蓋子出現的不是金幣就是銀幣，而且每種硬幣各有三枚，若兩者出現的概率相同，那麼不論出現何種硬幣，你都有一半的概率選中GS箱。也就是說，往某個箱子的其中半邊瞧了一眼之後，選中GS箱的整體概率竟然從一開始的三分之一變成二分之一。可是，只不過才瞧了某個硬幣一眼，怎麼會使概率產生這麼大的變化？如果隨機選出一個箱子，打開其中一個蓋子之前，你知道選出的箱子有三分之一概率是GS箱；僅僅憑著看到其中一枚硬幣，究竟是怎麼使得概率從三分之一突然變成二分之一的？畢竟這個動作並不會帶來新的信息，你心裡明白，出現的不是金幣就是銀幣。究竟哪裡出問題了呢？

正確答案是，不論是否查看其中一枚硬幣，選到GS箱的概率一直都是三分之一，而非二分之一。

概率不會因為觀察其中一個而變化

生日悖論這是最著名的「似非而是的悖論」之一。

你認為房間里至少要有多少人，才能讓其中任意兩人同一天生日的概率超過一半——也就是說，任意兩人生日相同的概率比不同來得高？

房間里只需要57個人，就可以讓任意兩人同一天生日的概率超過99％。

也就是說，只要57個人，就幾乎能確定其中有兩個人同一天生日！

這個答案聽起真是令人難以置信。

若只針對問題來回答，任意兩人生日相同的可能性比不同還高（也就是概率超過一半）所需的人數則遠低於57。事實上，只要23個人就足夠了！

反常識

蒙提霍爾悖論這個難題可追根溯源至貝特朗箱子悖論，它同時也是闡釋「條件概率」的典型範例之一。

蒙提·霍爾：這裡有三個標記為A、B、C的盒子，其中一個裡面有1975年出廠、全新的林肯·大陸汽車的鑰匙，另外兩個是空的。如果你選中的盒子里有鑰匙，就能贏得這部汽車！參賽者：（倒吸一口氣）！蒙提·霍爾：請挑選一個盒子。參賽者：我選盒子B。

蒙提·霍爾：現在桌上有盒子A和C，然後這是盒子B（被參賽者緊緊抓住），汽車鑰匙有可能就在這個盒子里！我出一百美元換你的盒子。參賽者：不要，謝謝。蒙提·霍爾：兩百美元如何？參賽者：不行！觀眾：不要！蒙提·霍爾：別忘了鑰匙在你盒子里的概率是三分之一，盒子是空的概率則是三分之二。我出五百美元跟你換。觀眾：不要！！參賽者：不，我想保留這個盒子。

蒙提·霍爾：我來幫你打開桌上其中一個盒子（打開盒子A）。這盒子是空的！（觀眾鼓掌）。現在，車鑰匙不是在盒子C、就是在你手上的盒子B里。既然只剩兩個盒子，鑰匙在你選的盒子里概率就變成二分之一了。我願意出一千美元換你的盒子。

參賽者：我想用我的盒子B跟你交換桌上的盒子C。蒙提·霍爾：這就怪了！！提示：參賽者知道自己在做什麼

不過平心而論，他確實引述了蒙提所說的：「我來幫你打開桌上其中一個盒子。」我把這句話解釋成：蒙提·霍爾完全知道他即將打開的盒子是空的。果真如此的話，那麼這就是我所熟悉的問題了。稍後我們將會明白，問題的解答系建立在「蒙提·霍爾知道鑰匙在哪裡」的前提上，雖然這個前提看似無關緊要——畢竟對參賽者來說，這怎麼可能會影響猜中的概率呢？

一試便知莎凡特在她最後一次探討這個悖論的專欄里，公開了1000多所學校對此問題進行實作驗證的結果。幾乎所有結果都顯示，換門才是正確的選擇。這種「一試便知」的解答方式，也是我在幾年前向朋友解釋這個悖論時不得不採用的方法。

看起來策略是要改變選擇

第二章阿基里斯與龜

這個謎題名為「阿基里斯悖論」（theParadoxofAchilles），又稱為「阿基里斯與龜的問題」，它其實是希臘哲學家芝諾（Zeno）所提出的一系列問題之一。

在一場與身手矯健的阿基里斯的賽跑中，烏龜被允許率先出發；當阿基里斯起跑時，烏龜已經抵達路途中的某處（姑且稱為A點）。由於阿基里斯跑得比烏龜要快許多，他很快就抵達A點。然而，當他跑抵該處時，烏龜已經移動到更遠的地方，我們把它稱做B點。當阿基里斯跑抵B點，這時烏龜已經爬到更遠的C點；這個過程不斷重複。儘管阿基里斯不斷追近烏龜，每個階段兩者之間的差距也不斷縮小，前者卻永遠不可能超越後者。

微積分的觀點了

儘管如此，活躍於芝諾之後100年的亞里士多德依然將他視為「辯證法」這個論證方式的創始人。

芝諾是辯證法創始人

辯證法是古希臘人（尤其是柏拉圖與亞里士多德等哲學家）擅長的一種開放式討論，透過邏輯與推理在討論中解決想法意見上的歧異。

芝諾的所有悖論都圍繞著一個中心思想：一切都是亘古不變的；運動狀態只是一種假象，而時間本身並未真正存在。

其中最著名的4個悖論分別被亞里士多德命名為：阿基里斯（theAchilles）、二分法（theDichotomy）、運動場（theStadium）與飛矢不動（theArrow）悖論。

「阿基里斯永遠無法超越烏龜」的敘述顯然不對。在以上所述的每一階段里（A點與B點之間，接著是B點與C點之間，依序下去），逐步遞減的距離同時意味著著逐步遞減的時間間隔，因此無窮多個步驟並不等於無限長的時間。事實上，所有步驟加總起來得到的時間是有限的，也就是阿基里斯追上烏龜所耗的時間！

這個悖論的矛盾癥結在於，多數人無法接受將一串無窮長的數列累加之後，總和卻不見得無窮大。

這個矛盾的破解有賴於數學家所稱的「幾何級數」。考慮以下級數的例子：1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32……讀者當然可以試著將愈來愈小的分數不斷累加上去，使得總和愈來愈接近2。

我們應當考慮每階段阿基里斯與烏龜之間逐漸遞減的距離，而非兩者的個別位置。

芝諾的問題字阿語，窮多個相加，並不見得就無窮大

二分法悖論

在到達目的地之前，你必須先走完一半的路程。在走完一半路程之前，你必須先走完四分之一。在走完四分之一路程之前，你必須先走完八分之一路程，以此類推。

如果將路程一直減半，你永遠抵達不了第一個里程碑，你的旅程永遠無法開始。

路程一直減半，所以旅程永遠無法開始

運動場悖論

設想三列火車，每列火車有一節火車頭與兩節車廂。第一列火車停靠在火車站。第二列與第三列火車以相同的速率反向等速過站，但不停靠；B列車從西側進站，C列車從東側進站。在某個瞬間，三列火車的位置如圖2.2（a）所示。接著，在一秒之後，它們恰好並列，如圖2.2（b）。

芝諾悖論的問題在於B列車的運動：在這一秒之內，它通過A列車一節車廂的距離，但卻通過C列車兩節車廂。此悖論指出，在這段時間內，B列車同時前進了一倍與兩倍的距離。

這個悖論很容易解決，因為推理過程的錯誤顯而易見。有種叫做相對速率的物理量；B列車相對於逆向駛來的C列車與靜止的A列車，速率當然是不同的。

相對速度

飛矢不動悖論

亞里士多德是這麼描述它的：「當物體靜止時，其所佔空間大小保持不變；若其移動時的任一瞬間也總是佔據相同大小的空間，則飛矢不動。」

要讓這個悖論完全塵埃落定，有賴於物理學與數學的後續發展。更明確地說，17世紀牛頓及其他數學家所發展出來的微積分，幫助我們理解如何加總微小的變化量來正確描述「變化」的概念，使芝諾天真的想法最終得以釐清。

樸素的微積分觀點

量子力學是描述微觀世界如何運作的理論。

我必須在一開始就特彆強調，量子力學的數學理論本身既不詭異也不矛盾。相反地，它嚴謹美妙並且符合邏輯，是一個能夠完美描述自然界物理現象的理論架構。

斯拉與蘇達桑發表在《數學物理期刊》的論文描述以下驚人狀況：當一個放射性原子持續受到嚴密的觀測時，它將永遠不會衰變！

在量子力學領域，芝諾的悖論似乎又有新的發展。

第三章奧伯斯佯謬

當我們抬頭凝望夜空時，可能會提出一個非常深奧的問題：為什麼入夜之後天色會變暗？

這個問題困惑他們好幾百年。它就是「奧伯斯佯謬」。問題是這麼來的：我們有足夠的理由相信，即使宇宙不是無窮大（而且很可能真的不是），它也大到我們無法到達其邊界。當我們從每個方向遙望天空，都應該會看到一顆星星，它讓白天的天空變得更明亮——它應該一直都很亮，不管日升日落、白日黑夜。

奧波斯佯謬，為什麼夜空沒有被恆星點亮

當各位讀者頭一次面對這個難題時，也許會從此章開頭裡的說明提出兩個疑點。首先，你會問：遙遠的星星不是因為太暗，所以我們看不到嗎？第二個疑點是：星星並不是均勻分布在宇宙里的，對吧？它們不是聚集成星團，星團再聚集成星系嗎？

第一個問題的回答是，雖然較遠的星體顯得比較近的星體暗，不過由於前者距離較遠，它們其實在太空中所佔的區域較大，也包含了為數較多的星星。

至於第二個疑點，星星在宇宙中的確不是均勻地分布，而是集中在各個星系裡，就像秋天的落葉被掃成一堆一堆這樣。然而論點並未因此改變，只要將星星換成星系即可：也就是夜空將會跟一般的星系一樣亮——儘管不像恆星的表面那麼亮，卻依舊亮得令人睜不開眼睛。

直到1950年代，這個悖論才首度由來自德國不來梅19世紀的醫生兼業餘天文學家海因里希·威廉·奧伯斯正式提出，並以他的名字命名。

看來我們又回到問題的原點，開普勒的觀點似乎成為唯一的合理解釋：宇宙並非無窮大，否則夜晚的天空就不會是暗的。

愛因斯坦的廣義相對論用一種截然不同卻遠為精準的方式來描述重力。它指出，重力並不全然是一種普通的「力」，也就是說，它不是一條將兩個物體拉近的隱形橡皮筋，而是一切帶有質量的物體周遭空間形狀的某種度量。

埃德溫·哈勃是第一位證明銀河系外還有其他星系存在的天文學家。

他的觀測顯示遙遠的星系正在遠離地球，而且遠離速率與距離地球的遠近相關。不論望遠鏡朝向天空的哪個方向，都能觀測到此一現象。他的發現證明了弗里德曼關於宇宙正在擴張的想法是正確的。

哈勃發現宇宙在擴張

我們的宇宙有個起源已經無庸置疑。三個有力的證據包括：宇宙背景輻射（大爆炸的餘暉，正好落在預測的波長上）；元素的相對比例；以及透過望遠鏡清晰可見的宇宙擴張。這三個證據都指向宇宙創生的那一刻。

夜空之所以幽暗，是因為宇宙是有起源的。

光本身不具質量，使它得以用宇宙所容許的極速傳播。

然而，跟宇宙尺度相比，光速就沒那麼驚天動地了。我們與銀河系內其他恆星之間的距離，已經大到光得耗時數年才能從最近的恆星抵達地球，遑論星系之間的距離了。

正是光速的有限性讓我們得以解開奧伯斯佯謬的矛盾。由於宇宙年齡將近有140億歲，只有離我們夠近的星系，光線才會到達地球被我們看到。

我們所見的星空其實只是整個宇宙的一小部分，稱之為「可見宇宙」。即使透過最強大的望遠鏡，我們也無法看得比上述太空中的「視界」更遠，因為它同時也是時間上的視界。

答案就是它了。第一個正確解決奧伯斯佯謬的不是科學家，而是詩人。有歷史學家辯稱，愛倫·坡的論述不過個臆測，應該等到19世紀最偉大科學家之一的開爾文爵士在1901年發表完整的計算結果，這個悖論才算真正獲得解決。不過開爾文基本上只是提供愛倫·坡構想的數學證明罷了。不論我們願不願意接受，愛倫·坡的確答對了。

所以，該怎麼回答我們一開始的問題：「為何入夜之後天色會變暗？」答案是，因為宇宙源起於大爆炸。

問題的答案是，宇宙是有起源的，遙遠的光還沒有來到我們的地球視野

第四章麥克斯韋精靈

如果讀者巧遇一群物理學家，並且請教他們個人認為科學史上最重要的概念是什麼，他們很可能不約而同選擇熱力學第二定律。

麥克斯韋精靈悖論是個簡單的構想，卻讓許多偉大的科學頭腦絞盡腦汁，甚至還開創出嶄新的研究領域。

這全都是因為它挑戰了自然界至高無上的定律——熱力學第二定律。這個定律僅僅簡單規範了熱與能量如何傳遞與運用，影響卻極為深遠。

根據熱力學第二定律，如果將一隻冷凍的雞放到熱水瓶上，那麼你預料雞將開始解凍，熱水瓶同時開始降溫。（這是我向家人解釋此一定律時，他們想到的例子。）讀者絕不會觀察到熱能往反方向傳遞，使熱水瓶變得更熱，雞變得更冰。

熱能必定從高溫處往低溫處流動，永遠不會跑錯邊，而且在達到熱平衡、溫差降為零之前，都不會停止。

熱力學第二定律

熱能必定從高溫處往低溫處流動，永遠不會跑錯邊，而且在達到熱平衡、溫差降為零之前，都不會停止。

熱力學第二定律

我們接下來探討麥克斯韋精靈的問題。原始構想概述如下：想像一個絕熱的盒子，裡面只有空氣，中間被一道絕熱的厚隔板隔成兩半。隔板上有一道活門，當一個空氣分子從任一側接近時會迅速開閉，讓分子通過隔板進入另一側。箱子兩側的氣壓會維持相等，因為假使任何一邊的壓力升高，碰到活門進入另一側的空氣分子就會增多，使兩側壓力恢復平衡。

這個過程會持續進行，箱子兩邊不會產生溫度差。

麥克斯韋精靈是一種假想的微小生物，擁有絕佳的視力，能分辨單獨的空氣分子及其運動速度。接下來我們讓精靈來控制活門的開關，而非任其自行啟閉。雖然它允許同樣數目的分子通過活門，但這裡還需要考慮一個額外因素：精靈的知識——它只允許快速分子從左側隔室通過活門進入右側，慢速分子由右側進入左側。

隨著精靈負責掌控活門的開閉，盒子右側隔室的快速分子逐漸增加，氣體溫度也逐漸升高；左側隔室不斷累積慢速分子，所以溫度下降。看來僅僅運用這個精靈具備的知識便能在盒子左右隔室之間建立溫度差。這個現象違反了熱力學第二定律。

麥克斯韋精靈，負責去讓快速分子和慢速分子分別聚集

熱力學總共有四條定律，全都關於熱與能量之間彼此如何轉換，但四條定律之中沒有任何一條的重要性比得上第二定律。想到這個物理學裡最重要的定律之一竟然連熱力學定律的第一條都排不上，總令我不禁莞爾。

熱力學第一定律直截了當地指出，能量可以在不同形態間互相轉換，但是不能憑空產生或消滅。

第二定律表明，一切物品都會逐漸耗損、冷卻、鬆弛、衰老與退化。它解釋為何糖會在熱水中溶解，而非凝結成塊；它也解釋玻璃杯里的冰塊為什麼總是無可避免地融化，因為熱量一定是由較溫暖的水傳遞到較冷的冰塊，絕不會顛倒過來。

熱力學第一和第二定律

為了讓讀者更透徹地了解第二定律，我必須介紹一個叫做「熵」的物理量。

我們發現，熱力學第二定律具有統計性的本質，不管物理世界任何特定的性質為何。低熵值態演變為高熵值態的概率完全壓過逆向進行的可能性

將能量轉換作功的能力愈強，該系統就處於熵值越低的狀態。舉例而言，充飽電的電池熵值最低，而熵在放電的過程中不斷升高。

熱力學第二定律基本上是一個關於熵的陳述：一個系統的熵只會增加而不會減少，除非從外界輸入額外的能量。在發條玩具的例子里，上緊發條降低它的熵並未違反第二定律，因為上發條時系統本身（發條玩具）與環境（我們）不再彼此隔絕。玩具的熵雖然減少，但由於我們對它「作功」把發條上緊，我們自身增加的熵比玩具減少的還多。整體而言，玩具加上我們的總熵還是增加的。

第二定律也因此決定時間流逝的方向。

熵是描述混亂程度的，熵越高，越混亂

19世紀蘇格蘭數學物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋，他以發現光即是電磁波而聞名於世在1867年所發表的一場演講里，他提出這個著名的假想實驗：一個虛擬的精靈身負推翻熱力學第二定律的重任，把守盒子里兩個隔室之間的活門。它控制活門的方式就像一個閥，只允許高速的「熱」氣體分子單向通過，慢速的「冷」氣體分子只能反向通過。它藉此將空氣分子分類，使一邊的隔室變熱，另一邊的隔室變冷。

當盒子一側的空氣壓力較高時，隔板打開後這些高壓空氣將會沖向另一側，使盒子里的壓力達到平衡，同時伴隨著熵的增加。這種因壓力差引起的氣流可用來作功，比如推動風力渦輪產生些許的電力。因此，建立這種壓力差顯然與儲存能量的效果類似，就像將發條玩具上緊，或是將電池充電。如果這個程序自發產生，將違背熱力學第二定律。

麥克斯韋提出精靈

我想向讀者介紹一位名叫利奧·西拉德的匈牙利科學家兼發明家。在1928年到1932年這段創造力的顛峰期，西拉德發明了史上最重要的幾部機器，儘管當時他才30出頭。這些機器目前仍用於科學研究上，它們分別是：1928年發明的線性粒子加速器，1931年的電子顯微鏡，以及1932年的迴旋粒子加速器。

西拉德的真知灼見在於，他指出了信息在這個悖論情境里所扮演的角色。他的論點是，精靈必定將能量消耗在測量分子速度這個動作上，而非控制活門的開關。要獲得信息必然得付出能量，精靈在腦海里將信息組織起來的過程便會消耗能量。

從最根本的角度來看，信息其實不過是大腦或計算機記憶庫的某種有序狀態，亦即某種低熵態。當我們擁有愈多信息，我們的大腦就更結構化與組織化，熵也就愈低。

頭腦中的信息也是低熵態，要消耗能量

這類機械裝置主要分為兩大類。第一種永動機違反的是熱力學第一定律，它們不須輸入能量就可以作功。

第二種永動機雖然沒有違反第一定律，卻因為採用某種使熵減少的方式將熱能轉換成機械能，而違反熱力學第二定律。

永動機

熱力學第三定律說的是「當一個完美晶體的溫度降到絕對零度時，其熵亦降為零」。

第零定律指出，如果兩個物體各自同時與第三個物體達成熱平衡（thermodynamicequilibrium，也就是溫度相等的科學說法），那麼兩者之間必然也處於熱平衡

熱力學第三和第零定律

第五章竿與穀倉悖論

有位撐竿跳選手，握著一支與地面平行的竿，以極快的速度衝刺。為了使下列描述的效應夠顯著，我們得假設該選手奔跑的速度接近光速！他跑進一間長度跟他手上的竿一樣長的穀倉。在起跑前他已經用這支竿丈量過穀倉的長度，知道兩者等長。穀倉前後門皆敞開，他一路奔跑穿過穀倉沒有減速。假使我們對相對論一無所知，就會認為竿尾會在某一刻正好進入穀倉，同一時刻竿頭正要穿出穀倉。

撐桿與穀倉悖論

根據愛因斯坦相對論的預測，各種現象正是在這種速度之下才開始變得怪異而有趣起來。其中一個與本章內容息息相關的現象，就是高速移動物體的長度看起來比靜止時來得短。也許有讀者認為這個現象完全可以理解；畢竟物體呼嘯而過的速度快到讓你產生物體變短的錯覺，當你測出前端的位置時，尾端已經又往前移動了一些。不不不，不是這樣的，如果情況有這麼簡單就好了。

於是悖論出現了：對於觀察到長度縮短的竿進入穀倉的讀者而言，竿比穀倉還短，可想見在某段短暫的時間裡穀倉的前後門能夠同時關上（使用適當的觸發裝置的話），將整根竿子關在穀倉里。但對撐竿跳選手而言，竿子的長度超過穀倉，無法關進穀倉里。讀者與選手不可能兩者都是對的吧？正確答案卻是：兩位的確都對。

接近光速運動的物體，變短了

想像一部正在駛來的汽車所發出的噪音。聲波的速度快得多，因此能在車輛抵達之前傳送到你耳里，而聲波的傳播速率只跟振動的空氣分子能將波動傳遞得多快有關。聲波並不會因為受到行駛中的汽車「推進」而更快傳送到你身上。真正發生的情況是，當車子愈來愈靠近，你與車子之間的波紋被擠壓得更密，波長變短，頻率變高。這種稱為「多普勒效應」（Dopplereffect）的現象對我們而言並不陌生，例如從救護車接近再遠離的過程中警笛音調的變化，以及賽車在賽道上飛馳而過時引擎怒吼的聲調變化都可以察覺出來。

多普勒效應，波被壓縮，波長變短，頻率變高

邁克爾遜與莫雷將這個原理應用到光波上。他們設計了一個絕妙的實驗裝置，相信它將成為史上第一個偵測到以太並確認其存在的實驗。

他們在實驗室里能夠測量兩道光束行經兩段不同的等距路徑所需的時間，並達到不可思議的精確度。其中一條路徑沿

著地球繞太陽公轉的方向，另一條則與之垂直。他們從地面實驗室觀測這兩個方向的光速，就好像汽車駕駛看著向前與側向的聲波以不同的速率傳播一樣。

因為對於移動中的地球而言，光束在兩個方向上的傳播速度是不同的。

他們的實驗得出科學上所謂的「零結果」，相同的結果在日後一再地被更加精確的激光束實驗所證實

邁克爾莫雷實驗，不同方向的光

邁克爾遜—莫雷實驗結果就好像，火車座位上的你與月台上的觀察者看到那位旅客的移動速度相同！這聽起來荒謬至極，不是嗎？正如我先前解釋的，你應該看到乘客以正常的行走速度移動，而月台上的觀察者看到他的速度比火車還要再快上一點、呼嘯而過才對。

光速不變

在邁克爾遜與莫雷得出令人困擾的實驗結果的前8年，愛因斯坦誕生於德國烏爾姆。

他問自己，如果以光速飛行時，同時拿著一面鏡子放在面前照自己，是否還能看到鏡中反射出自己的影像？如果鏡子本身就以光速前進，從臉上發出的光怎麼會到達鏡面？他多年來的思索終於在1905年發表狹義相對論時開花結果，當時愛因斯坦才二十來歲。

愛因斯坦在實驗前8年出生，年少時問自己，光速前進時，照鏡子會怎麼樣

這一切都在1905年改觀。愛因斯坦的整個理論奠基於兩個構想之上，稱為相對論的兩大基本假設。

第一個假設來自昔日的物理知識，僅僅指出一切運動都是相對的，沒有任何物體可以被視為處在真正的靜止狀態。這表示我們無法透過任何實驗得知自己是否真的靜止不動或是正在動。

第二個假設乍看之下無關緊要，卻是一個革命性的假設。愛因斯坦指出，光的確有波動性，因此光速與光源的移動速度無關（正如行駛中的汽車所發出的聲波一樣）。然而與聲音不同之處在於，它不需要透過介質便可傳遞。以太並不存在，而光波可以穿過完全空無一物的太空。

相對論的兩個假設

在進入下一個主題之前，我們已經可以回答愛因斯坦關於鏡子的問題了。不論他飛得多快，他都能在鏡中看見反射的影像。這是由於他不論在

何種速度下，看到光從臉上發出到鏡子再反射回來的速度，都與靜止時所見的光速相同。

光速不變，所以光速運行還是能看到鏡子里的自己

這種高速前進之下出現的性質稱之為「長度收縮」。這個性質指的是，正如一個物體在高速移動時的長度變得比靜止狀態短，對高速移動的物體而言，要走的距離看起來也縮短了。

如果宇宙飛船能夠更進一步逼近光速，比如0.999999999倍光速，那麼100光年的距離只要在兩天之內就可以完成了。

光速運行，長度收縮，光速旅行很快

但是請記得，跟地球上的時間相比，你所經歷的時間看起來變慢許多。對於地球上的其他人而言，你以接近光速的速率航行100光年的距離，所以需要100年的時間才能完成這段旅程（或者稍久一點，因為你前進的速度略低於光速）。

但是地面上的人，認為光速旅行的人走了100年

請記得你站在穀倉里，看著撐竿跳選手高速朝你跑來。你知道竿在靜止狀態下與穀倉等長。不過由於它正相對於你進行高速運動，因此長度會變短，整根竿可以輕易進入穀倉中。

穀倉里的人，看外面的人，光速運動，長竿變短

我們也要從選手的觀點來看整個過程。在他眼裡竿是不動的（相對於他不移動），而是穀倉在高速向他接近。因此他所看到的，是一個視覺上壓縮變短的穀倉朝他高速衝來。在他奔跑穿過穀倉的過程中，竿尾通過穀倉入口之前，竿頭就已經穿出後門之外。

光速運動的人，認為穀倉想自己光速運動，穀倉變短，自己無法穿過

第六章孿生子悖論

鮑伯留在地面上，愛麗斯負責駕駛宇宙飛船從地球出發，進行為時1年的星際往返旅行。回到地球的那一刻，她在生理上老了1歲，也感受到1年過去了，而且宇宙飛船上的所有時鐘與計時裝置都顯示她離開地球正好滿1年。

另一方面，鮑伯持續監控她的整個旅程，並且目睹了接近光速航行時，愛因斯坦相對論預測會出現的其中一個詭異現象：鮑伯看見宇宙飛船上的時間進行得比地球慢。

如果他透過攝影機觀察宇宙飛船內，就會看見一切以慢動作進行

因此，對於宇宙飛船上愛麗斯而言1年的旅程，在鮑伯看來可能會歷時長達10年。事實上，愛麗斯回到地球後發現她的孿生哥哥老了10歲之多，儘管她自己的生理年齡只老了1歲。

難道愛麗斯不能說，在這1年的旅程中她一直都是靜止的，是地球在移動，先是逐漸遠離，之後再逐漸接近？透過攝影畫面，她發現地球上逐漸遠去的時鐘，指針移動的速度比宇宙飛船上的鐘慢，這個現象足以佐證愛麗斯所見的。

孿生子，彼此認為對方變老了

信不信由你，正確的答案是：鮑伯是對的。愛麗斯返回地球之後，確實比他年輕了些。

但實際上，離開地球的愛麗絲年輕了

時間是什麼平心而論，至今仍然沒有人能在根本層次上了解時間是什麼。

時間究竟是什麼？

當我沿著光束的方向，以你在地球上所見光速的四分之三前進時，怎麼會看到光依然以它從手電筒發出的速度超越我而去呢？造成這個結果的唯一可能，就是我的時間過得比你的時間慢。

因為光速是絕對的，所以接近光速的人，時間過得要慢

假設我們的時鐘完全相同，你會看見我的鐘指針移動得比你的鐘慢。不僅如此，火箭上的一切都變慢了，甚至連我的動作都變慢了；與你通訊時，你會聽到我說話速度變慢，聲調也變低沉。但我自身並未感受到任何改變，也完全不會察覺時間變慢。

不過，即便速度慢上許多，例如阿波羅登月任務宇宙飛船的飛行速度（約每小時4萬公里），時間效應還是存在的。航行中的鐘與地面上的任務控制時鐘每秒的誤差約為幾奈秒

高速前進下時間變慢的現象稱為「時間膨脹」，這個現象已成為物理實驗必須納入例行性考慮的要素

狹義相對論，高速時會有時間膨脹

愛因斯坦的廣義相對論提供了另外一種使時間變慢的方法，也就是重力。

阿波羅八號上的時間究竟過得比地球快或慢，與宇宙飛船距離地球多遠有關。在去程的前幾千公里，地球的重力還不夠微弱到使時間加快的效應夠明顯，阿波羅宇宙飛船相對於地球的速度便成為主宰因子；

它造成時間變慢，所以航天員比地球上的人老得慢。但是當他們航行到距離地球更遠之處，重力減弱使得阿波羅上的時間開始加快，意味著廣義相對論帶來的效應開始壓過狹義相對論。整趟航程加總起來之後，時間加快的效應佔優勢，因此宇宙飛船經歷的時間比地球上多了一些——300微秒就是這麼來的。

愛因斯坦進一步指出，所有重力對空間與時間產生的效應都會出現在加速中的物體上。

廣義相對論，重力減小，時間變快

愛麗斯之所以變得比鮑伯稍微年輕，是因為承受加速與減速的人是她。無論旅程是否直線往返，根據廣義相對論預測，加速與減速期間她的時間會走得比較慢。

如果愛麗斯按照自己的時鐘完成1年的太空之旅回到地球，這段期間地球上已經過了10年，她不就等於進行了一趟時光之旅，進入9年後的未來嗎？

愛麗絲比鮑勃年輕，是因為狹義和廣義相對論共同影響，承受加速和加速都是她，這期間她的時間變慢

第七章祖父悖論

如果你能夠回到過去，並且在你的外祖父遇見外祖母之前將他殺害，你的母親就不會出生，你也不會。但假使你從未出生，你的外祖父也不可能被殺害，他會活下去遇見你的外祖母，而你終究會出生，再回到過去殺害他，依此類推。這個論證會不斷沿著自相矛盾的循環繞圈圈。看來你無法殺死外祖父，因為你一直存在。

祖父悖論

時光機的運用違反質量與能量守恆定律。

直接回到過去的宇宙，違背質量和能量守恆

平行宇宙最原始的構想名為量子力學的「多世界詮釋論」，根據這種詮釋，一旦次原子粒子面臨兩個或多個選項可供選擇的情況，整個宇宙便會分化為與選項數目等量、數個平行存在的實體。

平行宇宙解決了難題

第八章拉普拉斯妖

我們可以將這個精靈設想成一部龐大的超級計算機，具有強大的計算能力與不虞匱乏的內存，使它得以掌握宇宙的每一處細節，甚至包括構成計算機每一顆原子以及電路中每一顆電子的組態。利用這些信息，它能夠精確計算出未來如何進展。接著，操作者對它下達一道簡單的指令（它預知自己會收到）：計算機若在運算結果中的未來里存續，就進行自毀；但若在運算出的未來不再存續（表示屆時已自毀），就不進行自毀動作。我再說一次：如果它在預測的未來中存續，就不會真的存在；如果它在預測的未來中消失，就會繼續存在。無論哪種狀況，它的預測都是錯的。那麼，究竟它能否存續下去呢？

是否存在一個可以無所不知的精靈？

讓我先仔細區分以下三個概念：決定論，可預測性，以及隨機性。首先，我所謂的「決定論」指的是哲學家口中的因果決定論，也就是過去事件導致未來事件的概念。

從邏輯上可以得到如下的結論：每個事件的發生都是一連串事件所造成的結果，這一連串的事件可以一直回溯到宇宙誕生的那一刻。

是否一切都是決定好的？牛頓力學可以預測很多事

來自法國的數學家亨利·龐加萊接受此一挑戰。他從太陽、地球與月亮的簡單問題出發，也就是所謂的三體問題。他發現，儘管只牽涉到三個物體，卻不可能得出精確的數學解答。

三體問題無法預測

第一個將這些想法帶給全世界，並且協助創造出「混沌」這個新概念的人，是美國數學家兼氣象學家愛德華·羅倫茲

這個深刻的理解讓羅倫茲創造出「蝴蝶效應」一詞。一隻蝴蝶的振翅將對隨後發生的事件帶來漣漪般微弱卻又影響深遠的效應。

「混沌」（chaos）一詞在日常語言中，指的是非特定型態的無序與隨機性

氣象學家發現了混沌，提出了蝴蝶效應

量子力學作為次原子世界理論，描述了大自然在最小尺度下所遵循的法則。

當然，放射性原子的行為並非全然隨機，我們發現當全同原子（identicalatoms）為數眾多時，它們就會展現出統計平均的性質。某特定元素樣品的半數原子完成放射性衰變的時間，稱為該元素的半衰期，這個值是一個能夠精確測量的物理量，前提是樣品夠大。

量子世界的不可預測性，但是為數眾多時，展現出統計平均性質

量子世界之所以不可預測，並非因為我們無法深入測量，也不是因為量子蝴蝶效應以及對於測量精度的敏感性，而是因為我們根本無法在不干擾次原子世界的情況下進行探測。光是「看」電子正在做什麼，我們就已經無可避免地改變它的行為，使預測失准。

量子世界無法測量，測量會干擾

第九章薛定諤的貓

在沒有詳述太多技術細節的前提下，測量電子位置的儀器確實會找出電子的位置，而另一套測量電子運動速度的儀器也會提供確切的答案，但卻不可能在實驗中同時測出電子的確切位置及其運動速度。這個想法即是著名的海森堡測不準原理（HeisenbergUncertaintyPrinciple），迄今仍然是科學上最重要的概念之一。

測不準原理

第十章費米悖論

費米悖論的敘述如下：宇宙的歷史如此漫長，幅員如此遼闊，光是銀河系就有數千億顆恆星之多，其中許多恆星擁有各自的行星系統。因此，除非地球具有蘊育生命的條件而獨具一格，否則宇宙中應該處處可見具有高度智慧文明的類似星球，其中的許多文明可能已發展出太空技術，並且已經造訪過我們。

●如果生命並不特別，那麼其他外星生命究竟在哪裡？

●如果生命非常特別，那麼為什麼宇宙微調得如此恰到好處，讓生命只出現在地球上？

為什麼沒有找到其他外星生命

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