自函子的Day Convolution和自函子的Composition有什麼區別？

applicative和monad都是自函子範疇上的張量範疇上的一個幺半群，幺半群的幺元都是identity functor，但是applicative的乘法是戴依卷積，monad的乘法是複合，請問這兩者有什麼區別。

啊，那……

這個意思大概是說，monad 是支持 return 和：

join :: forall a. F (F a) -&> F a


的函子。而我們有

newtype Compose f g a = Compose (f (g a))


所以我們可以等效地說，要有

join :: Compose F F a -&> F a


那麼 Day 的話……是……

data Day f g a where
Day :: forall u v. f u -&> g v -&> (u -&> v -&> a) -&> Day f g a


這個東西它……其實……uh……你想，我們有

liftA2 :: (u -&> v -&> a) -&> F u -&> F v -&> F a


而有它等效於

liftA2 :: Day F F a -&> F a


所以 Applicative 是支持 pure 和 liftA2 的函子。

好像還差個自函子範疇。函子之間有自然變換

newtype Nat f g = Nat (forall a. f a -&> g a)


顯然這個有 id，可以複合，那就是範疇了。

於是上面 join 和 liftA2 又等效於

join :: Nat (Compose F F) F
liftA2 :: Nat (Day F F) F


而這兩個類型看起來有點像是 的形式。

我們還有 return 和 pure。等效於：

pure :: Nat Identity F


其中，

newtype Identity a = Identity a


好。現在看一下 Monoid (category theory) 的開頭（Examples 以前）