經典力學的數學方法（二）守恆定律

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在經典的力學定律中，存在許多守恆定律，最經典的是能量守恆定律，角動量守恆定律和動量守恆定律，由於力學系可以用二階微分方程描述，我們將會看清楚，各種各樣的守恆量實際上是方程的首次積分。

A.首次積分

函數 $H$ 是自治方程 $dot{x}=X(x)$ 的首次積分，如果 $dH(X)=< abla H,X>=0$ ，即 $X$ 是曲面 $H(x)=c$ 的切向量場。

Th1：若是 $dot{x}=X(x)$ 的首次積分，則對自治方程的任意解 $x(t)$ , $H(x(t))=Const$

proof: $frac{mathrm{d}H(x(t))}{mathrm{d}t}=dH(dot{x}(t))=dH(X(x(t))=0$

關於首次積分的最重要的應用，一是它可以估計曲線的大致位置(它總在曲面 $H=c$ 上，特別的，如果知道 $n-1$ 個首次積分的話，那麼曲線的軌跡就清楚了),二是一個首次積分將方程的維數降低1，這樣我們將求解方程 $dot{x}=X(x)$ 的問題轉變為在曲面 $H(x)=c$ 上求方程 $dot{s}=Y(s)$ ,其中 $Y$ 是 $X$ 在 $H(x)=c$ 上的限制，在曲面坐標 $(s_1,...s_{n-1})$ 下， $Y=(y_1(s),...,y_{n-1}(s))$ ,方程的相空間就下降了一維。

Exa:考察方程 $(egin{matrix}dot{x}\dot{y}end{matrix})=(egin{matrix}0&1\-k&0end{matrix})(egin{matrix}x\yend{matrix})$

方程的維數是2，容易發現 $(kx)*y-(y)*kx=0$ ,因此，構造一函數 $H$ ,使 $abla H=(egin{matrix}-kx\yend{matrix})$ ,顯然可取 $H=frac{1}{2}kx^2+frac{1}{2}y^2$ ,為了方便，取 $k=1$ .為了研究方程在 $H=frac{1}{2}r^2$ 上的解，我們取局部坐標 $heta$ ，注意到向量場 $(egin{matrix}y\-xend{matrix})$ 在局部坐標下是 $-1$ ，因此方程變為一個一階方程:

$dot{ heta}=-1$ ,解得 $heta=-t+c$ ,代入得 $x=cos(t+c)$ .

事實上，橫著的勁度係數為 $k$ 的彈簧右側掛一質量為1的物體所對應的力學系正是由上述方程描述的，而首次積分 $H$ 正是質點的彈性勢能和動能之和，即系統的總能量。下面我們討論怎樣的力學系具有能量守恆定律。普通物理中關於力的一些認知告訴我們保守力下的運動是能量守恆的，為此，我們需要嚴格的定義力，再回憶保守力是什麼。

B.力的定義

對於質量為 $(m_1,..m_n)$ 的 $n$ 點系來說，質點 $x_i$ 所收的力指的是 $m_iddot{x_i}$ ，為了方便討論質點所受的力，我們以後將質量為 $(m_1,...,m_n)$ 的 $n$ 點力學系的Newton方程寫成 $m_iddot{x_i}=F_i(x,dot{x},t)$ 的形式，這樣 $F_i$ 就是質點 $x_i$ 所受的力。

也可以考慮力（力學系)的合成和分解，也就是力學系方程的合成和分解。

我們接下來將討論一種特別簡單的情況，即 $F=F(x)$ 而與速度和時間無關.此時 $F$ 就是位置空間（常稱為構形空間）中的向量場。

C.功與保守力

$F=F(x)$ 在構形空間中沿一段以 $p,q$ 為端點的曲線所做的功定義為:

$int_{}^{}Fullet dl$ .

Def1（保守力)如果 $F$ 沿路徑所做的功只與端點而與路徑無關。

Th2: $F$ 是保守力當且僅當存在函數 $U$ ，使 $F=- abla U$ .

proof:取固定點 $x_0$ ,作函數 $U(x)$ 為 $F$ 沿 $x_0$ 到 $x$ 所做的功的負數。

保守力 $F$ 對應的 $U$ 被稱為勢能。

Th3(能量守恆定律) 若力是保守的，則運動過程中 $E=frac{1}{2}m dot{x}^2+U(x)$ 恆為常數。

proof:設 $x(t)$ 是方程的解，則 $frac{dE(x(t))} {dt}=<dot{x},ddot{x}>+< abla U,dot{x}>=<dot{x},ddot{x}-F>=0$ ,證畢。

現在，除了能量，我們希望找到關於力學系儘可能多的首次積分，為此，我們需要讓勢能 $U$ 具有更好的性質，也就是對稱性，我們將看到對稱性將導致各種各樣的守恆律。下面我們總假定 $U$ 定義在 $R^3$ 上。

D.有心場

為了說明 $U$ 的對稱性將導致守恆律，我們可以先考慮最極端的情形： $U$ 對所有剛體變換群保持不變，即有： $U(Ax)=U(x)$ 對一切正交陣成立。

一個簡單的觀察是， $U$ 一定具有 $U(left| r ight|)$ 的形式，即 $U$ 在模長相同的點取值相同，這是因為旋轉群在球面上可遷作用（對球面上的兩點，總存在一個旋轉將一個點變成另外一個點)。

因此， $U$ 對應的力一定是 $F=$ $Phi(left| r ight|)e_r$ 的形式，其中 $e_r$ 是 $r$ 方向的單位矢量，稱 $F$ 為有心場，有心場確定的力學系一定是保守的，從而也遵循能量守恆定律。

$U$ 具有如此的對稱性，它所蘊含的守恆律也是驚人的，事實上，它能夠導出三個首次積分，同總能量函數一起將方程的維數下降了4，從而只剩下2個維度:

Th4(角動量守恆定律)角動量 $M=[r,dot{r}]$ 在運動過程中保持不變，換言之， $M$ 的三個分量是系統的三個首次積分。

proof: $frac{dM(x(t))}{dt}=[dot{r},dot{r}]+[{r},ddot{r}]=[r,Phi(r)e_r]=0$ (因為 $r$ 與 $e_r$ 平行).

E.軸對稱場

我們現在稍微降低 $U$ 的對稱性，考慮剛體運動群的一個子群:它是由繞過原點的一個軸的旋轉構成的。

為簡單計，我們不妨設這個軸就是 $z$ 軸，這樣，如果設 $r,varphi,z$ 是柱坐標( $r$ 是到 $z$ 軸的距離， $z$ 是點的 $z$ 坐標（高度), $varphi$ 是點所在的以 $z$ 軸為法向量的平面的角坐標, $U$ 必是 $r,z$ 的函數，即: $U=U(r,z)$ ,求 $U$ 的負梯度得到 $F=Phi(r,z)e_r+Psi(r,z)e_z$ ,稱 $F$ 為軸對稱場。

$F$ 所對應的力學系的守恆律是:

Th5(軸對稱場的守恆律)在運動過程中，作用在 $r$ 點的矢量 $F$ 相對於 $z$ 軸的矩，即：

$M_z=(e_z,[r,F])$ 守恆。

證明和Th4類似，略去。

上述兩個定理告訴我們， $U$ 的對稱性質，即在剛體變換群子群下的不變性質，可以導致守恆律，事實上，這正是 $Noether$ 定理的一個推論:

Th6( $Noether$ 定理) ${ g^t }$ 是剛體變換群的一個單參數子群，如果 $U(g^tx)=U(x)$ ,則 $U$ 對應的力學系必有一守恆定律（首次積分)，簡言之，對稱律一定對應一守恆律。

我們將在以後證明上述定理的推廣形式，它不再拘泥於是剛體變換群的子群，而可以是任何一個 $R^n$ 單參數等距自同構族。

F.多點系中的守恆律

上面幾個部分我們研究了單點系中的由 $U$ 的對稱性導致的守恆定律，它們可以完全平移到多點系的情形，而在多點系的情形，封閉性也將導致守恆律，這就是動量守恆和角動量守恆，為此，我們先介紹內力和外力的概念。

由傳統的力學知識我們知道，對於某一系統的兩個質點，比如三體系統，如果其中一個質點受到某個力 $F_i$ ,我們常常能發現另一個質點受到一個力 $F_j$ ,這兩個力大小相等，方向相反，這正是一對相互作用力，而如果每一質點所受的力總是一些相互作用力的合成，這一系統就稱為是封閉系，系統內所有的力都是內力，嚴謹的用 $Newton$ 方程表示，即對第 $i$ 個質點，它的方程是: $m_iddot{x}_i=sum_{j=1 \j e i }^{}{F_{ij}},F_{ij}=-F_{ji}$ ,也就是第 $i$ 個質點所收的力是其它質點所施予的。