經典力學的數學方法(一) 力學系

03-01

從本文開始的多篇文章是關於《Mathematical methods of classical mechanics》（《經典力學的數學方法》Arnold著）的讀書筆記。

A 力學系

考察 $R^3$ 中的這樣一個運動：固定質量的小球從光滑的無限長坡面 $S$ 上向下滾動。研究這種運動的最透徹的方式是，如果給定小球在某一時刻 $t_0$ 的狀態，就知道小球在任意時刻的狀態。

一個基本問題是，什麼非時間的物理量可以刻畫小球的運動狀態。

若僅以位移來刻畫，則會發現，在同一時刻，從同一位置開始運動，卻可能在固定時刻 t 到達不同的位置，這表明，位移不足以描述物體的運動。事實上，通過實驗，我們有:

Newton決定性原理：一個力學系中的各點在某一時刻的位置與速度唯一決定其運動。

因此，由決定性原理，小球的狀態由位置和速度來刻畫，但是由於小球總是在坡面上的緣故，小球的速度也只能切於坡面，因此這一力學系的狀態空間，也即相空間 $W$ 是： $W={(x,v):xin S,v切於S}$

上述力學系的狀態空間太過於複雜了，我們先從簡單的情況研究起，即狀態空間是 $R^3oplus R^3$ 中的開集 $Uoplus V$ （這樣的運動是存在的，例如石塊落向地面，地日系統等等),換言之，可能的位置和速度矢量點對構成兩個開集的直積，而對於小球從坡面上滑下這樣的力學系，我們將從第四篇文章開始進行研究。

通過決定性原理，我們可以得到力學系的一個定義:

Def1(力學系的定義之一）所謂力學系指的是關於時刻和初始狀態的一個時間推進映射，詳言之，指的是映射 $G:(t,t_0,x_0,v_0) ightarrow (x,v)$ , $tin R$ ,它規定了給定初始條件後的運動狀態（也包括過去時刻的運動狀態）。（注:這一定義對具有任意狀態空間的力學系都成立,下面關於力學系的定義同樣是普適的。)

這樣，自然的，力學系在時刻 $t_0$ 具有狀態 $(x_0,v_0)$ 而決定的運動被定義為 $G(t,t_0,x_0,v_0)$ .

從Newton決定性原理我們也可以得到力學系的另一種定義:

Def2(力學系的定義之二):力學系指的是一個映射 F： $(t,x,v)in Roplus W ightarrow ain R^3$ ,即時刻 $t$ 處的位置和速度決定此處的加速度（因為點對 $(t,x,v)$ 足以決定接下來的運動)。

需要說明的是，由定義，力學系的某一運動決定於開始運動的時間，而在多數情況下（例如小球從坡面上滑下及其他大量的機械運動),時間不會決定接下來的運動軌跡（從而映射 F 與 t 無關),但在少數情況，例如電子在變化的場中運動的情形時，運動依賴於開始運動的時刻。)

從Def2可以規定力學系中的運動:

Def3(力學系中的運動):指的是 $R^3$ 中的運動 $x(t)$ , $({x}(t),dot{x}(t))in W$ ,且它在每一時刻的加速度由 $F$ 決定，也即滿足一個二階微分方程 $ddot{x}(t)=F(x(t),dot{x}(t),t)$ ,且每一運動是方程在初始條件 $x(t_0)=x_0,dot{x}(t_0)=v_0$ 下的解曲線。

注意到，Def3也可以作為力學系的定義，並且與Def2是等價的。事實上,給定 $(t,x,v)$ ,我們可以從二階微分方程中求出一個以之為初始條件的解 $x(t)$ ,這樣在此時刻的加速度即為 $ddot{x}(t)$ .因此我們又得到與Def2完全等價的定義:

Def2(力學系定義之三)力學系指的是一個二階常微分方程: $ddot{x}(t)=F(x(t),dot{x}(t),t)$ .且對每個初始條件在 $R$ 上存在唯一的解曲線。

從下文至第三篇文章為止，總假定力學系的相空間是 $R^3oplus R^3$ 中的開集 $Uoplus V$ .

現在，我們來說明Def1與Def2的等價性正是相流和微分方程的等價性，為了更好的看清這一點，我們將介紹常微分方程的基本知識，也將看到，常微分方程理論是Newton力學背後的數學原理。

B 常微分方程基本理論的快速瀏覽

Def1使得相空間和相空間上的變換群的引入顯得十分自然了。所謂相空間 $W$ ，指的是某一系統的狀態集合,相空間上的變換群指的是一族 $W$ 的自同構映射 $g^t$ ,指標集為 $R$ ，並且滿足 $1.g^{ {t_1}+{t_2}}=g^{t_1}g^{t_2}=g^{t2}g^{t1}$ . $2.g^0=id$

換言之， $g^t$ 按照映射合成法則成為交換群，且存在群同態: $t ightarrow g^t$ .

對相空間中任意一點 $x$ ， $g^tx$ 被稱為初始狀態為 $x$ 的相曲線。

回憶Def1,我們發現，固定 $t_0=0$ ,對於每一個 $t>0$ , $G(t,t_0,x_0,v_0)$ 確實定義了相空間上的雙射，它的物理意義是在 $0$ 時刻的初始狀態下運動 $t$ 時刻後的狀態，而對於 $t<0$ 的部分則是 $G(-t,t_0,x_0,v_0)$ 的逆（即過去時刻的狀態)，可是依然未必有: $G(t_1+t_2,t_0,x,v)=G(t_1,t_0,G(t_2,t_0,x,v))$

在多數運動（尤其是機械運動),上述等式是成立的，因此我們不妨只考慮這樣的情形。

假定 $G=g^t$ 是任意階連續可微的，從而一個適當的力學系給出相空間，也即 $Uoplus V$ 的一個自微分同胚族。

總結上述結果，一個適當的力學系的所有信息包含在 $R^6$ 上的單參數自微分同胚族，並且其初始狀態的相曲線正是Def1定義的運動。

現在我們從 $U$ 上的常微分方程出發。

Def5（向量場): $R^n$ 上的開集 $U$ 上的向量場 $X$ 指的是無窮次可微映射： $U ightarrow R^n$ ，或者說，在 $U$ 上的每一點處光滑的選取一個切向量。

Def6(自治方程)： 形如 $dot{x}=X(x)$ 的方程被稱為 $U$ 上的自治方程，其中 $U$ 為 $R^n$ 中的開集， $U$ 中曲線 $x(t),tin I$ 是方程的解，如果在 $I$ 上有 $dot{x}(t)=X(x(t))$ 成立。

所謂自治方程，在數學上的意義是尋找這樣的曲線（被稱為積分曲線)，使得它在每一點的切向量即為在該處由向量場選取的向量，從物理角度來看， $n=1$ 的情形是尋找一種運動，使得在每一位置的速度是事先給定的。

自治方程的定解條件是指定初始時刻的點的位置: $x(t_0)=x_0$ 。如果假定 $dot{x}(t)=X(x(t))$ 的每一個解在 $R$ 上存在，則定解條件可以唯一確定解 $x(t)$ ,即過一點有且僅有唯一一條積分曲線。

下面我們可以介紹本文的主要結果，即單參數族和自治方程的等價性，從而說明Def1和Def2的等價性。

對於向量場 $X$ ,我們總假定它的每個解是在 $R$ 上存在的。

Th1 $U$ 上的自治方程確定相空間 $U$ 上的單參數自微分同胚族 $g^t$ , $g^tx$ 也正是自治方程在初始條件 $x(0)=x$ 下的積分曲線。

proof: 對每一 $t$ ,和狀態 $xin U$ ,考慮初始條件 $x(0)=x$ 的解，從而 $g^tx=x(t)$ 。而 $g^{t_1+t_2}=g^{t_1}g^{t_2}$ 可由這樣一個事實得到：若 $x(t)$ 是方程在初始條件 $x(0)=x$ 下的解，則 $x(t+t_2)$ 是方程在初始條件 $y(0)=x(t_2)$ 下的唯一解。

Th2 $U$ 上的單參數自微分同胚族 $g^t$ 決定 $U$ 上的一個向量場，因此決定一個自治方程，且此自治方程決定的單參數族正是 $g^t$ .

proof:令 $X(x)=frac{mathrm{d}g^tx}{mathrm{d}t}$ （在 $t=0$ 處求導）即可.

C.兩種定義的等價性

考慮方程 $ddot{x}(t)=F(x(t),dot{x}(t),t)$ ，令 $dot{x}(t)=v(t)$ ,則化二階方程為一個一階方程組:

$dot{x}(t)=v(t); dot{v}(t)=F(x,v,t)$

若令 $F$ 與時間無關，且令 $s(t)=(x(t),v(t)),X(s)=(v,F(s))$ ,則方程化為以 $Uoplus V$ ,即位移矢量和速度矢量空間的直和為相空間的自治方程：

$dot{s}(t)=X(s(t))$ ，從而由B部分可以得出兩種定義的等價性，特別的, $G$ 確定的運動正是自治方程的相曲線。

D. $n$ 點力學系

以上幾個部分我們討論了一個固定質量的質點的力學系的定義方式，包括相流和二階常微分方程，最後得出二者是等價的。多點的力學系也是普遍存在的，現在，為了定義固定質量的多點的力學系，我們可以直接採用二階的常微分方程組的方式。

Def7 n點力學系由一個二階常微分方程組定義:

$ddot{x}=F(x,dot{x},t)$ ,其中: $x=(x_1,x_2...x_n);F:prod_{}^{}U_i imes prod_{ }^{ }V_i imes R ightarrow R^{3n}$ ，其中對每個初始條件，方程的解總是存在於 $R$ 上(當然解曲線在每一時刻的位置和速度構成的點對要在相空間中)且唯一的。

Newton力學的核心觀點正是把力學系用二階方程來描述，這一方程也被稱為Newton方程。

{註：一般情況的力學系情況定義類似)