有哪些比較好的「費米問題」答案/案例？

03-01

在科學中，尤其是在物理和工程教育中，費米問題或費米估算是一個用來做量綱分析，估算和清晰地驗證一個假設的估算問題。命名自恩里科·費米。這類問題通常涉及對於只給定有限的已知信息，而似乎是算不出來的量，作出合理的猜測。
費米以他通過非常少量或不精確的數據來得到比較好的估計的能力被廣泛熟知，一個例子就是他在主要領導的曼哈頓計劃中估算核爆炸的「當量數」。1945年7月16日晚上，原子彈在內華達州的沙漠引爆成功時，費米在原子彈試爆現場附近，突然躍起向空中撒了一把碎紙片，爆炸後氣浪將紙片急速地捲走，他緊追紙片跑了幾步，並根據紙片飛出的距離估算了核爆炸的「當量」，費米計算出的爆炸威力相當於一萬噸TNT炸藥，非常接近現在所接受的二萬噸的數值，之間的誤差少於一個數量級。via 維基百科 —— 費米問題

維基百科上有一個「芝加哥有多少調琴師」的例子。貼到這裡：

大約有9,000,000 人生活在芝加哥。

在芝加哥平均每個家庭有2個人。

大約在20個家庭中有1個家庭有定期地需要調鋼琴。

定期調琴的鋼琴每年需要調整一次。

每個調琴師大約需要2小時調琴，包括路上時間。

每個調琴師每天工作8小時，一周5天，一年50周。

通過這些假設我們可以計算出每年在芝加哥需要調整的鋼琴數量是(9,000,000 人在芝加哥) / (2 人/家) × (1 架鋼琴/20 家) × (1 架鋼琴調整/1年) = 225,000 架鋼琴在芝加哥每年被調整。
類似地計算出平均每個調琴師(50 周/年)×(5 天/周)×(8 小時/天)/(1 架鋼琴/2小時) = 1000 架鋼琴每年/1調琴師。
做除法得到(225,000 架鋼琴在芝加哥每年被調整) / ( 1000 架鋼琴每年/1調琴師) = 225 個調琴師在芝加哥。
事實上，一共有大約290名調琴師在芝加哥。

再舉一個我自己想到的吧。前兩天突然在想，人類DNA大概有多少信息量呢？粗略地說，每一對鹼基對包含2 bit的信息，那總的信息量應該就是2 bit乘以人類DNA鹼基對的總數。我是按照這樣的辦法估算人類DNA鹼基對的數量的：

人體細胞的尺寸大概是10 um級別，人體尺寸大概是1 m級別，那總共大約就有(1 m / 10 um)^3 = 1e15個細胞。人的體重大概是100 kg級別，那平均每個細胞的質量就大概是100 kg / 1e15 = 1e-13 kg。假設單個細胞中DNA占細胞總質量的1%，那單個細胞中DNA的質量就約為1e-15 kg。單個核苷酸的分子量大概是300，一對核苷酸的分子量就是600，即0.6 kg/mol的摩爾質量。那麼DNA全部鹼基對的摩爾數就是1e-15 kg / (0.6 kg/mol) = 1.7e-15 mol。最後乘上阿伏伽德羅常數，鹼基對的數量就約為1.7e-15 mol * 6.02e23 /mol = 1e9，即10億。實際上，人類DNA的鹼基對數量大概是30億，跟我估算的只差3倍，在同一數量級上，還是不錯的結果。

來舉一個我自己的例子吧。

我做了一個安卓應用叫「漢字古今中外讀音查詢」，可以查詢漢字在多種方言和語言（以下統稱「語言」）中的讀音。不少用戶希望有真人發音功能，然而這個功能卻是我從最初就捨棄掉了的。為什麼呢？主要原因是發音數據要佔的空間太大，與「離線、小巧」的設計目標矛盾。

那麼怎麼估算髮音數據要佔多大空間呢？

發音數據所佔的總空間 = 語言種數 * 每種語言的音節數 * 每個音節的發音長度 * 單位長度的錄音所佔空間。

目前我的應用支持 8 種語言。
每種語言的音節數會有較大差別，我們用普通話來估算一下。普通話有大約 20 個聲母，30 多個韻母，4 個聲調。然而不是所有的聲母和韻母都能相拼，不妨折半，這樣普通話就約有 20 * 30 * 4 / 2 = 1200 個音節。（對準確數值感興趣的讀者點這裡：各方言分別有多少種音節？）
假設讀一個音節需要 1 秒鐘。
單位長度的錄音所佔空間，可以用歌曲 mp3 文件的大小來估計。一首流行歌曲一般長約 5 分鐘，文件大小約為 5 MB，所以可以按 1 MB / min 來估算。

由此，發音數據將佔用的空間大小就是 8 * 1200 * 1s * 1MB / min = 160 MB。目前我的應用的大小僅為 2 MB 出頭，十分便攜；一旦加入發音數據，體積則會增長几十倍，變得十分臃腫了。

另外，大家還可以估算一下錄製這麼多語音並進行後期處理的工作量，這也是我放棄這個功能的一個原因。

有興趣的朋友可以看下《Guesstimation: Solving the Worlds Problems on the Back of a Cocktail Napkin》。

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我試著算了一下本題下劉長偉先生的問題：全國有9.2萬個加油站，怎麼算出的？

思路是：估算我國有多少車&>每車多久加一次油&>每個加油站每天可以給多少輛車加油&>結果。

1、首先將車分為2種，個人車和公用車。

個人車包括私家車、單位的小轎車等。

公用車可以有很多種，工廠運輸的，快遞配送的，民用的計程車，公共的公交車，消防車，救護車，警車都算。其種類大於1種，小於100種，取幾何平均數為10種。

估算個人車的數量，不妨考慮這個問題：我國平均多少人有一輛車？

1人一輛太多，100人一輛太少，取幾何平均為10人一輛車。

設我國有16億人，則我國的個人車有

16億/10=1.6億輛

現在算公用車一輛能滿足多少人需求。10人有點少，100人太多，取幾何平均數為30人。

我國16億人，為了跟30好除，約為15億。

15億/30=二分之一億=5千萬

又，前面設公用車可以分為10類。所以公用車共有：5千萬*10=5億輛。

則全國共有1.6+5=6.6億輛車。

2、幾天加一次油。

1天太短，10天太長，求幾何平均為3天加一次油。

3、一個加油站能滿足多少輛車的需求。

前面算出每輛車三天才加一次油，也就是說就算只有全國只有一個加油站，三天內這個加油站接待的車都是不重複的。

三天後，最早開始加油的車需要重新加油了。如果他們都回到這個油站的話，該油站就能得到充分利用。而且很明顯，由於前面的顧客全部回到他們這裡加，一個接一個，他們無法接待新客戶。所以三天內接待客戶的量就是一個油站的最大服務量了。

油站每次可以給多輛車加油：1輛太少，10輛有可能，100輛太多，取幾何平均10輛。

憑經驗估計，平均每次加油用時5分鐘。

不知道加油站上班時間，憑經驗應該儘可能地早開門，晚關門，但半夜又沒必要開放。設早上六點開放，一直到晚上十點，這個不過分，那就是18小時，為方便計算約成20小時。

換算成分鐘數是：20*60=1200。約為1000分鐘。

則一個加油站每天能給這麼多輛車加油：（1000/5）*10=2000輛。三天6000輛。

4、那結果很明顯了：6.6億/6千=1.1十萬=11萬

11萬跟9.2萬隻相差1.8萬，在十倍以內，可以接受。很開心。

註：幾何平均數就是求x*y的根號。

如常見的，1*10開根號為3，1*100開根號為10，10*100開根約為30。

我以前游泳的時候，用費米估計法算了一下每次游泳大概會喝多少尿。

我在的游泳池有八個泳道，寬20米左右，平均深度2米，長50米，游泳池的總用水量約為2000立方米，假設游泳池營業過程中沒有任何凈化措施，也不會補充凈水。

假設每個泳道最多可以容納5個人，每個客人只游半小時，游泳池每天開業10小時,從開業到關門都是爆滿，共計800人次。

我們假設每個客人故意在這半小時之內排尿0.5升（有興趣的可以拿量杯測一下憋多久可以排尿半升），每天最後的時候，尿液濃度為400升／2000立方米，約等於0.2ml/L

一般我游泳過程中如果運氣好一口不喝，如果運氣不好會嗆一兩口。總計不會超過300ml，也就是0.06ml左右。差不多就是一滴。

University of Maryland Fermi Problems Site

Fermi Questions

Estimation ? r/estimation

還有mit ocw

The Art of Approximation in Science and Engineering

估算領域，最有名人物的是物理學家費米。費米在理論物理和實驗物理兩個領域都建樹頗豐，即使在物理學家群星燦爛的上世紀中期，這樣的人才也沒幾個。費米最著名的一次估算是他在領導的曼哈頓計劃中估算核爆當量的。1945年7月16日早上5點半左右，原子彈引爆成功時，費米呆在距離爆炸中心10英里處。爆炸40秒後，爆炸的氣浪到達費米所在地，他將事先準備好的碎紙片從離地六英尺高的地方灑落，紙片被氣浪捲走，他根據紙片飛行的距離（兩米半）估算了核爆炸的「當量數」約為一萬噸TNT炸藥。後來證明這個結果和儀器測量值十分接近。（這裡是費米對當時場景的自述原文）。

我也試著算了一下：

1、假設紙片做自由落體運動，初速度相當於氣浪的速度，這個計算在初中物理習題中常見。

2、假設原子彈爆炸能量全部轉化為空氣的動能，爆炸之後，氣浪形成球面向各個方向擴展，擴展到費米所在地時，球體內總的空氣質量可以通過空氣密度乘以球體體積算出來。

3、總能量等於氣浪速度平方乘上空氣質量。然後轉換為TNT當量單位，完成。

當然，這不一定是費米原來的解法。

費米不僅自己估算，還喜歡出題給學生算，問題稀奇古怪，比如：芝加哥有多少鋼琴調音師？後來，人們把這類問題稱為「費米問題 (Fermi Question)」，我覺得這很像理科生的腦筋急轉彎。這類鍛煉並不只是娛樂和紙上談兵，在實際科研中也是很重要的技巧。比如在實驗進行之前，估算一下實驗條件，選擇合理的試驗設備；在實驗進行當中，發現新的現象之後，估算一下大概可以用哪幾種理論進行解釋，然後細緻的設計下一步如何做，以期鑒別各種疑似解釋的合理性。

只要留心，生活中充滿了藝術，美，詩意，啤酒，免費的皮薩和費米問題，就看有沒有緣分。前兩天在新浪微博，看見陳曉卿發的飯局照片，我說了句：「告訴我快門用的是多少，我可以算出柴靜右手切東西的速度！」後來有人回復說快門是1/13秒。於是我做了下面這張圖。手的速度大概是0.5米/秒，如果你此刻以這個速度走過柴老師身邊，會看到一把靜止的刀子。

有人看到圖片以後問我為什麼不去算土摩托的手速？冠冕堂皇的理由是土老師沒帶手鏈，不好判斷邊界。當然，除了柴老師手速，還可以算每場籃球比賽球彈出底線多少次，通過小便量算自己膀胱體積，算一下人的噴嚏對於蚊子而言相當於多少級大風之於人類，在飛機上通過地面物體的大小判斷飛行高度，等等。更高級一點的，可以看看這兩個例子：用微波爐和棉花糖估算光速；用一張照片估算地球半徑。

在物理學發展史上，努力提高估算的效率和精度是一個十分重要的研究方向，比如微擾論，密度泛函理論，等等。當然，處理這些較為前沿的「費米問題」時，腦筋急轉一下彎可能就不太夠用了，通常需要的是絞盡腦汁。

附：用一張日落照片估算出地球的半徑

你相信嗎，僅僅利用一張日落的照片，你就能得出地球的半徑大小！ Princeton 大學的 Robert Vanderbei 在最近的一篇論文中對一張攝於密歇根湖的日落照片進行了分析，不但證實了地球是圓的，還依據照片上的內容對地球半徑進行了估算。我把計算的大致過程向大家描述一下，供大家膜拜。

事情的起因就是上面這張很平常的日落照片，以及這樣一個大家平時並沒有太在意的問題：太陽露出水面的部分應該是一個標準的弓形，但為什麼在日出日落時，我們所看到的太陽是一個橄欖球一樣的形狀？大家或許會很快想到，發光體的下半部分其實是日光反射在水面上造成的。隨之產生的是另一個問題：為什麼它的下半部分要比上半部分小一些呢？

這是因為——想到這個問題的答案並不容易——地球是圓的。上圖就是人站在地球上看日出的一個比例誇張版示意圖，其中 O 為地球的中心， A 為人眼的位置， AB 為視平線， B 點為水天交界處。由於太陽距離我們相當遙遠，因此我們把太陽光看作是一束理想的平行光線。我們把直接射入人眼的太陽光與 AB 的夾角記為 α ，把經過水麵上的一點 C 反射進入人眼的光線與 AB 的夾角記為 β 。從圖上可見，視角 β 比 α 小，也就是說太陽在水面上的鏡像比本身要小一些。

β 究竟比 α 小多少呢？對照片進行精確地測量，可知太陽的直徑相當於照片中的 317 個像素，而露出水面的部分高 69 像素，水中的倒影則只有 29 像素。眾所周知太陽的視直徑（看太陽的視角）為 0.5 度，因此我們就得到 α = 0.5 * 69 / 317 ≈ 0.1088 度， β = 0.5 * 29 / 317 ≈ 0.0457 度。

如果再已知人眼（或者說相機）離水面的垂直距離 h 為 2 米，那麼根據這些數據我們就足以估算出地球的半徑了。不妨把 ∠AOB 記為 φ ，把 ∠AOC 記為 θ ，把人眼到水天相接處的距離 AB 記為 D ，把人眼到反射點的距離 AC 記為 d ，入射角和反射角記為 γ ，最後用 r 來表示地球半徑，那麼此時我們一共有 6 個未知量。為了求解出這 6 個未知數，我們需要尋找 6 個不同的方程。這 6 個方程可以由以下 6 組等量關係得到：

1. 四邊形 OBAC 的內角和為 360° ，即 (φ – θ) + 90° + β + (180° – γ + 90°) = 360° ，化簡得方程(1) φ + β = θ + γ

2. 兩條平行線的同旁內角相加為 180° ，即 (α + β) + (180° – 2γ) = 180° ，即方程(2) α + β = 2γ

3. 由於 AO = h + r ，同時又有 AO = AD + DO = D·sinφ + r·cosφ ，因此有方程(3) h + r = D·sinφ + r·cosφ

4. BD 既可以等於 D·cosφ ，又可以等於 r·sinφ ，於是有方程(4) D·cosφ = r·sinφ

5. 由於 AO = h + r ，同時又有 AO = AE + EO = d·sin(γ+θ) + r·cosθ ，因此有方程(5) h + r = d·sin(γ+θ) + r·cosθ

6. CE 既可以等於 d·cos(γ+θ) ，又可以等於 r·sinθ ，於是有方程(6) d·cos(γ+θ) = r·sinθ

一系列複雜的代數運算（省略數百字）最終告訴我們：

r = h / (√1 – 2·cosβ·cosγ + cos2γ / sinβ – 1)

其中 γ = (α + β)/2 。代入已知的 α 、 β 和 h 可以得到，地球半徑 r 大約為 7.29312 * 106 米，也即 7293 千米。

這個估算的誤差有多大呢？事實上，地球的半徑大約為 6300 多千米，可見誤差不是一般的大。不過，考慮到我們估算的依據僅僅是一張照片，能把數量級估對就已經相當牛 B 了。除了測量的精度之外，還有很多潛在的因素會導致誤差。目前看來，誤差的最主要來源似乎是不完全平靜的水面——一點小小的波浪就會給 α 、 β 的值帶來巨大的影響。恩里科·費米（Enrico Fermi，1901-1954）是美籍義大利物理學家，1938年獲諾貝爾物理學獎，1942年創造了第一次原子核的鏈式反應，引領科學進入原子時代. 值得一提的是，費米還是一位善於啟發學生思維的教育家，他特別喜歡用估算的方法來訓練學生獨立思考問題和處理難題的能力. 他說，當你聽到一個問題，可你對問題的答案絲毫都不知道，你肯定會認為所提供的信息或已知條件太少了，因而無法解決它；但是當這個問題被分解成幾個次級問題，每個問題不用求教專家或書本都能解答時，你就接近於得到準確的答案了.

「費米估演算法」的特點在於解決不提供準確解題必須的全部條件的估算問題. 據說，有一次費米在芝加哥大學的課堂上提出了一個古怪的問題：芝加哥市一共有多少位鋼琴調音師？見學生們一片茫然，費米提示把這個問題「分解成一些便於操作的小問題，然後鼓起勇氣作猜測和假設」. 芝加哥有多少居民？可靠的估算是300萬；平均每個家庭有多少人？4人；多少家庭有鋼琴？大概三分之一，那麼全市大約就有25萬架鋼琴；一架鋼琴隔多長時間需要調音？平均5年，那麼芝加哥平均每年有5萬架次的鋼琴需要調音；每個調音師每天能為多少架鋼琴調音？4架；假設他一年工作250天，那麼他每年約為1000架鋼琴調音. 由此，費米和學生們推測，芝加哥市大概有50位鋼琴調音師. 看起來這個答案不太精確，因為調音師的實際數據有可能介於25位～100位之間. 然而，事後有人用電話號碼簿加以驗證，實際統計的結果與費米的猜測十分接近。

費米的意圖是想說明，我們可以提出假設，然後估算出相當近似的答案. 它的原理是，在任何一組計算里，錯誤往往會相互抵消. 例如，有人會假設不是每3個，而是每6個家庭有1架鋼琴，他同樣也可能假設每架鋼琴每2年半而不是5年必須調一次音. 由於錯誤的估計往往相互補償，其計算結果將趨向於相對正確的數字. 用理論語言表述就是：費米估算的準確性取決於「平衡（均）律」的作用. 「平衡（均）律」在自然界和我們的生活中無處不在. 對它的理解是：在猜測過程中的每一個小問題的關鍵點，你的推測假設都有可能過高或過低，但是如果這樣的「點」多取幾個，誤差往往就會互相抵消。

費米處理問題的方式是將複雜、困難的問題分解成小的、可以解決的部分，從而以最直接的方法迅速解決問題. 這種思維方式非常實用，可以幫助我們解決很多日常甚至重要的問題. 在上個世紀40年代的一個早晨，世界第一顆試驗原子彈在美國新墨西哥州沙漠上爆炸. 40秒鐘後，震波傳到費米和他的同事們駐紮的基地，費米把一些碎紙屑扔向空中讓其隨風飄落，然後通過迅速計算，費米向他的同事宣布爆炸的能量相當於1萬噸烈性炸藥，這與精確測量的結果極為接近. 大家對這位估算天才欽佩之餘但並不驚奇，因為費米估演算法早已聞名遐邇。

在實際生活中，我們常常需要在信息不全的情況下做出判斷決策. 要使我們的決定儘可能正確，最有效的策略就是「費米思維」，它對於培養我們的應變能力，以及解決突發事件的能力都有很大幫助，甚至應該成為我們生存和發展的必要心理素質。

（轉自河師吧，侵聯刪。）

講個去年因為因為手抖而算準的例子：從淘寶藍牙耳機銷量估算了一下手機用戶，去年中二期發再說說里自娛自樂的。

總結下當時的步驟：，

1、累計相加淘寶藍牙耳機第一頁的銷量（395903件），並認為第一頁佔了全淘寶的1/4；因此淘寶總銷量158.4W.

3、查零售總額和淘寶體量，算得淘寶佔了全國零售的10%；因此全國銷量1583.6W

4、感覺大概一個班級（50人左右）中大概5~6個人有藍牙耳機（南京），所以覺得高於5%、低于于15%的人有藍牙耳機，取平均值12.5%的人有藍牙耳機。;因此全國有12.7億手機用戶。

5、查工信部手機用戶數量：12.8億，誤差極小，為自己的精確性感到不可思議並發了說說。

……然而

直到回答本題時才發現，第四步算出來的結果應該是1.27億而不是12.7億。當年手抖計算器多按了一個0。

附當時發說說的長圖

全國有9.2萬個加油站，怎麼算出的？