Weyl半金屬中的手征反常(chiral anomaly)的基本理論(Part 1)

02-28

從科普的角度看，@樹袋熊，@LindaRao的答案基本上可以給人經典和直觀的解釋。但是我有點強迫症地，還是想要指出，手征反常(chiral anomaly)這個概念其實是非經典的也不直觀。接下來，我會從五個角度（場論，模型Hamitonian，Boltzmann輸運方程，強磁場下Landau能量分析和Axion電動力學）來引出手征反常出來，希望能幫助你理解Weyl半金屬中的手征反常。答案有點啰嗦啊，誰叫我閑得蛋兒疼呢。。。（這兒是第一部分，第二部分有點長，單獨寫出來了，參看Weyl半金屬中的手征反常(chiral anomaly)的基本理論(Part 2) - 知乎專欄）

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Weyl半金屬中的手征反常(chiral anomaly)的基本理論（part I）

------Yiming Pan (楓林白印)（原創，轉載請註明出處）

Weyl半金屬 (Weyl semimetals)是一種被稱之為拓撲半金屬的材料[1-5]。它有許多特性，比如其低能有效能帶是線性Dirac型色散，體帶能帶受拓撲保護，具有一段不連續的非平庸的費米弧表面態（Fermi arc）[2,4]，還有手征反常 (chiral anomaly)以及由手征反常誘導的一系列的電磁響應等[6]。這些特性不管從理論的還是實驗的角度看其實都不算新鮮，因為我們對高溫超導，石墨烯(graphene), 拓撲絕緣體(TIs)以及量子（自旋）Hall效應的深入研究早已經把Weyl半金屬可能的性質預言個通透了[1-5]。Weyl半金屬的火，其實是從2014底第一性計算和2015年初實驗上TaAs族材料的發現開始燒起來的[7-11]，類似的新材料或者早已存在的舊材料都陸陸續續被報道出來了。相比較於做實驗和做計算方面的熱度，做理論的研究者似乎就冷淡得多，因為關於Weyl半金屬的理論體系早在研究拓撲絕緣體的時候已經被順帶建立起來了。當然，由實驗帶動具體到實際材料的理論研究確實方興未艾，比如Weyl半金屬（或Dirac半金屬）在輸運上具有類似線性的不飽和磁阻，弱反局域化(WAL)以及負磁阻(NMR)等[12-15]，還需要進一步確認其機理。

還是回到Weyl半金屬的眾多特性上來說，雖然這些特性對於做TIs理論的人來看並不新鮮，但是有一個概念即手征反常[16-23]，依然沒有被深入探討過，特別是它如何從場論中進入凝聚態，如何被實驗觀測和應用，以及它涉及的深刻的物理背景等。討論Weyl半金屬的基本理論的文獻很多，可選擇的角度也很多，可以從把Weyl半金屬看做一種『三維石墨烯』(3D graphene)的延伸，藉助於對石墨烯的理論和認識研究Weyl半金屬，也可以從磁性參雜的TIs層狀堆砌的超晶格模型來[24]，如果熟悉TIs的話。那麼如果對這些材料本身的理論也是一知半解的話，更抽象的做法也是有的，比如從Dirac方程出發，將一個Dirac費米子分裂成一對Weyl費米子，進一步從討論其是時間反演對稱性破缺還是空間反演對稱性破缺這種問題開始。然後不同於以上的角度，本文選擇從手征反常(chiral anomaly)開始，因為我個人看法是手征反常最難懂，最神秘，也最有應用價值。把手征反常這個概念拿下了，其他相關問題都是小case，而Weyl半金屬不過是手征反常存在的一種材料上的實現罷。

場論：量子反常和Fujikawa技術

手征反常，英文名叫chiral anomaly, 又叫 quantum anomaly, axial anomaly, 還有叫 Adler-Bell-Jackiw (ABJ) anomaly和triangle anomaly[17]. 這些豐富的叫法都挺合適的，而且基本都沿用至今，但是對於初學者來說卻是丈二和尚摸不著頭腦，很是頭疼的。物理上，手征反常是有準確定義的，用英文來說就是」 The chiral anomaly is a quantum term that violates the classical conservation of the chiral current」[25]。解釋起來就是說，手征反常是一種量子效應，但有趣的是並沒有經典對應。一般為了得到一個量子理論，我們會先得到一個經典理論（Lagrangian）然後通過量子化的手續得到相應的量子理論。在這個過程中，經典體系中的對稱性也得到一個量子版本，根據Noether定理每種對稱變換給出一個相應的守恆流（或守恆荷），比如熟知的Lorentz對稱性或CPT對稱等等。這些都是量子場論教科書入門的知識，就不多贅述。但是一個經典的對稱性就一定存在一個量子的對稱性嗎？或者換個說法，經典系統中存在兩個對稱性，那麼量子化之後，這個兩個對稱依然可以自洽共存，不打架？物理的世界就是充滿著矛盾，這時手征對稱性就扮演這樣的『壞分子』。對於一個無質量的Dirac Lagrangian，系統存在一個經典場論下的手征對稱性，也就是其左右手費米子數是分別守恆的；一旦量子化，這個手征對稱性就會本徵自發地破壞，其結果就是左右手費米子數不再保持不變，同時手征守恆流多出個源項[6]，

其中左式 $j_5^{mu}=( ho_5, f{J}_5)$ 是四維手征流，表示左右手電筒流差，具體的定義一會兒再給出來。我們先簡單從數學上分析一下這個方程，這是一個一階非齊次偏微分方程，同時包含一階時間導數和一階空間導數，以及一個非齊次的源項，即三維形式為，

這個方程包含了幾乎所有的關於手征反常對電子輸運以及光學響應的行為。具體的方案就是將它分別和描寫電子輸運的Boltzmann方程相結合來分析輸運行為[26,27]，如手征磁效應(chiral magnetic effect), NMR等；另一方面則是把電子場當做背景『積掉』並融入Maxwell方程，這樣就得到了一個基於WSM材料的 axion Electrodynamics[28]，這方面的光學應用以及相關理論至今並不完善，已有的行為如磁電效應(magnetoelectric effect)[29], 反常雙折射行為[30,31]等。考慮這些問題是具體而細節的，會在其他章節獨立分析，這兒會把所涉及的基本理論介紹清楚，同時能讓讀者感受到手征反常並不神秘，它本身早已存在於我們熟悉的理論體系中，只是不曾被注意到而已。

接下來，要開始啃第一根硬骨頭，即如何推導出手征反常以及手征流方程(2.1)和(2.2)式來。尊重場論的傳統，首先給出一個Weyl半金屬在四維Minkowshi空間下的作用量來[23]，

其中 $ar{psi}=psi^{dagger}gamma^0$ 。這兒 $D_{mu}=partial_{mu}+iA_{mu}$ 是協變微分， $A_{mu}$ 是磁矢勢，m是Dirac質量項， $b_{mu}$ 是四維axial矢量項， $gamma^{mu}$ 是4*4矩陣滿足Clifford代數，其中 $gamma^5=igamma^0gamma^1gamma^2gamma^3$ 。這個『場論化』的作用量所對應的Hamiltonian是很容易寫出來的，以及所包含的參量在固體能帶中的物理含義，我們一會兒再交代。之所以寫成作用量的形式，其實目的是為了方便使用路徑積分的語言進行量子化的。因此，引入了配分函數(partition function) Z，

並對Z作一個local手征變換[6,20]，

注意在獲得的變換關係中，利用了反對易關係 ${gamma^5,gamma^{mu}}=0$ 。由於生成元 $heta(x)$ 可以任意小，上面的手征變換是連續的，另外請注意一下熟知的『左右手互換』其實是一種global分離的手征變換，即 $psi ightarrow gamma^5psi,ar{psi} ightarrow -ar{psi}gamma^5$ ，也就是 $heta(x)=pi$ 的一種特殊情形。在配分函數Z中，作用量 $S_W$ 決定的相位項(phase term)和費米子場變分的測度項(measure term)將分別隨著手征變換髮生變化[32-36]。首先來看相位項的變化，我們發現local手征變換把中的axial矢量一點一點消掉，最後蛻化成一個無質量的Dirac作用量 $S_D=int d^4x ar{psi}igamma^{mu}(partial_{mu}+iA_{mu})psi$ ，此時得到 $heta(x)=2b_{mu}x^{mu}=2(f{bcdot r}-b_0 t)$ （這兒為簡便起見m=0）。相位項的變換和經典場下的變換是一樣的，因此手征流 $j_5^{mu}=ear{psi}gamma^{mu}gamma^5psi$ 自然是守恆的。上面的手征變換把軸矢量 $b_{mu}$ 一點一點吃掉的過程和引入一個U(1)規範變換 $e^{-ialpha(x)/2}$ 把磁矢勢 $A_{mu}$ 消掉的過程是一樣的，而且對於經典場作用量來說，這兩個變換是自洽的，可以同時進行，也就是說經典場下手征流 $j_5^{mu}$ 和電荷流 $j^{mu}=ear{psi}gamma^{mu}psi$ 同時保持守恆。接下來考慮量子化會給手征流 $j_5^{mu}$ 帶來什麼效應，從路徑積分的語言來說，即考慮測度項的變換，

其中行列式代表手征變換的Jocobian，將它寫成位相的形式並定義 $Delta S_{ heta}= ext{Tr}[ heta(x)gamma^5]$ ，求跡過程是對所有自由度積分或求和[32]。因此，得到變換後的配分函數為，

其中，

為了獲得 $Delta S_{ heta}$ 更一般的解析表達式，需要把費米子場的部分給積掉，才能看出 $heta(x)$ 與電磁場 $A_{mu}$ 的耦合效應。注意到變換後的作用量中Dirac部分 $S_D$ 與 $heta$ 部分並不對易，即 ${S_D,Delta S_{ heta}}=0$ , 不可能被同時對角化。這種反對易的關係就會導致在選擇規範不變的表象下看就會出現 $heta(x)$ 和電磁場 $A_{mu}$ 反常耦合。假如可以給出Dirac作用量 $S_D$ 的本徵值以及本徵態，即

其中正交完備性滿足 $int d^4x phi_m^*phi_n=delta_{mn}, sum_n phi_n^*(x)phi_n(y)=delta(x-y)$ ， $varepsilon_n$ 為能量本徵值。在 $S_D$ 的本徵態所構成的表象下，反常項的作用量 $Delta S_{ heta}$ ，

考慮出現在上式中的求和項，我們定義之為

這個求和項 $A(x)$ 的物理非常的深刻，並且包含無窮大消無窮大的情形，所以需要小心點處理。首先，注意到反對易關係 ${gamma^5,gamma^{mu}}=0$ ，因此如果 $phi_n(x)$ 是Dirac運算元 $gamma^{mu}D_{mu}$ 的對應本徵值為的本徵態，那麼

也就是說 $gamma^5phi_n(x)$ 是Dirac運算元 $gamma^{mu}D_{mu}$ 的對應本徵值為 $-varepsilon_n$ 的本徵態。由本徵態的正交性可知，求和項中只有零模本徵態有貢獻（ $varepsilon_n=0$ ），而其他非零模沒有貢獻。對於零模本徵態 $phi_0$ 而言，我們重新找一組基於的新的完備基展開，因此可以得到，

其中 $gamma^5 phi_{0,pm}(x)=pmphi_{0,pm}(x)$ ， $n_{pm}=int d^4x phi_{0,pm}^*(x)phi_{0,pm}(x)$ 是 $gamma^5$ 的本徵值為正或負的零模的數目，也就是左右手零模粒子數目。這兒的 $u$ 物理上看是左右手零模數目差，但從數學上看則有一個專門的定義，叫做Dirac運算元的Pontrygin指標(index)[32-36]。而我們所關心的手征反常則對應於一個局域性的Atiyah-Singer指標定理的結果。關於Atiyah-Singer指標定理在物理上的應用是非常豐富而深刻的，有興趣的讀者可自行調研，我這方面涉及有限，就不多贅述了。需要注意的是，物理量A(x)中無窮階求和之所以可以消掉，恰是由於選擇的完備基很巧妙，但是如果選擇一個一般化的基底的話（如 $D_{mu}$ 運算元的本徵態完備集），那麼求和過程就必須遍歷所有能量區域，這時候就必須引入一個能標作切斷，從而用規範化手續來完成求和。基於以上認識，現在使用Fujikawa熱核規範化[32]來真正處理求和項A(x)，

有必要簡單解釋一下上式，首先我們在求和過程中塞進去一個Gaussian衰減因子 $e^{-varepsilon_n^2/M^2}$ ，保證求和必然收斂，求和之後得到的數值就會依賴於參數M，然後讓M取無窮大極限，這樣就可以拿掉衰減因子的影響得到求和項A(x)的最後結果。從數學上看規範化手續則是將原本求和或積分過程分為兩步處理，先作有限的部分求和，然後再構造一個柯西序列，這個序列的收斂極限作為最初表達式的計算結果。其次需要注意的是，在最後一步我們選擇了平面波基矢（也就是 $D_{mu}$ 本徵態）來展開，這兒的求跡(Trace)只包含內部自由度。接下來，要展開衰減因子並向新的基矢投影，

最後，得到反常項的作用量為

這兒 $ext{Tr}{gamma^5[gamma^{mu},gamma^{ u}][gamma^{ ho},gamma^{lambda}]}=-16epsilon^{mu u holambda}$ ， $F_{mu u}$ 是電磁場張量。經過艱苦的計算，我忍不住先把最終的結果呈現給大家，然後再來整理計算過程中的技巧。對比先前作用量 $Delta S_{ heta}$ ，已經把費米子場部分給『積掉』了，獲得了 $heta(x)$ 與電磁場之間的耦合效應，從這個意義上說，Weyl半金屬材料中電子場變成了背景，需要考慮 $heta(x)$ 所引起的整體上的電磁響應就行。在上面關於求和項 $A(x)$ 需要注意兩個計算細節：一是包含部分的冪指數進行泰勒展開時只保留了二階項( $O(e^2)$ ), 零階項和一階項被丟掉是由於 $gamma^5$ traceless的性質保證的，求跡之後為零，而三階項以及更高階可以被丟掉是因為它們都至少是 $propto M^{-2}$ ,取完極限之後也為零；二是最後一步需要處理一個四維體積分，這兒作了一個虛時變換（ $t ightarrow -i au$ ）從Minkowshi空間轉到了Euclidean空間，利用四維積分公式 $int d^4k/(2pi)^4 e^{-k_{mu}k_{mu}}=1/16pi^2$ , 並做一下坐標變換把M因子吸收進積分中即可。

我們得到的手征反常的作用量，它會對流方程產生什麼樣的影響呢？利用上式，可以給出作用量在作了無限小的手征變換後的形式，

這兒 $heta(x)$ 為無限小變數，因此給出手征反常流方程(又叫Adler-Bell-Jackiw anomaly equation),

好了，至此第一根硬骨頭總算是啃下來了。我必須感慨幾句，以上計算的結果主要參考了Fujikawa1979年以及1980年的原始文獻[32-36]，並無新意，而我之所以事無巨細地把手征反常給重新推導出來，實在是因為太欣賞這篇文章的立意了，它竟然能從配分函數的測度項（ $mathcal{D}psimathcal{D}ar{psi}$ ）中把手征反常效應給撈出來，讓我這個做理論物理的後輩著實欽佩。另一方面，手征反常是一種量子反常效應沒有經典對應，更不好直觀想像，將來把手征反常應用到複雜的凝聚態體系中會遇到各種各樣的不可理解的結論時，到時就會發現熟悉以上推導過程可以幫助我們分辨什麼是正確的結果。

接下來，在啃第二根不太硬的骨頭前，先交代幾個問題。第一是把上面的手征反常流方程過於場論化的表述，寫得更好操作些；二是手征方程誘導的反常輸運現象，如反常Hall效應和手征磁效應[6]；三是把從能帶的角度如何在材料中實現WSM作用量和Hamiltonian。第一個問題相對簡單，定義電磁場張量的對偶張量 $ilde{F}_{mu u}=frac{1}{2}epsilon^{mu u holambda}F_{ holambda}$ ，然後給出它們的具體表達式，

然後可以算出來 $epsilon^{mu u holambda}F_{mu u}F_{ holambda}=-bf{Ecdot B}$ ，代入就得到了(2.1)式，

這兒分別是電場和磁場強度。注意對比(2.1)式，這兒的係數少了一個電荷e是因為，正則替換時選擇 $partial_{mu}+i A_{mu}$ 了而不是 $partial_{mu}+i eA_{mu}$ , 另外缺少的因子 $hbar^{-2}$ 是因為在配分函數中相位項部分實際上是 $e^{i(S_D+Delta S_{ heta})/hbar}$ , 作泰勒展開到二階時就會貢獻這個因子，因此準確的係數在(2.1)式中是 $e^3/2pi^2hbar^2$ 。

第二個問題有趣，從反常項作用量 $Delta S_{ heta}$ 出發可以獲得反常電流貢獻，為此我們注意到 $F_{mu u}=partial_{mu}A_{ u}-partial_{ u}A_{mu}$ ,

因此，

這兒用了分部積分的技巧並丟掉了表面項，得到反常項的Chern-Simons形式，這一形式的作用量是用於描述拓撲場論以及量子Hall效應的，這說明手征反常和凝聚態中的量子Hall效應具有內在聯繫[37]，並且有拓撲性，這個神秘的關聯以及其中可能的物理內涵，先按下不表。基於Chern-Simons形式，得到電流表達式為，

然後把它寫得更人性化一點，注意 $heta(x)=2(f{bcdot r}-b_0t), E=- ablaphi-partial A/partial t, B= abla imes A$ ， $epsilon^{mu u holambda}$ 為四階反對稱張量，因此只考慮電流空間分量

第一項就是反常Hall效應。不失一般性考慮 $f{b}=b_z hat{z}$ 只沿著Z軸方向，這樣反常Hall電導 $sigma_{xy}=e^2b_z/2pi^2$ , 其中 $2b_z$ 的物理意義是兩個手征不同的Weyl點之間的動量差。類比Hall效應，可以 $f{b}$ 把當作外磁場，可以在動量空間形成Lorentz力。

第二項比較微妙，就是有名的手征磁效應，它預言當兩個Weyl點存在不同的化學勢之差時，外磁場可以直接誘導平行於磁場方向的電流出來，這個電流大小正比於手征電勢差 $2b_0$ 和外磁場的強度。咋看之下，不管是否處於整體平衡態下，只要Weyl點能量位置發生上下移動並形成手征能量差，那麼這個體系就會給出一個淨餘的手征磁效應(CME)[26]。但是細細想想在平衡態下CME存在與否是有問題的，如圖2.1(a)所示。圖(a)中兩個Weyl點分別處在能量為 $E_1,E_2$ ，整體平衡態下系統的費米能為，此時右手Weyl谷(valley)為電子型填充，而左手Weyl谷則為空穴型。假設加入一組平行的外電場和磁場，由於手征磁效應，系統就會不斷有淨餘的能量溢出，

其中P為Ohmic功(power)。只要選擇適合的外場方向，如電場和磁場反平行，那麼系統就會源源不斷地向外輸出能量。但是系統已經處於整體平衡態，總體能量已經是最小了，系統的能量不可能更低了，因此不可能會對外做功的。因此我們必須意識到這個事實，即手征磁電流在系統趨於平衡態時就會消失。

為此必須重新定義手征電勢差 $2b_0$ 的意義，實際上我們可以猜想到用左右手Weyl谷的費米能之差來定義手征電勢差 $2b_0=E_L-E_R$ , 如圖2.1(b)所示，在外場下，系統不斷對外做功同時右手Weyl谷種的電子不斷流向右手Weyl谷，使得手征Weyl谷費米能趨於一致 $E_L=E_R=E_F$ (圖a所示)，此時手征電勢差為零，手征磁效應就會效應，系統也最終趨於平衡。因此，在實際系統中，我們需要重新理解一下CME, 即

其中 $f{J}_{ch}$ 就是CME導致的淨餘電流。這一結果雖然是猜想出來的，但其實是可以通過Boltzmann輸運方程準確獲得[26,27]，而這個方程的推導就是要啃的「第二根骨頭」。回過頭來說，從場論中得到的CME為什麼會失效呢？其實原因就在於場論中的基態是如圖2.1(b)所示（又叫-vacuum），而實際材料中的基態則是如圖2.1(b)所示的平衡態。

模型Hamiltonian分析

好了，第二個問題就是Weyl半金屬的Hamiltonian以及能帶特徵。通過作用量 $S_W$ [Eq 2.3]，作一個廣義的Legendre變換就可以得到所需要的Hamiltonian，

這兒暫時不考慮與電磁場的耦合。這是一個4*4矩陣形式的Hamiltonian, 其本徵值的一般解是可以通過數值手段給出的。但是一上來就直接給出數值解，可顯得太粗魯並不聰明。而實際上在特定情況下，可以很簡單地得到解析解，因此動手之前先動動腦子，通過對稱性分析來找到一些可能的解析解。對於一個Dirac Hamiltonian來說，後面兩項都可以看做質量項，即Dirac質量項m, 類空的三維軸矢量 $vec{b}$ 以及類時的手征化學勢 $b_0$ 。而解析解，不平庸地可分三種情況[23]: (1)m=0，其他項不為零；(2) $b_0=0$ ，其他項不為零;(3) $vec{b}=0$ ，其他項不為零。從對稱性分析來看，Dirac質量項m破壞手征對稱性，軸矢量 $vec{b}$ 破壞時間反演對稱性(T),而手征化學勢 $b_0$ 則破壞空間反演對稱性(P)。第一種情形是顯然的，只要選擇手征表象( $gamma^5$ 的本徵態)，立刻就會發現左右手是分離的沒有耦合，同時軸矢量 $vec{b}$ 把Weyl點在動量空間進行分離而手征化學勢 $b_0$ 則在能量空間進行分離，這也正是我們在推導手征反常所選擇的那種情形(m=0)。作為一個例子來看看Dirac質量項m會產生什麼樣的影響，我們來求解一下第二種情形 $b_0=0$ ，還是選擇 $gamma$ 矩陣的手征表象，

那麼，Hamiltonian在動量空間中的矩陣形式為，

當m=0時，左手Weyl電子的能量零點偏移到，而右手Weyl電子的能量零點偏移到 $-f{b}$ ，總動量偏移量為 $2f{b}$ 。當 $m eq 0$ 時，左右手被混合起來了，不再是 $gamma^5$ 的本徵態可以決定了，這時可解出能量本徵值為

其中 $hat{b}=f{b}/|b|$ 為單位方向矢量。由於時間反演對稱性被破壞，Kramer簡併被破除，得到了四支非簡併的能帶, 如圖2.2所示。

注意到s=1對應的兩支色散總是能隙打開的(fully gapped)，而s=-1對應的兩支能帶在 $m>|b|$ 時也是能隙打開的，因此系統就是一個絕緣體(或者半導體)。但是當 $m<|b|$ 時，s=-1對應的一支導帶和一支價帶會發生交叉，交叉點的位置可通過 $E_{-}(k)=0$ 解出為 $k_{pm}=pmhat{b}sqrt{b^2-m^2}$ ，因此得到有效的Weyl費米子激發。在s=-1對應的能帶子空間中作低能有效近似，可得到一個約化的Hamiltonian為，

這兒湧現出來的手征Weyl電子的總動量偏移為 $2hat{b}sqrt{b^2-m^2}$ ，同時相應地也可以重新定義手征運算元 $widetilde{gamma^5}$ ，來定義手征對稱性以及手征反常。從約化的Hamiltonian看，Dirac質量本來要打開能隙的但是卻被軸矢量 $vec{b}$ 給部分屏蔽了，但是當 $m>|b|$ 時，Dirac質量項依然會打開所有能帶，可以認為，這時左右手混合的太深已無法區分左右手征性了，也無法定義有效的手征運算元 $widetilde{gamma^5}$ 。

回到所關心的問題本身，也就是說對於一個Weyl半金屬的材料實現來說，T或者P兩者必須至少有一個對稱性被破壞才行，否則T和P同時存在，那麼Weyl點必然成對簡併，那就變成Dirac半金屬的情形了。另外實際具體材料還需要考慮晶體空間群，這個問題需要具體材料具體分析才行。基於對第三個問題的認識，我們得到一個非常有價值的結果，在固體能帶中，不管使用什麼手段(加壓，參雜，元素替換等等)，只有能夠實現費米面附近的能帶非簡併地交叉，那麼在交叉點附近有效准粒子激發就是手征Weyl費米子！

這個條件如此之普通，並沒有附加任何苛刻的條件，對比拓撲絕緣體或者超導材料實現的條件都要容易得多啊。然而實際的發展過程則是拓撲絕緣體先發展成熟，而Weyl半金屬卻是最近才火起來，這個原因我在介紹Fermi arc的回答中涉及過（求問一下，誰能科普一下Fermi Arc和 weyl semimetal的聯繫。？），這兒就不多評論。關於拓撲絕緣體和Dirac金屬等綜述文章很多，有興趣可以參考文獻[2-4]等。

至此，簡單總結一下，其實以上我們乾的最主要一件事情就是用場論的方法推導出來手征反常，並最後給出在材料中實現手征反常所需要的最小的條件。然而場論的語言包括路徑積分和規範化等可能會使得部分讀者感到不適應，甚至有人會問，有沒有更加凝聚態語言的方式獲得手征反常呢？我的回答是，有的！接下來，將開始用凝聚態中大家熟悉的Boltzmann輸運方程來推導出，手征反常流方程。這個方法不僅僅是為了提供給大家一個新的角度認識手征反常，以後就會發現，當你需要處理實際輸運問題，就會發現Boltzmann輸運方程是最保險最有效的方案。

(*暫時先寫到這兒吧，唉，編輯公式真是讓人噁心的活，下次再補充關於Boltzman方程和Landau能級中的手征反常分析---17-06-2017*)

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