探索圍棋官子最優解（二）：棋盤的溫度

02-28

前文見不會功夫的潘達：探索圍棋官子最優解（一）：卡片圍棋

{本文雖然是最後寫的，按照邏輯順序應為本系列第二篇，望讀者諒解。}

(本文暫時謝絕一切轉載）

傳統圍棋教科書上的官子理論自成體系，但構成其根基的一對概念「先手」、「後手」並無精確定義。無論是理論還是實踐，整個理論體系都因此產生了巨大的問題。本節我們將藉助卡片圍棋，給先後手以精確的定義【注1】。

出入計目法

「出入」一詞源自日本大正時代，本意為會計中的收入與支出。傳統圍棋教科書上普遍採用出入計目法（Deire Counting）評估官子的價值。請看以下兩例：

例１：後手官子

本例中，局部黑白無論誰先動手都可以吃掉對方的子，從而有所收穫。若黑先，則黑吃白二子，黑方得４目，記為＋４；若白先，白吃黑一子，白方得２目，記為－２。兩者相減即得到出入值，為４－（－２）＝６目，即本官子價值６目。由於局部無後續，此處為雙方後手官子，因此官子價值記作後手６目。

例２：單方先手官子

本例與上例有所不同。此局部，白先則可在ａ位吃，局部白棋得５目，記作　－５。而黑先在ａ位吃以後，白棋須在ｂ位補一手，否則下一步黑棋就可以在ｂ位全殲白角。按照黑ａ白ｂ計算，局部黑棋４目，白棋２目，凈目數是＋２。由此我們得到本局部的出入值是＋２－（－５）＝７目。我們把黑先的ａ處官子稱作先手７目，白先的ａ處官子稱作逆收（逆先）７目。

先後手是全局概念

按照傳統理論，先手即對方須立即回應的著手，而後手則是對方不須回應的著手。這立即造成了疑問：什麼情況下需要立即回應？上面例２中，黑ａ之後，若白ｂ不走則角部會被黑棋殺死，因此白棋需要立即回應。但是，殺角價值區區後手１７目；如果棋盤上其它地方有價值更大的著手，白棋不必立即回應，先手就變成了後手。

由此可見，僅考慮一個局部，我們無法判斷一步棋到底是先手還是後手。換句話說，先後手取決於全局的狀況。從全局考慮問題總是很麻煩，我們希望能將全局問題轉化為局部問題，而卡片圍棋就給我們提供了這樣一個途徑。

定義溫度

江芮夫婦玩的卡片圍棋中的卡片從２０，１９.５直至０.５目共４０張。現在假設棋盤上只有例１中的一個官子局部，以及取了一部分的卡片摞，還剩下３目至０.５目的六張卡片，黑先，請問現在應該走官子還是拿卡片？答案是沒有區別！若收官子，黑方得棋盤上的４目＋２.５＋１.５＋０.５＝８.５目；白方得３＋２＋１＝６目，黑勝２.５目；若拿卡片，黑方得３＋２.５＋１.５＋０.５＝７.５目，白方得棋盤上的２目＋２＋１＝５目，也是黑勝２.５目。換句話說，例１中的官子與一張３目的卡片等價。

有些官子相當複雜（如上節引言中的例子），０.５目的卡片不足以精確描述其價值。如果不考慮遊戲性，僅從理論研究出發，我們可以加厚卡片摞，比如０.００１目，０.００２目，．．．以千分之一目為公差遞增直至１００目的十萬張卡片。假設棋盤上剩下一個局部，以及一摞十萬張卡片餘下的一部分，最高值卡片為Ｘ。為了避免人類失誤的干擾，我們可以做一個思想實驗，讓決不犯錯的圍棋上帝做選擇。如果圍棋上帝認為拿Ｘ目的卡片和走這個官子沒有區別，我們就定義這個局部的溫度【注2】（temperature）為X。所謂溫度，就是熱的地方更緊要，冷的地方可以先放一放。

由溫度定義先後手

定義了溫度之後，先後手的嚴格定義也呼之欲出。如果一步棋令局部溫度上升，我們就說這步棋是先手（sente【注3】）；若其令局部溫度下降，則這步棋是後手（gote）。

比如例2中的局部，溫度是7目。黑走a之後，餘下局部溫度是8.5目，有所上升，因此黑a是先手。白走a之後，餘下局部溫度是0目，因此白a是後手。

一個全局的例子

上圖脫胎於江芮夫婦卡片圍棋對抗的第二局，各個局部的溫度已經標出（紅色代表白棋行棋的位置，藍色代表黑棋行棋的位置，紫色代表雙方行棋位置重合）。現在輪到黑棋，全局最熱的地方在左下角，溫度是５/３目，因此黑棋走左下的扳。全局的溫度即所有局部溫度的最大值，這是溫度的基本性質。黑扳以後，左下溫度下降至１/３目，全局溫度最高的點變為中央Ｊ７位的粘。白粘之後，Ｇ５位的溫度急劇上升至約３目，意味著白粘是先手，黑必須在Ｇ５應一手。接下來白棋走Ｎ７，溫度為２５/２４的局部。

白４提令右邊的溫度下降至１１/１２目，是後手。接著Ｅ５提和Ｆ１３扳溫度都是１目。黑走Ｅ５提，白走Ｇ１３位扳，令局部溫度上升，是先手。黑Ｈ１３回應的打吃也是先手，而白Ｆ１３接令局部溫度下降至０，最終是後手。餘下棋盤上最熱的點在左上和右下之間搖擺，雙方依次收官直至終局。

見合計目法

我們不是圍棋上帝，如何得知某個局部的溫度呢？好在傳統的出入計目法遠非一無是處，將其稍加改造為見合計目法（Miai Counting）即可兼容。對於相對簡單的局面，我們可以先採用出入計目法的結果，記作D; 然後對黑先結果與白先結果下雙方所花步數做差，記作步數差T。不難發現，如果是雙方後手官子，則T=2；如果是黑方單方先手官子，則黑先時黑棋不用多下，白先時白棋多下一步，步數差是1，因此T=1；逆收官子同理，也是１.　則見合目數Ｍ可以用以下公式：Ｍ＝Ｄ／Ｔ計算。

例１是雙方後手官子，Ｄ＝６，Ｔ＝２，因而Ｍ＝６／２＝３，見合價值是３目，即局部溫度。例２是黑方先手官子，Ｄ＝７，Ｔ＝１，從而Ｍ＝７/１＝７，見合價值是７目。如果有雙先官子，則Ｔ＝０，局部溫度是無窮大。此所謂「雙先官子無窮大」，搶到雙先官子就是白賺【注4】。

見合數目法與傳統理論兼容於「單先、逆收官子價值相當於兩倍大小的後手官子」，不過見合數目法的表述更簡潔，也方便了不同官子之間直接做加減法。對於複雜的官子，我們可以循遊戲樹將其化歸為簡單局面，然後遞歸求解。

既非先手也非後手

　　似乎一切關於官子問題都可以得到解答，只差一個程序員了。如果讀者這麼想，就低估了圍棋官子的難度。按照前文先後手的嚴格定義，我們尚遺漏了一種溫度既不上升也不下降的情況。這樣的棋既不是先手也不是後手，大大增加了問題的複雜度。為了分析這一類著手，我們將在下節引入新的數學工具。

後文見探索圍棋官子最優解（三）：組合博弈論

探索圍棋官子最優解（四）：最後一目

本文部分內容引自埃爾文教授２００６年在加州大學伯克利分校教授俱樂部的演講。
在組合博弈論中，溫度的嚴格定義如下：若G={G^L|G^R}是一個賽局，且 {G^L-t |G^R-t} 與一個數字最多只相差一個無窮小量，則稱t是賽局G的溫度。正文中的定義與數學定義實質相同。
大部分英文圍棋術語來自日語的羅馬字，如先手 (sente)、後手 (gote)。
首屆中日圍棋擂台賽，聶衛平對小林光一，黑１１５大緩手，被小林搶到右邊的雙先官子，凈損４目，棋局瞬間逆轉。