範疇論學習筆記2:範疇生範疇
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學習材料:Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters,最近更新(2018年1月29日)的版本。
從既有範疇中我們可以構建新的範疇。方法包括:對偶、子範疇、積範疇、商範疇、箭頭範疇以及切片範疇等。
定義10(對偶,duality)
對於一個範疇 ,它的逆範疇/反向範疇(opposite)或對偶(dual) 是一個滿足下列條件的範疇:
- 的對象即 的對象
- 如果在 中 ,那麼在 中
- 單位箭頭保持不變:
- 中的複合(composition)定義如下:
對偶的對偶即本身: . 每個範疇都存在一個對偶。
以集合範疇 的對偶範疇 為例, 往往不是一個函數。在這種情況下,為了避免誤解,使用「源-目標」而非「定義域-值域」顯得很有必要。
上次筆記介紹了 20 種範疇,這裡再補充兩種:
C21: ,有點集合範疇(pointed sets)。對象是所有有著不同元素 的集合 。箭頭是全函數 ,將不同的 映射到 中。
C22:Rel,以裸集合為對象,但箭頭可以是任何關係(不一定函數)。
Set 的對偶範疇和 Set 有著很大差別;但 Rel 的對偶範疇和 Rel 則沒有本質的差別。
設 為範疇的初級純粹語言(elementary pure language),那麼它有兩個層次(sorts),一個涵蓋對象,一個涵蓋箭頭。它有著兩個內置函數: . 一個內置關係:「……是……的單位箭頭」,以及一個二元函數 .
定義11
設 是 中的一個合式公式(wff),那麼它的對偶 是通過(i)替換 和 ,(ii)改編組合方向,使得 變成 ,所得到的合式公式。
定理5(對偶原則,duality principle)
設 是 中的一個語句(sentence,沒有自由變數的合式公式),那麼 是對於一個任意範疇里對象/箭頭的普通表述。如果範疇論的公理蘊含 ,那麼它也蘊含對偶語句 .
句法證明:
如果範疇論公理對於 有著一階證明,那麼取證明中每一個合式公式的對偶,我們可以從範疇論公理的對偶中得到 證明。這些公理的對偶本身也是公理,故我們可以從範疇論的公理中得到 證明。
語義證明:
如果 永遠 -成立,那麼 永遠 -成立。由於 也包含每一個範疇,所以 永遠 -成立。
定義12(subcategory,子範疇)
對於一個範疇 ,如果 包含下列數據:
- 對象:部分或所有 對象
- 箭頭:部分或所有 箭頭
且滿足下列條件:
- 對於所有 對象 , 箭頭 也是一個 箭頭
- 對於所有 箭頭 , 箭頭 也是一個 箭頭
再參照範疇 中箭頭組合的定義方法,我們就稱 是 的一個子範疇。
- Set 是 Pfn 的子範疇
- FinSet 是 Set 的子範疇
- Ab 是 Grp 的子範疇
- 對於任意一個範疇來說,它對象上的離散範疇是它的一個子範疇
定義13
如果 是 的一個子範疇,且對於所有 對象 和 , 到 的 箭頭是是從 到 的全部 箭頭,那麼我們稱 是 的一個滿子範疇(full subcategory)。
定義14(積範疇,product category)
如果 和 是範疇,那麼它們的積範疇 定義如下:
- 對象是對子 ,其中 是 對象, 是 對象
- 箭頭是對子 ,其中 是 箭頭, 是 箭頭
- 對於每一個對子 ,我們定義它們的單位箭頭如下:
- 複合定義如下:
定義15(同餘,congruence)
我們稱 是範疇 的箭頭上的同餘關係當且僅當它是一個在尊重複合的等價關係。即 是一個滿足下列條件的等價關係:
- 如果 ,那麼 ,且
- 如果 ,那麼在複合有定義的前提下 且
定義16(商範疇,quotient category)
設 是一個範疇, 是範疇 的箭頭上的一個同餘關係。那麼 是一個以 的對象為對象,以 等價類(equivalence classes)為箭頭的一個範疇。
- 對於拓撲範疇 Top,它的箭頭中的同餘關係就是空間之間的兩個連續映射之間的關係,一個映射可以連續形變成另一個映射,也就是說這兩個映射中存在一個同倫關係(homotopy)。那麼我們就得到了 Top/~,即 同倫拓撲範疇 hTop。
定義17(箭頭範疇,arrow categories)
對於一個範疇 ,從它衍生的箭頭範疇(arrow category) 有著下列數據:
- 的對象就是 中的箭頭
- 對於兩個 對象 ,一個 箭頭 是一個使得下圖交換的一個對子 :
的單位箭頭定義為 。箭頭 和 的複合定義為 .
定義18(切片範疇,slice category)
設 為一個範疇, 是一個 對象。那麼在 上的切片範疇 有下列數據:
- 對象是對子 ,其中 是 對象, 是一個 箭頭
- 箭頭 是一個使得在 中 的 箭頭
- 的單位箭頭是 單位箭頭
- 對於箭頭 以及 ,它們的複合 是 箭頭 。
同樣地,我們可以定義切片範疇的對偶概念:陪切範疇(co-slice category) ,其箭頭的方向和切片範疇的方向是相反的。
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