範疇論學習筆記2:範疇生範疇
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學習材料:Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters,最近更新(2018年1月29日)的版本。
從既有範疇中我們可以構建新的範疇。方法包括:對偶、子範疇、積範疇、商範疇、箭頭範疇以及切片範疇等。
定義10(對偶,duality)
對於一個範疇 ,它的逆範疇/反向範疇(opposite)或對偶(dual)
是一個滿足下列條件的範疇:
的對象即
的對象
- 如果在
中
,那麼在
中
- 單位箭頭保持不變:
中的複合(composition)定義如下:
對偶的對偶即本身: . 每個範疇都存在一個對偶。
以集合範疇 的對偶範疇
為例,
往往不是一個函數。在這種情況下,為了避免誤解,使用「源-目標」而非「定義域-值域」顯得很有必要。
上次筆記介紹了 20 種範疇,這裡再補充兩種:
C21: ,有點集合範疇(pointed sets)。對象是所有有著不同元素
的集合
。箭頭是全函數
,將不同的
映射到
中。
C22:Rel,以裸集合為對象,但箭頭可以是任何關係(不一定函數)。
Set 的對偶範疇和 Set 有著很大差別;但 Rel 的對偶範疇和 Rel 則沒有本質的差別。
設 為範疇的初級純粹語言(elementary pure language),那麼它有兩個層次(sorts),一個涵蓋對象,一個涵蓋箭頭。它有著兩個內置函數:
. 一個內置關係:「……是……的單位箭頭」,以及一個二元函數
.
定義11
設 是
中的一個合式公式(wff),那麼它的對偶
是通過(i)替換
和
,(ii)改編組合方向,使得
變成
,所得到的合式公式。
定理5(對偶原則,duality principle)
設 是
中的一個語句(sentence,沒有自由變數的合式公式),那麼
是對於一個任意範疇里對象/箭頭的普通表述。如果範疇論的公理蘊含
,那麼它也蘊含對偶語句
.
句法證明:
如果範疇論公理對於 有著一階證明,那麼取證明中每一個合式公式的對偶,我們可以從範疇論公理的對偶中得到
證明。這些公理的對偶本身也是公理,故我們可以從範疇論的公理中得到
證明。
語義證明:
如果 永遠
-成立,那麼
永遠
-成立。由於
也包含每一個範疇,所以
永遠
-成立。
定義12(subcategory,子範疇)
對於一個範疇 ,如果
包含下列數據:
- 對象:部分或所有
對象
- 箭頭:部分或所有
箭頭
且滿足下列條件:
- 對於所有
對象
,
箭頭
也是一個
箭頭
- 對於所有
箭頭
,
箭頭
也是一個
箭頭
再參照範疇 中箭頭組合的定義方法,我們就稱
是
的一個子範疇。
- Set 是 Pfn 的子範疇
- FinSet 是 Set 的子範疇
- Ab 是 Grp 的子範疇
- 對於任意一個範疇來說,它對象上的離散範疇是它的一個子範疇
定義13
如果 是
的一個子範疇,且對於所有
對象
和
,
到
的
箭頭是是從
到
的全部
箭頭,那麼我們稱 是
的一個滿子範疇(full subcategory)。
定義14(積範疇,product category)
如果 和
是範疇,那麼它們的積範疇
定義如下:
- 對象是對子
,其中
是
對象,
是
對象
- 箭頭是對子
,其中
是
箭頭,
是
箭頭
- 對於每一個對子
,我們定義它們的單位箭頭如下:
- 複合定義如下:
定義15(同餘,congruence)
我們稱 是範疇
的箭頭上的同餘關係當且僅當它是一個在尊重複合的等價關係。即
是一個滿足下列條件的等價關係:
- 如果
,那麼
,且
- 如果
,那麼在複合有定義的前提下
且
定義16(商範疇,quotient category)
設 是一個範疇,
是範疇
的箭頭上的一個同餘關係。那麼
是一個以
的對象為對象,以
等價類(equivalence classes)為箭頭的一個範疇。
- 對於拓撲範疇 Top,它的箭頭中的同餘關係就是空間之間的兩個連續映射之間的關係,一個映射可以連續形變成另一個映射,也就是說這兩個映射中存在一個同倫關係(homotopy)。那麼我們就得到了 Top/~,即 同倫拓撲範疇 hTop。
定義17(箭頭範疇,arrow categories)
對於一個範疇 ,從它衍生的箭頭範疇(arrow category)
有著下列數據:
的對象就是
中的箭頭
- 對於兩個
對象
,一個
箭頭
是一個使得下圖交換的一個對子
:
的單位箭頭定義為
。箭頭
和
的複合定義為
.
定義18(切片範疇,slice category)
設 為一個範疇,
是一個
對象。那麼在
上的切片範疇
有下列數據:
- 對象是對子
,其中
是
對象,
是一個
箭頭
- 箭頭
是一個使得在
中
的
箭頭
的單位箭頭是
單位箭頭
- 對於箭頭
以及
,它們的複合
是
箭頭
。
同樣地,我們可以定義切片範疇的對偶概念:陪切範疇(co-slice category) ,其箭頭的方向和切片範疇的方向是相反的。
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