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範疇論學習筆記2:範疇生範疇

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學習材料:Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters,最近更新(2018年1月29日)的版本。

從既有範疇中我們可以構建新的範疇。方法包括:對偶、子範疇、積範疇、商範疇、箭頭範疇以及切片範疇等。

定義10(對偶,duality)

對於一個範疇 mathscr{C} ,它的逆範疇/反向範疇(opposite)對偶(dual) mathscr{C}^{op} 是一個滿足下列條件的範疇:

  1. mathscr{C}^{op} 的對象即 mathscr{C} 的對象
  2. 如果在 mathscr{C}f:A	o B ,那麼在 mathscr{C}^{op}f:B	o A
  3. 單位箭頭保持不變: 1^{op}_A = 1_A
  4. mathscr{C}^{op} 中的複合(composition)定義如下: fcirc^{op}g=gcirc f

對偶的對偶即本身: (mathscr{C}^{op})^{op} = mathscr{C} . 每個範疇都存在一個對偶。

以集合範疇 	extsf{Set} 的對偶範疇 	extsf{Set}^{op} 為例, f:B	o A 往往不是一個函數。在這種情況下,為了避免誤解,使用「源-目標」而非「定義域-值域」顯得很有必要。

上次筆記介紹了 20 種範疇,這裡再補充兩種:

C21: 	extsf{Set}_star ,有點集合範疇(pointed sets)。對象是所有有著不同元素 star_A 的集合 A 。箭頭是全函數 f:A	o B ,將不同的 star_A 映射到 star_B 中。

C22:Rel,以裸集合為對象,但箭頭可以是任何關係(不一定函數)。

Set 的對偶範疇和 Set 有著很大差別;但 Rel 的對偶範疇和 Rel 則沒有本質的差別。

mathscr{L} 為範疇的初級純粹語言(elementary pure language),那麼它有兩個層次(sorts),一個涵蓋對象,一個涵蓋箭頭。它有著兩個內置函數: src, tar . 一個內置關係:「……是……的單位箭頭」,以及一個二元函數 circ .

定義11

varphimathscr{L} 中的一個合式公式(wff),那麼它的對偶 varphi^{op} 是通過(i)替換 scrtar ,(ii)改編組合方向,使得 fcirc g 變成 gcirc f ,所得到的合式公式。

定理5(對偶原則,duality principle)

varphimathscr{L} 中的一個語句(sentence,沒有自由變數的合式公式),那麼 varphi 是對於一個任意範疇里對象/箭頭的普通表述。如果範疇論的公理蘊含 varphi ,那麼它也蘊含對偶語句 varphi^{op} .

句法證明:

如果範疇論公理對於 varphi 有著一階證明,那麼取證明中每一個合式公式的對偶,我們可以從範疇論公理的對偶中得到 varphi^{op} 證明。這些公理的對偶本身也是公理,故我們可以從範疇論的公理中得到 varphi^{op} 證明。 square

語義證明:

如果 varphi 永遠 mathscr{C} -成立,那麼 varphi^{op} 永遠 mathscr{C}^{op} -成立。由於 mathscr{C}^{op} 也包含每一個範疇,所以 varphi^{op} 永遠 mathscr{C} -成立。 square

定義12(subcategory,子範疇)

對於一個範疇 mathscr{C} ,如果 mathscr{I} 包含下列數據:

  1. 對象:部分或所有 mathscr{C} 對象
  2. 箭頭:部分或所有 mathscr{C} 箭頭

且滿足下列條件:

  1. 對於所有 mathscr{I} 對象 Cmathscr{C} 箭頭 1_C 也是一個 mathscr{I} 箭頭
  2. 對於所有 mathscr{I} 箭頭 f:C	o D, g: D	o Emathscr{C} 箭頭 gcirc f:C	o E 也是一個 mathscr{I} 箭頭

再參照範疇 mathscr{C} 中箭頭組合的定義方法,我們就稱 mathscr{I}mathscr{C} 的一個子範疇

  • Set 是 Pfn 的子範疇
  • FinSet 是 Set 的子範疇
  • Ab 是 Grp 的子範疇
  • 對於任意一個範疇來說,它對象上的離散範疇是它的一個子範疇

定義13

如果 mathscr{I}mathscr{C} 的一個子範疇,且對於所有 mathscr{I} 對象 ABABmathscr{I} 箭頭是是從 AB 的全部 mathscr{C} 箭頭,那麼我們稱 是 mathscr{C} 的一個滿子範疇(full subcategory)

定義14(積範疇,product category)

如果 mathscr{C}mathscr{D} 是範疇,那麼它們的積範疇 mathscr{C	imes D} 定義如下:

  1. 對象是對子 (C,D) ,其中 Cmathscr{C} 對象, Dmathscr{D} 對象
  2. 箭頭是對子 (f,g):(C,D)	o (C,D) ,其中 f:C	o Cmathscr{C} 箭頭, g:D	o Dmathscr{D} 箭頭
  3. 對於每一個對子 (C,D) ,我們定義它們的單位箭頭如下: 1_{(C,D)} = (1_C, 1_D)
  4. 複合定義如下: (f,g)circ (f, g) = (fcirc_mathscr{C} f, gcirc_mathscr{D}g)

定義15(同餘,congruence)

我們稱 sim 是範疇 mathscr{C} 的箭頭上的同餘關係當且僅當它是一個在尊重複合的等價關係。即 fsim g 是一個滿足下列條件的等價關係:

  1. 如果 fsim g ,那麼 src(f)=src(g) ,且 tar(f)=tar(g)
  2. 如果 fsim g ,那麼在複合有定義的前提下 fcirc h sim g circ hkcirc fsim k circ g

定義16(商範疇,quotient category)

mathscr{C} 是一個範疇, sim 是範疇 mathscr{C} 的箭頭上的一個同餘關係。那麼 mathscr{C}/sim 是一個以 mathscr{C} 的對象為對象,以 sim 等價類(equivalence classes)為箭頭的一個範疇。

  • 對於拓撲範疇 Top,它的箭頭中的同餘關係就是空間之間的兩個連續映射之間的關係,一個映射可以連續形變成另一個映射,也就是說這兩個映射中存在一個同倫關係(homotopy)。那麼我們就得到了 Top/~,即 同倫拓撲範疇 hTop

定義17(箭頭範疇,arrow categories)

對於一個範疇 mathscr{C} ,從它衍生的箭頭範疇(arrow category) mathscr{C}^	o 有著下列數據:

  1. mathscr{C}^	o 的對象就是 mathscr{C} 中的箭頭
  2. 對於兩個 mathscr{C}^	o 對象 f_1, f_2 ,一個 mathscr{C}^	o 箭頭 f_1	o f_2 是一個使得下圖交換的一個對子 (j,k)

f:X	o Y 的單位箭頭定義為 (1_X,1_Y) 。箭頭 (j,k):f_1 	o f_2(j,k):f_2 	o f_3 的複合定義為 (jcirc j, kcirc k):f_1	o f_3 .

定義18(切片範疇,slice category)

mathscr{C} 為一個範疇, I 是一個 mathscr{C} 對象。那麼在 I 上的切片範疇 mathscr{C}/I 有下列數據:

  1. 對象是對子 (A,f) ,其中 Amathscr{C} 對象, f:A	o I 是一個 mathscr{C} 箭頭
  2. 箭頭 (A,f)	o (B,g) 是一個使得在 mathscr{C}gcirc j=fmathscr{C} 箭頭 j:A	o B
  3. (A,f) 的單位箭頭是 mathscr{C} 單位箭頭 1_A:A	o A
  4. 對於箭頭 j:(A,f)	o (B,g) 以及 k:(B,g)	o (C,h) ,它們的複合 kcirc j:(A,f)	o (C,h)mathscr{C} 箭頭 kcirc j:A	o C

同樣地,我們可以定義切片範疇的對偶概念:陪切範疇(co-slice category) I/mathscr{C} ,其箭頭的方向和切片範疇的方向是相反的。

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