458.讀書17~《費馬大定理：一個困惑了世間智者358年的迷》

02-28

2017.05.10

來自亞馬遜

這本書非常推薦，可讀性非常強。

所有的數學定理都講得深入淺出，而且側重於數學史，讀起來很有武俠味道。

以下是一些書摘。

第一章「我想我就在這裡結束」
任何數學家都永遠不要忘記：數學，較之別的藝術或科學，更是年輕人的遊戲。
這個問題看上去如此簡易，因為它立足於人人都能記住的一段數學術語 ——畢達哥拉斯（ P y t h a g o r a s ）定理【 4 】：在一個直角三角形中，斜邊的平方等於兩直角邊的平方之和。

費馬大定理來自畢達哥拉斯的勾股定理

當一個數的各因數之和大於該數本身時，該數稱為「盈」數。於是 1 2是一個盈數，因為它的因數加起來等於 1 6 。另一方面，當一個數的因數之和小於該數本身時，該數稱為「虧」數。所以 1 0是一個虧數，因為它的因數（ 1 ， 2和 5 ）加起來只等於 8 。
最有意義和最少見的數是那些其因數之和恰好等於其本身的數，這些數就是完滿數。數字 6有因數 1 ， 2和 3 ，結果它是一個完滿數，因為 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6 。
畢達哥拉斯定理為我們提供了一個方程，它對一切直角三角形都成立，因而它也定義了直角三角形本身。
經典的數學證明的辦法是從一系列公理、陳述出發，這些陳述有些可以是假定為真的，有些則是顯然真的；然後通過邏輯論證，一步接一步，最後就可能得到某個結論。如果公理是正確的，邏輯也無缺陷，那麼得到的結論將是不可否定的。這個結論就是一個定理。
科學理論的證明永遠不可能達到數學定理的證明所具有的絕對程度：它僅僅是根據已得到的證據被認為是非常可能的。

科學理論是觀察，達不到數學定理證明所具有的絕對程度

畢達哥拉斯三元組的另一種思考方式是利用重拼正方形的方法。如果你有一個由 9塊瓷磚組成的 3 × 3正方形，一個由 1 6塊瓷磚組成的 4 × 4正方形，那麼所有的瓷塊可以拼起來組成一個有 2 5塊瓷磚的 5 × 5正方形，如圖 4所示。
著名的費馬大定理說 z n ＋ y n ＝ z n ，當 n ＞ 2時沒有整數解
懷爾斯寫上了費馬大定理的結論，轉向聽眾，平和地說道：「我想我就在這裡結束。」
第二章出謎的人
費馬是一個真正的業餘學者，一個被埃里克 ·貝爾稱為「業餘數學家之王」的人。
最違背直覺的概率問題之一是關於共有生日的可能性問題。假想有一個足球場上運動員和裁判一起共 2 3人。那麼，這 2 3人中的任何 2個人有相同的生日的概率是多少？ 2 3個人，而可選擇的生日有 3 6 5個，似乎極不可能會有人共有同一個生日。如果請人估計這個概率是多少的話，絕大多數人恐怕會猜至多是 1 0 ％。事實上，正確的回答是剛好超過 5 0 ％ ——這就是說，根據概率的測算，球場上有 2個人有相同生日的可能性比沒有人共有生日的可能性更大。
歐幾里得一生的大量時間花在撰寫《幾何原本》（ E l e m e n t s ）這本有史以來最成功的教科書上。
英國數學家 G . H .哈代在他的《一個數學家的自白》這本書中概括了反證法的精髓：「歐幾里得如此深愛的反證法是數學家最精妙的武器之一。它是比任何弈法更為精妙的棄子取勝法：棋手可能犧牲一隻卒子甚至更大的棋子以取勝，而數學家則犧牲整個棋局。」

歐幾里得的反證法

然後在 6 4 2年，一場伊斯蘭教的進攻成功地打敗了基督教徒。當問及應該如何處置圖書館時，獲勝的哈里發奧馬爾（ C a l i p h O m a r ）命令凡是違反《古蘭經》的書籍都應銷毀，而那些與《古蘭經》相符的書籍則是多餘的，也必須銷毀。那些手稿被用作公共浴室加熱爐的燃料，希臘的數學化為煙灰。丟番圖的絕大部分著作被毀滅了，這並不令人驚奇。實際上，《算術》中的 6卷能設法逃過亞歷山大的這一場慘劇倒是一個奇蹟。

回頭翻翻歷史書，這6卷《算術》是怎麼倖存下來的

在現代數學中，零有兩個功能。首先，它使我們得以區別 5 2和 5 0 2這樣的數。

偉大的0

公元 7世紀時的婆羅門笈多（ B r a h m a g u p t a ）是個足智多謀的學者，他把「用零除」作為無窮大的定義。
費馬注意到 2 6被夾在 2 5和 2 7之間，其中的一個是平方數（ 2 5 ＝ 5 2 ＝ 5 × 5 ），而另一個是立方數（ 2 7 ＝ 3 3 ＝ 3 × 3 × 3 ）。他尋找其他的夾在一個平方數和一個立方數之間的數都沒有成功，於是他懷疑 2 6可能是唯一的這種數。經過幾天的發奮努力後，他設法構造了一個精妙的論證，無可懷疑地證明了 2 6確實是唯一的夾在一個平方數和一個立方數之間的數。他逐步進行的邏輯證明表明，不存在別的數滿足這個要求。

平方和立方數之間的數只有26

突然，在才智迸發的一瞬間 ——這將使這位業餘數學家之王名垂千古 ——費馬寫下了一個方程，儘管它非常類似於畢達哥拉斯的方程，但是卻根本沒有解存在。這就是 1 0歲的安德魯 ·懷爾斯在彌爾頓路上的圖書館中讀到的那個方程。費馬不是考慮方程 x 2 ＋ y 2 ＝ z 2 ，他正在考慮的是畢達哥拉斯方程的一種變異方程： x 3 ＋ y 3 ＝ z 3 。
如同上一章提到的那樣，費馬只不過將冪指數從 2改為 3 ，即從平方改為立方，但是他的新方程看來卻沒有任何整數解。通過反覆試算立即顯示出，要找到兩個立方數使它們加起來等於另一個立方數是困難的。
在《算術》這本書的靠近問題 8的頁邊處，他記下了他的結論： C u b e m a u t e m i n d u o s c u h o s , a u l q u a d r a t o q u a d r a t u m i n d u o s q u a d r a t o q u a d r a t o s , e t g e n c r a l i t e r n u l l a m i n i n f i n i t u m u l t r a q u a d r a t u m p o t e s t a t e m i n d u o s c i u s d e m n o m i n i s f a s e s t d i r i d e r e .

不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個 4次冪寫成兩個 4次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高於 2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。
但是費馬卻相信自己能夠證明的一個結論。在列出這個結論的第一個邊注後面，這個好惡作劇的天才草草寫下一個附加的評註，這個評註使一代又一代的數學家們為之苦惱：
我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。

挑逗大家，只給定理不進行證明，但卻透露證明的某些細節

幸運的是，費馬的長子克來孟－塞繆爾（ C l é m e n t S a m u e l ）意識到他父親的業餘愛好所具有的重要意義，決心不讓世界失去父親的發現。正是由於他的努力，才使我們終究了解到一些費馬在數論方面傑出的突破性進展；特別是，若不是由於克來孟－塞繆爾，這個稱為費馬大定理的謎一定已經隨同他的創造者一起消失了。

成果全靠大兒子，大兒子不出版他註解的丟番圖數論，後人就不知道這個定理

費馬的質數定理斷言，第一類的質數總是兩個平方數之和（ 1 3 ＝ 2 2 ＋ 3 2 ），而第二類質數永遠不能寫成這種形式（ 1 9 ＝？ 2 ＋？ 2 ）。質數的這個特性是出奇地簡單，但是試圖證明這個特性對每一個質數都成立卻是十分困難。對費馬來說，這只不過是他許多不為人知的證明中的一個。歐拉麵臨的這個挑戰是重新發現費馬的證明。最終在 1 7 4 9年，經過 7年的工作，幾乎是在費馬去世後一個世紀，歐拉成功地證明了這個質數定理。

歐拉解決了飛馬的質數定理

隨著幾個世紀時光的流逝，所有他的其他評註一個接一個地被證明了，但是費馬大定理卻固執地拒絕被如此輕易地征服。事實上，它之被稱為「最後」定理【

費馬大定理成了費馬的最後定理

費馬大定理是一個極為難解的問題，但是它卻以一個小學生可以理解的形式來敘述。

這種級別的定理，很少有小學生就能讀懂的

費馬大定理（ F e r m a t s L a s t T h e o r e m ）亦稱費馬最後定理。 ——譯者
第三章數學史上暗淡的一頁
數學不是沿著清理乾淨的公路謹慎行進的，而是進入一個陌生荒原的旅行，在那裡探險者往往會迷失方向。撰史者應該注意這樣的嚴酷事實：繪就的是地圖，而真正的探險者卻已消失在別處。 ——W . S .安格林

探索數學的艱難

歐拉有著令人難以置信的直覺和超人的記憶力，據說他能夠在頭腦中詳細列出一大堆完整無缺的演算式而無須用筆寫在紙上。在整個歐洲他被譽為「分析的化身」，法國科學院院士弗朗索瓦 ·阿拉戈（ F r a n ? o i s A r a g o ）說，「歐拉計算時就像人呼吸或者鷹乘風飛翔一樣無需明顯的努力」。

數學天才歐拉的生平，什麼是天才

在他的科學生涯中，他曾處理過包括從航海到財政，從聲學到灌溉等各種各樣的問題。參與解決實際問題並沒有使歐拉的數學才能減弱，相反，每著手處理一個新任務總會激勵歐拉去創造新穎的、巧妙的數學。

天才並不形而上，而是在解決實際問題中磨練自己

牛頓已經證明，預測一個星球圍繞另一個星球運行的軌道是比較容易的，但對月球而言情況就不是這麼簡單。月球繞地球運行，可是還有第三個星球 ——太陽，它使事情變得非常複雜。在地球和月亮互相吸引的同時，太陽會使地球的位置發生攝動，產生對月球軌道的撞擊效應。可以用方程來確定其中任何兩個星球之間的這種效果，但是 1 8世紀的數學家們還不能夠在他們的計算中對第三個星球的影響加以考慮。即使到今天，仍然不可能得到這個所謂的「三體問題」的精確解。

用月亮導航，就要解決月亮、太陽、地球的三體問題，無解

歐拉認識到航海者並不需要知道月球的絕對準確的位相，而只需要有足夠的精度使得他們能在幾海里範圍內確定自己的位置。結果，歐拉發展了一種方法，可以得到一個不完全的但充分準確的解。

歐拉指出只要達到某些精度就足夠了。反覆求解，提高精度。

一個更為實在的、也適合歐拉異想天開的本性的問題與普魯士城市柯尼斯堡（ K ? n i g s b e r g ）有關，該地現為俄羅斯的加里寧格勒市。這個城市建立在普雷格爾河邊上，由 4個分離的、被 7座橋連接起來的地區組成。圖 7顯示了該城的布局。有些非常好奇的居民在想：是否可能設計一次旅行，穿越所有的 7座橋卻無須重複走過任何一座橋？柯尼斯堡的居民試了各種各樣的路線，但每一次都失敗了。歐拉也未能找到一條成功的路線，但他卻成功地解釋了為什麼這樣的旅行是不可能的。

經典的過橋問題

網路公式表達了描述網路的 3個數之間的一個永恆的關係式： V ＋ R － L ＝ 1 ，其中 V ＝網路中頂點（即交點）的個數， L ＝網路中連線的個數， R ＝網路中區域（即圍成的部分）的個數。歐拉宣稱：對任何網路，將頂點和區域的個數加起來並減去連線的個數，其結果將總等於 1 。

開始為證明費馬大定理做準備

歐拉的計劃已經有一個良好的開端，因為當時他發現了隱藏在費馬草草寫下的註記中的一條線索。雖然費馬從未寫下過大定理的證明，但是他在他的那本《算術》書中別的地方隱蔽地描述了對特殊情況 n ＝ 4的一個證明，並且在一個完全不同的問題的證明中採用了這個證明。
費馬在結束證明時說，由於缺少時間和紙使他無法詳細地解釋。儘管費馬潦草寫下的內容中缺少細節，但是它們清楚地展示了一種特殊形式的反證法，稱之為無窮遞降法。

費馬證明n=4，發明無窮遞降法

為了證明方程 x 4 ＋ y 4 ＝ z 4沒有解，費馬從假設存在一個假定解 x ＝ X 1 ， y ＝ Y 1 ， z ＝ Z 1著手。通過研究（ X 1 ， Y 1 ， Z 1 ）的性質，費馬能夠證明：如果這個假定解確實存在，那麼一定會存在一個更小的解（ X 2 ， Y 2 ， Z 2 ）。然後通過再研究這個新解的性質，費馬又能證明存在一個還要小的解（ X 3 ， Y 3 ， Z 3 ），這樣一直進行下去。於是費馬找到了一列逐步遞減的解，理論上它們將永遠繼續下去，產生越來越小的解，然而， x ， y和 z必須是整數，因此這個永無止境的梯隊是不可能存在的，因為必定會有一個最小的可能解存在。這個矛盾證明了最初的關於存在一個解（ X 1 ， Y 1 ， Z 1 ）的假設一定是錯的。
1 7 5 3年 8月 4日，歐拉在給普魯士數學家克里斯蒂安 ·哥德巴赫（ C h r i t i a n G o l d b a c h ）的信中宣布，他採用費馬的無窮遞降法成功地證明了 n ＝ 3的情形。
為了將費馬的證明從 n ＝ 4延伸到包括 n ＝ 3的情形，歐拉必須採用一個稱為虛數的稀奇古怪的概念，這是歐洲數學家們在 1 6世紀曾經發現的概念。

歐拉採用虛數證明n=3

在 1 6世紀期間，不安的隆隆聲重又響起。義大利數學家拉斐羅 ·邦貝利（ R a f a e l l o B o m b e l l i ）在研究各種數的平方根時碰巧遇到一個無法回答的問題。這個問題開始於問1的平方根是什麼？
邦貝利的解答是創造一個新的數 i ，稱為「虛數」，它就被定義成問題「 1的平方根是什麼」的解。
虛數的來歷
虛數是非凡思想的美好而奇妙的源泉，近乎於存在與非存在之間的兩棲物。
此外，物理學家發現虛數為描述現實世界的某些現象提供了最適用的語言。在分析諸如鐘擺之類物體的自由擺動運動時，藉助虛數只需要做少量不複雜的運算，因而它是理想的工具。

4 0年後，已經 6 0多歲的歐拉的狀況大大地惡化了。當時歐拉的另一隻好眼得了白內障，這意味著他註定會徹底失明。他決心不為之屈服，並開始練習閉上那隻視力正在消退的眼睛進行書寫，以便在黑暗襲來之前就使他的書寫技術達到完美的程度。幾個星期後他變瞎了。先前的練習起到一段時間的好效果，但是幾個月後歐拉的字跡變得難以辨認，於是他的兒子阿爾貝（ A l b e r t ）擔當起謄寫員的角色。

歐拉的很多成就是在失明之後完成

在費馬去世一個世紀後，還只有對費馬大定理的兩個特殊情形的證明。費馬給數學家們開了個好頭，為他們提供了方程 x 4 ＋ y 4 ＝ z 4無解的證明。歐拉修改了這個方法，證明了方程 x 3 ＋ y 3 ＝ z 3無解。
為了證明費馬大定理對 n的一切值適合，我們僅僅需要證明它對 n的所有質數值適合。所有其他的情形只不過是質數情形的倍數，因而無疑也會被證明。
直覺會使人認為，如果你從一個無窮量開始，然後從中去掉它的一大部分，那麼你會期望剩下的是有限的。不幸的是，數學真理的仲裁者不是直覺，而是邏輯。事實上，可以證明質數表是沒有終端的。於是，儘管可以忽略為數眾多的與 n的非質數值相關的方程，剩下的與 n的質數值相關的方程的個數卻仍然是無窮的。
希爾伯特的旅館似乎暗示所有的無窮都是彼此一樣大的，因為各種各樣的無窮似乎可以被擠進同樣的無窮旅館 ——全體偶數的無窮可以與全體自然數的無窮相匹配和對照，反過來也是如此。然而，某些無窮確實要大於別的無窮。例如，

無窮大之間也有大小區別

將每一個有理數與每一個無理數配對起來的企圖最終會歸於失敗，事實上可以證明無理數組成的無窮集大於有理數組成的無窮集。數學家們已經不得不建立一整套的術語來處理各種不同等級的無窮，而設想這些概念則是目前最熱門的課題之一。
舉一個簡單的例子，我可以交出非質數 5 8 9 ，這可能會使每個人都能代我打亂信息。然而，我將保守 5 8 9的兩個質因數的秘密，結果只有我能夠整理信息。

RSA公私鑰

蟬的最佳策略是使它的生命周期的年數延長為一個質數。由於沒有數能整除 1 7 ，十七年蟬將很難得遇上它的寄生物。如果寄生物的生命周期為 2年，那麼它們每隔 3 4年才遇上一次；倘若寄生物的生命周期更長一些，比方說 1 6年，那麼它們每隔 2 7 2 （ 1 6 × 1 7 ）年才遇上一次。

生物應用質數對抗寄生蟲

在所有的歐洲國家中，法國對於受過教育的婦女的大男子主義態度表現得最為突出，聲稱數學不適合於婦女，並且是她們的智力不能承受的。

女性和數學

由於阿爾加洛蒂相信婦女只對浪漫故事有興趣，所以他試圖通過一位侯爵夫人和她的對話者之間的挑逗性的對話來解釋牛頓的發現。例如，對話者概略地敘述了引力的反平方定律，於是侯爵夫人就談她自己對這個物理基本定律的解釋：「我禁不住想到 … …位置的距離的平方這個比例 … …甚至在愛情中也可觀察到。因此，分別 8天以後，愛情就變得比第一天時弱 6 4倍了。」

瓊瑤式的數學

傳奇故事說，在羅馬軍隊入侵時，阿基米德正全神貫注於研究沙堆中的一個幾何圖形，以致忽略了回答一個羅馬士兵的問話。結果他被長矛戳死。熱爾曼得出這樣的結論：如果一個人會如此痴迷於一個結果會導致他死亡的幾何問題，那麼數學必定是世界上最迷人的學科了。

為什麼喜歡數學的原因

熱爾曼終生未婚，在她的整個生涯中，是她的父親資助她的研究工作。

這個父親真是了不起

她就冒名為這個學校以前的一個男學生安托尼－奧古斯特 ·勒布朗（ A n t o i n e A u g u s t L e B l a n c ）先生偷偷摸摸地在學校里學習。學校的行政當局不知道真正的勒布朗先生已經離開巴黎，所以繼續為他印發講課材料和習題。熱爾曼設法取得了原本給勒布朗的材料，並且每星期以她的這個新的化名交上習題的解答。一切都按計劃順利地進行著，直到兩個月後，當時這門課的指導教師約瑟夫－路易斯 ·拉格朗日再也不能無視「勒布朗先生」的習題解答中表現出來的才華。拉格朗日感到震驚，他很高興見到這個年輕的女學生並成為她的導師和朋友。索菲 ·熱爾曼終於有了一位能激勵她前進的老師，她可以對他坦誠地展示她的才能和抱負。

熱爾曼終於被拉格朗日發現

她對這個問題研究了好幾年，最後到達了她自信已經有了重要突破的階段。她需要和一位男性數學家討論她的想法，並決定直接找最好的數學家去討論。於是她去請教當時世界上最傑出的數論家 ——德國數學家卡爾 ·弗里德里希 ·高斯（ C a r l F r i e d r i c h G a u s s ）

去找到了高斯幫助

高斯被公認為歷史上最傑出的數學家之一。 E . T .貝爾稱費馬為「業餘數學家之王」，而將高斯稱為「數學家之王」。

數學家之王

熱爾曼採用了一種新的策略，她向高斯描述了所謂的對這個問題的一般處理方法。換言之，她直接的目標並不是去證明一種特殊的情形，而是一次就得出適合許多種情形的解答。
1 8 0 6年拿破崙入侵普魯士，法國軍隊一個接一個地猛攻德國的城市。熱爾曼擔心落在阿基米德身上的命運也會奪走她的另一個崇拜對象高斯的生命，因此她寫了封信給她的朋友約瑟夫－瑪利埃 ·帕尼提（ J o s e p h M a r i e P e r n e t y ）將軍，當時他正負責指揮前進中的軍隊。她請求他保證高斯的安全，結果將軍對這位德國數學家給予了特別的照顧，並向他解釋是熱爾曼小姐挽救了他的生命。高斯非常感激，也很驚訝，因為他從未聽說過索菲 ·熱爾曼。

熱爾曼救了高斯一命

庫默爾已經論證了費馬大定理的完整證明是當時的數學方法不可能實現的。

證明費馬大定理為什麼當時無法證明

兩個多世紀中，每一次試圖重新發現費馬大定理的證明都以失敗告終。在整個青少年時代，安德魯 ·懷爾斯研究了歐拉、熱爾曼、柯西和拉梅的工作，最後研究了庫默爾的工作。他希望自己能從他們的錯誤中學到一些有用的東西，可是到他成為牛津大學的學生時，也遭到了庫默爾曾面臨的同一堵磚牆的阻擋。

懷爾斯同樣面臨庫默爾的問題

第四章進入抽象
證明是一個偶像，數學家在這個偶像前折磨自己。
沃爾夫斯凱爾一行接一行地進行計算，突然他驚呆了：似乎邏輯上有一個漏洞 ——庫默爾提出了一個假定，卻未能在他的論證中說明其合理性，沃爾夫斯凱爾不清楚到底是他發現了一個嚴重的缺陷呢還是庫默爾的假定是合理的。如果是前者，那麼費馬大定理的證明就有可能比許多人推測的容易得多。

本來要自殺，但是發現了庫默爾對費馬大定理的缺陷，重獲新生

在他 1 9 0 8年去世時，新遺囑被宣讀，沃爾夫斯凱爾家族震驚地發現保羅已經把他財產中的一大部分遺贈作為一個獎，規定獎給任何能證明費馬大定理的人。獎金為 1 0萬馬克，按現在的幣值計算其價值超過 1 0 0萬英鎊。這是他對這個挽救過他生命的複雜難題的報答方式。

設立費馬大定理獎金

雖然委員會將授予第一個證明費馬大定理成立的數學家 1 0萬馬克，但他們對任何能證明它不成立的人則是一分錢也不給。

證明不成立的人不給獎金

洛伊德最著名的創作是「 1 4 —1 5 」智力玩具，它相當於維多利亞時代的魔方【 4 】，

維多利亞時代的魔方，提出了扭結問題

一個天文學家、一個物理學家和一個數學家（據說）正在蘇格蘭度假。當他們從火車車廂的窗口向外瞭望時，觀察到田地中央有一隻黑色的羊。「多麼有趣，」天文學家評論道，「所有的蘇格蘭羊都是黑色的！」物理學家對此反駁說：「不，不！某些蘇格蘭羊是黑色的！」數學家祈求地凝視著天空，然後吟誦起來：「在蘇格蘭至少存在著一塊田地，至少有一隻羊，這隻羊至少有一側是黑色的。」

說話嚴謹

公理的一個例子是「加法交換律」，它直截了當地說：對任何數 m和 n ， m ＋ n ＝ n ＋ m

公理

希爾伯特相信，數學中的一切能夠而且也應該根據基本的公理加以證明。

認為理所當然

這樣做的結果，最終將是要證明數學體系中的兩個最重要的基本要求。首先，數學應該（至少在理論上）有能力回答每一個問題 ——這與對完全性的要求是相同的，這種要求在過去曾迫使數學家創造出像負數和虛數這樣的新的數。其次，數學不應該有不相容性 ——那就是說，如果用一種方法證明了某個命題是對的，那麼就不可能用另一種方法證明這同一命題是錯的。
1 9 0 0年 8月 8日希爾伯特在巴黎的國際數學家大會上做了一個歷史性的演講。希爾伯特提出了數學中的 2 3個未解決的問題，他相信這些問題是最迫切需要解決的重要問題。
希爾伯特想要激勵數學界來幫助他實現他的建立可信的並且相容的數學體系的夢想 ——他銘刻在他的墓碑上的雄心壯志： W i r n ü s s s e n w i s s e n , W i r w e r d e n w i s s e n .我們必須知道，我們將會知道。
這封信使弗雷格的這本融注著他生命的著作變得毫無價值，但是他置這個致命的打擊於不顧，仍然出版了他的巨著，只是在第 2卷中添加了一個後記：「正當工作完成時，基礎卻倒塌了，科學家也許不會遭遇比這更不幸的結局了。當本書即將印刷完畢時，伯特蘭 ·羅素先生給我的一封信使我陷入的正是這種困境。」

高風亮節，書的結尾提到了自己的書是錯的

羅素的悖論經常是用一個細心的圖書管理員的故事來說明的：於是，使得圖書管理員毫無辦法的不相容性也會在所設想的數學邏輯結構中引起問題。
圖書管理員的悖論
例如，反證法這個有力工具要依賴於數學中沒有悖論這個前提。反證法說，如果一個假定導致荒謬，那麼這個假定一定是錯的。但是按照羅素的結論，即使公理也可能導致荒謬。因而反證法可以證明一個公理是錯的，可是公理是數學的基礎，而且被承認是對的。
羅素又花了 1 0年的時間考慮數學公理，這正是數學的本質。然後在 1 9 1 0年。他與阿爾弗萊德 ·諾思 ·懷特海（ A l f r e d N o r t h W h i t e h e a d ）合作出版了 3卷本的《數學原理》指南，到 1 9 3 0年希爾伯特退休時，希爾伯特相信數學已經正常地走上了重建的道路。他的邏輯相容的、有能力回答每一個問題的數學夢想顯然正在成為現實。
然而在 1 9 3 1年，一位不出名的 2 5歲的數學家發表了一篇註定會永遠毀滅希爾伯特的希望的論文。庫特 ·哥德爾迫使數學家們承認數學永遠不可能是邏輯上完美無缺的，他的論文中蘊含著像費馬大定理這類問題可能是無法解決的這種觀念。
哥德爾證明了要想創立一個完全的、相容的數學體系是一件不可能做到的事情。他的思想可以濃縮為兩個命題。
第一不可判定性定理如果公理集合論是相容的，那麼存在既不能證明又不能否定的定理。
第二不可判定性定理不存在能證明公理系統是相容的構造性過程。
本質上，哥德爾的第一個定理說，不管使用哪一套公理，總有數學家不能回答的問題存在 ——完全性是不可能達到的。
更糟的是，第二個定理說，數學家永遠不可能確定他們選擇的公理不會導致矛盾出現 ——相容性永遠不可能證明。
幸運的是，哥德爾的第一個定理除了用羅素的悖論和圖書管理員的故事說明以外，也可以用另一個由埃庇米尼得斯（ E p i m e n i d e s ）【 5 】提出的邏輯上相似的東西來說明，稱為克里特人悖論或說謊者悖論【 6 】。埃庇米尼得斯是一個克里特人，他憤怒地大叫：「我是一個說謊者！」

這不就是類似我很多年前問的「沒有什麼事情是一成不變的」

哥德爾給說謊者悖論以新的解釋並引入了證明的概念。其結果就下面一行表達的一個命題：這個命題沒有任何證明。
斯坦福大學的一位 2 9歲的數學家保羅 ·科恩（ P a u l C o h e n ）發展了一種可以檢驗給定的問題是不是不可判定的方法。
費馬大定理可能是對的，但是可能沒有方法證明它。
費馬大定理足以引起我們的好奇心。哥德爾的不可判定性定理已經給這個問題是否可解帶來了可疑因素，但是這還不足以嚇退真正的費馬迷。
第二次世界大戰恰好提供了所需要的這個東西 ——自從計算尺發明以來計算能力的又一次大飛躍。
戰爭結束後，圖靈繼續建造越來越複雜的機器，例如自動計算機器（ A C E ）。 1 9 4 8年他到曼徹斯特大學工作，建造了世界上第一台有電子存儲程序的計算機。

計算機應用到解決數學問題

那些仍然為費馬大定理而奮鬥的數學家們開始用計算機來進攻這個問題，他們依靠的是改用計算機來進行庫默爾在 1 9世紀做過的計算。

開始用計算機算費馬大定理

在 1 7世紀，數學家們經仔細的探究證明了下面的這些數都是質數： 3 1 ， 3 3 1 ， 3 3 3 1 ， 3 3 3 3 1 ， 3 3 3 3 3 1 ， 3 3 3 3 3 3 1 ， 3 3 3 3 3 3 3 1 。這個序列以後的數變得非常大，因而得花很大的工夫才能核對它們是否是質數。當時有些數學家對據此形式作出推斷髮生了興趣，認為所有這種形式的數都是質數。然而，這種形式的下一個數 3 3 3 3 3 3 3 3 1結果卻不是質數：
3 3 3 3 3 3 3 3 1 ＝ 1 7 × 1 9 6 0 7 8 4 3 。

一個例子，不能光靠試幾個數就拍腦袋

科茨決定懷爾斯應該研究數學中被稱為橢圓曲線的領域。後來證明這個決定是懷爾斯職業生涯的一個轉折點，為他提供了他攻克費馬大定理的新方法所需要的工具。

懷爾斯開始研究橢圓曲線

「橢圓曲線」這個名稱有點使人誤解，因為在正常意義上它們既不是橢圓又不彎曲，它們只是如下形式的任何方程： y 2 ＝ x 3 ＋ a x 2 ＋ b x ＋ c ，這裡 a ， b ， c是任何整數。它們之所以有這個名稱，是因為在過去它們被用來度量橢圓的周長和行星軌道的長度。

什麼是橢圓方程

證明這個橢圓方程只有一組整數解是非常困難的事情，事實上正是皮埃爾 ·德 ·費馬發現了這個證明。你可能記得在第二章中正是費馬證明 2 6是宇宙中僅有的夾在一個平方數和一個立方數之間的數。

費馬的25，26，27正好和橢圓方程有關

第五章反證法
數學家的模式，像畫家或詩人的一樣，必須是美的；各種思想，像色彩或辭藻一樣，必須以和諧的方式組合在一起。美是首要的標準，醜陋的數學不可能永世長存。
當博學多才的法國人亨利 ·龐加萊（ H e n r i P o i n c a r é ）在 1 9世紀研究模形式時，他曾利用它們豐富的對稱性克服了重大的困難。

就是龐加萊猜想那個人

哈佛大學的巴里 ·梅休爾（ B a r r y M a z u r ）教授目睹了谷山－志村猜想的產生。「這是一個神奇的猜想 ——推測每個橢圓方程伴隨著一個模形式 ——但是一開始它就被忽視了，因為它太超前於它的時代。當它第一次被提出時，它沒有被著手處理，因為它太使人震驚。其中一位演說者 ——來自薩爾布呂肯的格哈德 ·弗賴（ G e r h a r d F r e y ）雖然沒有對如何解決這個猜想提供任何新的想法，但是他確實提出了引人注目的論斷，即如果有人能證明谷山－志村猜想，那麼他們也立即能證明費馬大定理。當弗賴站起來準備演講時，他先寫下了費馬方程： x n ＋ y n ＝ z n ，這裡 n ＞ 2 。
所以他把這些未知數用字母編號為 A ， B和 C ： A N ＋ B N ＝ C N 。
弗賴使具有這個假設解的費馬
方程變成為： y 2 ＝ x 3 ＋（ A N － B N ） x 2 － A N B N 。
通過將費馬方程轉變為一個橢圓方程，弗賴將費馬大定理和谷山－志村猜想聯繫了起來。
然後，弗賴向他的聽眾指出，他的由費馬方程的一個解做出的橢圓方程是非常稀奇古怪的。事實上，弗賴聲稱他的橢圓方程是如此不可思議以至於它的存在產生的影響將毀滅谷山－志村猜想。

解決谷山-志村猜想，就等於解決了費馬大定理

幾百年來第一次，世界上最堅硬的數學問題看起來變得脆弱了。根據弗賴的說法，證明谷山－志村猜想是證明費馬大定理的唯一障礙。
弗賴已經清楚地規定了人們面前的任務。如果數學家能首先證明谷山－志村猜想，那麼他們就自動地證明了費馬大定理。
甚至連已經做出了關鍵的突破性工作的肯 ·里貝特也很悲觀：「絕大多數人相信谷山－志村猜想是完全無法接近的，我是其中的一個。我沒有真的費神去試圖證明它，我甚至沒有想到過要去試一下。安德魯 ·懷爾斯大概是地球上敢大膽夢想可以實際上證明這個猜想的極少數幾個人之一。」

事實證明，谷山-志村猜想同樣難以證明

第六章秘密的計算
一個高超的問題解答者必須具備兩種不協調的素質 ——永不安分的想像和極具耐心的執拗。
我必須做的一切就是證明谷山－志村猜想。它意味著我童年的夢想現在成了體面的值得去做的事。我懂得我絕不能讓它溜走。我十分清楚我應該回家去研究谷山－志村猜想。」
懷爾斯放棄了所有的與證明費馬大定理沒有直接關係的工作，不再參加沒完沒了的學術會議和報告會。
為了不引起懷疑，懷爾斯設計了一個狡猾的策略，使他的同事們無從覺察。在 8 0年代早期，他一直在從事對特殊類型的橢圓方程的重要研究，他本來打算將這方面的結果完整地發表，但里貝特和弗賴的發現使他改變了主意。懷爾斯決定一點一點地發表他的研究成果，每隔 6個月左右發表一篇小論文。

狡猾地開始費馬大定理的工作

歸納法是一種極有效的證明形式，因為它允許數學家通過只對一種情形證明某個命題的辦法，來證明該命題對無限多個情形都成立。

什麼是歸納法

伽羅瓦將所有的五次方程分成兩類：可解的和不可解的。然後，對可解的那類方程，他設計了尋找解的方法。此外，伽羅瓦探討了高於五次的，包括 x 6 ， x 7等在內的高次方程，並且能夠判定它們中哪些是可解的。這是 1 9世紀數學中由一位它的最悲慘的英雄創造的一件傑作。
伽羅瓦的演算中的核心部分是稱為「群論」的思想，他將這種思想發展成一種能攻克以前無法解決的問題的有力工具。
用來定義群的一個重要性質是：當它的任何兩個元素用這種運算結合時，其結果仍是群中的一個元素。這個群被稱為在該運算下是封閉的。
例如，整數在「加法」運算下構成一個群。一個整數和另一個整數在加法運算下得出第三個整數，例如4 ＋ 1 2 ＝ 1 6在加法運算下所有可能的結果仍在整數中間，因此數學家們說「整數在加法下是封閉的」或「整數在加法下構成一個群」。
然而，如果考慮更大一些的包括分數在內的群，即所謂的有理數，那麼封閉性可以重新獲得：「有理數在除法下是封閉的」。
在這樣說的時候，仍然需要很當心，因為用元素零去除的時候結果成為無窮大，這是數學中害怕出現的結果。由於這個原因，更正確的說法是：「有理數（除了零以外）在除法下是封閉的」。
正是這個由五次方程的解構造的群，使得伽羅瓦能夠推導出他關於這些方程的結果。一個半世紀以後，懷爾斯將利用伽羅瓦的工作作為他證明谷山－志村猜想的基礎。

天才伽羅瓦發明群論，懷爾斯用這個解決費馬大定理

為了證明谷山－志村猜想，數學家們必須證明：無限多個橢圓方程中的每一個可以和一個模形式相配對。他們曾嘗試先證明某一個橢圓方程的全部 D N A （即 E －序列）可以與一個模形式的全部 D N A （即 M －序列）相配，然後他們再轉移向下一個橢圓方程。雖然這是一種完全可以想得到的處理方式，但是還沒有人找到一種能對無限多個橢圓方程和模形式反覆地重複這個過程的方法。
懷爾斯以一種根本不同的方式來對付這個問題。
懷爾斯想要證明的是每一個 E －序列中的第一個基因，可以和每一個 M －序列中的第一個基因配對。然後他將繼續去證明，每一個 E －序列中的第二個基因，可以和每一個 M －序列中的第二個基因配對，依此類推。
在舊的方法中，一旦你證明了某一個 E －序列的全部元素與一個 M －序列的全部元素可以配對，那麼你就必須要問：哪一個 E －序列和 M －序列是我接著要嘗試配對的？
在懷爾斯的方法中，極為關鍵的是 E －序列中的基因確實有自然的次序，因而在證明了所有的第一個基因配對（ E 1 ＝ M 1 ）後，下一步
顯然就是證明所有的第二個基因配對（ E 2 ＝ M 2 ），依此類推。
這種自然的次序恰恰是懷爾斯為建立一個歸納法證明所需要的。
當懷爾斯認識到伽羅瓦的群的力量時，他實現了第一步。
每一個橢圓方程的一小部分解可以用來構成一個群。經過幾個月的分析，懷爾斯證明了這個群會導致一個不可否認的結論 ——每一個 E －序列的第一個元素確實可以和一個 M －序列的第一個元素配對。
達到這個程度已經花去 2年的時間，還沒有任何跡象表明還需要多少時間才能找到推進證明的方法。

懷爾斯第1步完成

懷爾斯很明白他面前的任務：「你可能會問我，怎麼能夠決心把無法預料其限度的時間投入到一個可能根本無法解決的問題中去。回答是，我就是喜歡研究這個問題，我被迷住了。我樂意用我的智慧與它相鬥。

喜歡解謎的過程

是有力到足以證明谷山－志村猜想，因此也不能證明費馬大定理，但是總會證明某些別的東西。我並不是在走向一個偏僻的小衚衕，它肯定是一種好的數學，這一直是真的。確實有可能我將永遠證明不了費馬大定理，但是絕不存在我完全在浪費我的時間這樣的問題。」

即使無法解決費馬，也能帶來數學上其他方面的突破

1 9 8 8年 3月 8日，懷爾斯讀到宣布費馬大定理已被證明的頭版標題，大吃一驚。《華盛頓郵報》和《紐約時報》宣稱東京大學 3 8歲的宮岡洋一（ Y o i c h i M i y a o k a ）已經發現了這個世界頭號難題的解法。在波恩，宮岡描述了他怎樣從一個全新的角度，即從微分幾何學的角度出發來處理這個問題的。
宮岡的處理方式和懷爾斯的處理方式相似之處在於他們都試圖通過把大定理與另一個不同數學領域中的基本猜想聯繫起來加以證明。這個數學領域在宮岡的情形中是微分幾何，而對懷爾斯來說則是橢圓方程和模形式。
這位日本數學家本質上是一位幾何學家，他沒有能做到絕對嚴格地將他的思想轉換到他不夠熟悉的數論領域。一支數論家的大軍試圖幫助宮岡補救錯誤，但他們的努力終告失敗。
從最初的聲明算起兩個月後，一致的意見是原來的證明註定是失敗的。
宮岡還是做出了新的有趣的數學成果。他的證明中的許多獨特的部分，作為微分幾何學在數論中的精妙應用，具有其本身的存在價值，後來被一些別的數學家進一步發展，用於證明其他的一些定理，不過絕不是費馬大定理。

有其他數學家從其他方向進攻費馬大定理，但是失敗，可是同樣有了重大收穫

在紐約的第八街地鐵車站出現了亂塗在牆上的新的俏皮話： x n ＋ y n ＝ z n ：沒有解對此，我已經發現一種真正美妙的證明，可惜我現在沒時間寫出來，因為我的火車正在開來。

戲謔的笑話

懷爾斯借用穿越一幢漆黑的未經探測的大廈的經歷來描述他在做數學研究時的感受。「設想你進入大廈的第一個房間，裡面很黑，一片漆黑。你在傢具之間跌跌撞撞，但是逐漸你搞清楚了每一件傢具所在的位置。最後，經過 6個月或再多一些的時間，你找到了電燈開關，打開了燈。突然整個房間充滿光明，你能確切地明白你在何處。然後，你又進入下一個房間，又在黑暗中摸索了 6個月。因此，每一次這樣的突破，儘管有時候只是一瞬間的事，有時候要一兩天的時間，但它們實際上是這之前的許多個月里在黑暗中跌跌撞撞的最終結果，沒有前面的這一切它們是不可能出現的。」
懷爾斯並不氣餒，他又堅持了一個年頭。他開始研究一種稱為岩沢理論（ I w a s a w a t h e o r y ）的技術。岩沢理論是分析橢圓方程的一種方法，懷爾斯在劍橋當約翰 ·科茨的學生時已經學過。雖然這個方法本身不足以解決問題，但他希望能夠修改它，使它變得足夠有力，能產生多米諾骨牌效應。

學習新的技術

從 1 9 8 6年開始研究費馬大定理以來，他已兩次當了父親。他放鬆一下情緒的唯一方式是和「孩子們在一起。年幼的孩子們對費馬毫無興趣，他們只需要聽故事，他們不想讓你做任何別的事情」。

還不忘生兩個孩子

理論上，這個新方法可以將懷爾斯的論證從橢圓方程的第一項擴展到橢圓方程的所有各項，並且有可能它對每一個橢圓方程都有效。科利瓦金教授設計了一種極其強有力的數學方法，而馬瑟斯 ·弗萊切將它進一步改進，使得它更具潛力。他們兩個誰也沒有意識到懷爾斯打算把他們的工作用到世界上最重要的證明中去。
不幸的是，科利瓦金－弗萊切方法對一種特殊的橢圓方程能行得通，但不一定對別的橢圓方程行得通。

修改新學到的技術

經過 6年的艱苦努力，懷爾斯相信勝利已經在望。每個星期他都有進展，證明了更新、更大族的橢圓曲線一定是可模形式化的。
於是，大約在 1 9 9 3年 1月份的上半月，我決定有必要向一個人吐露秘密，而他應該是一位我正在使用的那一類幾何方法方面的專家。我需要非常小心地挑選這個我要告知秘密的人，因為他必須保守住秘密。我選擇了向尼克 ·凱茲（ N i c k K a t z ）吐露秘密。」
他們認定最好的策略是宣布舉行一系列面向系裡研究生的講座。懷爾斯將講授一個課程，而凱茲將會是聽眾之一。這個課程將有效地
包括需要核對的那部分證明，但是研究生們是不會知道這一點的。
系列講座一結束，懷爾斯就專心致志於努力完成證明。他成功地將科利瓦金－弗萊切方法應用於一族又一族的橢圓方程，到這個階段，只剩下一族橢圓方程拒絕向這個方法讓步。懷爾斯描述了他怎樣試圖完成證明的最後一步：「 5月末的一個早晨，內達和孩子們一起出去了，我坐在書桌旁思考著這剩下的一族橢圓方程。我隨意地看一下巴里 ·梅休爾的一篇論文，恰好其中有一句話引起了我的注意。它提到一個 1 9世紀的構造，我突然意識到我應該能夠使用這個結構來使科利瓦金－弗萊切方法也適用於這最後的一族橢圓方程。我一直工作到下午，忘記了下去吃午飯。到了大約下午三四點鐘的時候，我真正地確信這將解決最後剩下的問題。當時已到飲茶休息的時候，我走下樓去，內達非常驚奇我來得這麼遲。然後我告訴她 ——我已經解決了費馬大定理。」

巧妙地開了個課，藉助課程和其他人秘密合作

經過 7年的專心努力，懷爾斯
完成了谷山－志村猜想的證明。作為一個結果，經歷了 3 0年對它的夢想，他也證明了費馬大定理。現在是將它向全世界公布的時候了。
回顧 1 9 2 0年，當時 5 8歲的大衛 ·希爾伯特在格丁根作了一個關於費馬大定理的公開演講。當被問及是否這個問題會被解決時，他回答說他可能活不到看見這一天，但是也許在座的年輕人會親眼看到答案。希爾伯特對解答的日期所作的估計證明是相當準確的。
懷爾斯的演講和沃爾夫斯凱爾獎在時間上也很相稱。保羅 ·沃爾夫斯凱爾按他的遺願規定了截止日期為 2 0 0 7年的 9月 1 3日。
巴里 ·梅休爾已經得到懷爾斯給的一份這個證明的複印件，但即使這樣，他也依然對這個演講感到驚訝：「我從未見過如此輝煌的演講，充滿了如此奇妙的思想，具有如此戲劇性的緊張，準備得如此之好。」
我說：『我想我就在這裡結束。』接著會場上爆發出一陣持久的鼓掌聲。」

在牛頓研究所，宣讀自己的成果。

志村教授是在他閱讀《紐約時報》的頭版報道 ——《終於歡呼「我發現了！」，久遠的數學之謎獲解》時第一次了解到有關對他自己的猜想的證明。

志村活著看到自己的猜想被證明，谷山則早已自殺

第七章一點小麻煩
隨著懷爾斯和審稿人否認證明有缺陷，或者至少是拒絕評論，外界的猜測開始變得放肆起來。
懷爾斯向彼得 ·薩納克承認情況已面臨絕境，他準備承認失敗。
當泰勒重新探索和檢驗一些替換的方法時，懷爾斯決定在 9月份最後一次檢視一下科利瓦金－弗萊切方法的結構，試圖確切地判斷出它不能奏效的原因。他生動地回憶起那些最後的決定性的日子：「 9月 1 9日，一個星期一的早晨，當時我坐在桌子旁，檢查著科利瓦金－弗萊切的方法。這倒不是因為我相信自己能使它行得通，而是我認為至少我能夠解釋為什麼它行不通。我想我是在撈救命稻草，不過我需要使自己放心。突然間，完全出乎意料，我有了一個難以置信的發現。我意識到，雖然科利瓦金－弗萊切方法現在不能完全行得通，但是我只需要它就可以使我原先採用的岩沢理論奏效。我認識到科利瓦金－弗萊切方法中有足夠的東西使我原先的 3年前的工作中對這個問題的處理方法取得成功。所以，對這個問題的正確答案似乎就在科利瓦金－弗萊切的廢墟之中。」
單靠岩沢理論不足以解決問題，單靠科利瓦金－弗萊切方法也不足以解決問題，它們結合在一起卻可以完美地互相補足。

兩個新技術相互配合，解決了最後的瑕疵

在她生日晚宴後一會兒，我把完成了的手稿送給了她。我想她對那份禮物比我曾送給她的任何別的禮物更為喜歡。」

作為獻給妻子的禮物

下期預告：景山萬春亭中秋賞月

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