第25講：ALS初步

今天要講的東西呢，才是AIC話題裡面的重頭戲，而它也是最基礎的AIC的拓展內容之一。那麼它是什麼呢？它被稱為待定死鎖集合（Almost Locked Set），簡稱為ALS。這個說法估計你認識和看到過吧！來看看這個玩意兒怎麼用吧！

本節內容篇幅較長，而且需要認識和理解的東西相當多，希望你能夠邊看、邊思考原因。

Part 1 ALS的引入

如圖所示，我們先來看下這個鏈的寫法。鏈的寫法如下：

r3c7(1)=r1c9(4)-r5c9(4)=r5c8(1) => r1c8, r5c7<>1

按照原定的邏輯，r3c7(1)為假，則r1c9(4)為真。那憑啥r3c7(1)為假，這個r1c9(4)就得為真呢？

試想一下，如果r3c7(1)為假，而且r1c9(4)也是為假的，會怎麼樣？觀察b3內所有塗藍紫色的單元格（r1c9、r2c89和r3c79），在沒有去掉r3c7(1)和r1c9(4)時，這五格內一共有六種候選數1、4、6、7、8、9。這意味著，五個單元格可以在六種不同的候選數中選擇其中五種填入，那麼顯然有一種候選數是多餘的。多餘倒是無所謂，但如果r3c7(1)和r1c9(4)都沒了的話，再看這幾個單元格，候選數就直接少了其中兩種（1和4），只剩下四種。

試想一下，四種候選數能否填入到五格之中？當然不可以，這完全不夠嘛，五格肯定要填五種不同的數字才夠嘛，才四種很明顯不行。所以這樣是錯誤的。也就是說，r3c7(1)為假時，假設r1c9(4)也為假，是會有錯誤的。所以此時r1c9(4)應為真。

這就有些奇怪了。我們平時在推導強弱關係時，只用到過同區域下的同數強弱關係，或是同一單元格內的異數強弱關係，這裡卻來一個同區域下的異數強關係，而且邏輯也沒有毛病。

先不管那麼多，我們繼續。得到r1c9(4)為真時，r5c9(4)理所應當為假，畢竟同列嘛。然後，r5c9(4)為假時，r5c8(1)就得為真。邏輯和剛才的類似：觀察b6，塗色的單元格有兩個：r5c89，內部一共是有三種候選數1、4、6的。如果r5c9(4)為假時，此時r5c8(1)還是為假，這三個單元格內就會少掉兩種候選數，最終只剩下1這一種候選數。一種候選填兩格肯定不行，這必然會矛盾。所以當r5c9(4)為假時，r5c8(1)就應當為真。

所以，算是胡亂地找到了邏輯，最終得到了r3c7(1)為假時，r5c8(1)為真的結論。那麼，根據AIC的原始邏輯，r3c7(1)還有一種為真的填數情況，這使得r3c7(1)和r5c8(1)至少有一個為真。於是刪除掉兩個候選數共同對應的位置（也就是交集），即r1c8(1)和r5c7(1)。

這個結構就講完了。它的長度為3，跟雙強鏈有些類似，但和雙強鏈完全不同的是，雙強鏈不論是強關係還是弱關係，產生的情況都是「同數、同區域」，而這裡卻是「異數、同區域」。這個結構感覺形式上有些異樣，還借用了b3和b6內的多個單元格才得到的強弱關係。

而這些，都是一個特殊結構的特性，它就是待定死鎖集合（Almost Locked Set），一般不說中文名，都簡稱ALS。

ALS的基本形式有非常之多，這裡是它的第一種情況。這種情況有以下兩點特徵：

1. 涉及同區域下的最多八個單元格；
2. 結構涉及的n個單元格下一共有(n+1)種候選數。

比如上圖ALS-XZ結構裡面，b4內塗色的五格就是一組ALS，而b6內塗色的兩格，也自成一組ALS。

於是，我們藉助到了這兩點，得到了一種同區異數強關係。那麼，今天我們就解鎖了新的一種關係使用。

TeX代碼如下：smallegin{array}{l|l|l} ext{種類編號} & ext{類型} & ext{首次出現的地方}\ ext{No.} & ext{Kind} & ext{First Show}\hline ext{1} & ext{同區域同數強關係} & ext{雙強鏈（多寶魚）}\ ext{2} & ext{同區域同數弱關係} & ext{雙強鏈（多寶魚）}\ ext{3} & ext{同單元格異數強關係} & ext{異數鏈}\ ext{4} & ext{同單元格異數弱關係} & ext{異數鏈}\ ext{5} & ext{同區域異數強關係} & color{red}{ ext{ALS}}\ ext{6} & ext{同區域異數弱關係} & ext{???}\ ext{7} & ext{跨區域同數強關係} & ext{???}\ ext{8} & ext{跨區域同數弱關係} & ext{???}\ ext{9} & ext{跨區域異數強關係} & ext{???}\ ext{10} & ext{跨區域異數弱關係} & ext{???}\end{array}

那麼，上面的結構是ALS版本的雙強鏈了，所以也被稱為ALS-雙強鏈法則（ALS-XZ Rule）。

英文名裡面的「XZ Rule」（XZ法則），的x和z也都是其中的未知數，同雙分支匹配法（XY-Wing）之中的z，是指結構內唯一跨區的候選數，這裡的z指的是結構兩頭的數，而x則指的是結構的「橋樑」（數字4）。書寫名稱時，作標題時才大寫，一般情況寫作ALS-xz（ALS是簡寫詞，應當在任何時候大寫）。Rule一詞可以被省略。

另外，還有些地方把ALS-XZ稱為雙強顯性待定數組鏈。

接著，我們稱，嵌入結構的AIC為超標準鏈（Hyper AIC），一般簡稱超鏈。比如ALS-XZ就是嵌入了ALS的超鏈。或者換句話說，超鏈指的是內部產生的強弱關係包含剛才表上後面六種情況（同區異數強弱關係、跨區同/異數的強弱關係）其一的AIC結構。

另外，我們一般記帶有ALS結構的超鏈為超鏈置ALS或超鏈+ALS（Hyper AIC With ALS），或ALS超鏈。

那麼，ALS就這麼簡單嗎？當然不是，因為，這一點就幫助我們引入了關係第二定義。

Part 2 關係第二定義和鏈的雙向性

關係？不就是強弱嘛。一起來背一下強弱關係的定義：

• 強關係：如果某一個候選數為假，能得到另外一個候選數為真的，則稱兩個候選數有強關係；
• 弱關係：如果某一個候選數為真，能得到另外一個候選數為假的，則稱兩個候選數有弱關係。

陸仁賈同學對於這個地方有兩個疑問。

陸仁賈：老師我有兩個問題。

我：你怎麼又來了？？？既然你誠心誠意地問了，那我就大發慈悲地告訴你，問吧問吧。

陸仁賈：（汗-_-||）老師，我不是火箭隊。咳咳咳，言歸正傳。我想問的問題1是，我感覺定義上有點小毛病，為什麼說「若前者假，則後者真」就可以直接說成「兩個候選數有強關係」了呢？難道不應該是「若前者假，則後者真」應該只能得到的是「前者到後者有強關係」嗎？直接說成「兩數有強關係」，好像還差一個方向吧，也就是反方向的推導。弱關係也是，沒有反向說明這一點。

我：問題提得很好，那你另外一個問題呢？

陸仁賈：問題2是，弱關係這個定義實在是感覺多餘了，如果只是為了配合強關係產生一個「定義對稱」的另一個定義的話，那我感覺沒有意義啊，因為我們平時假設過程之中，隨隨便便就可以假設其中一個數為真，另外一個就肯定為假的嘛。再說了，這個弱關係顯然也不和強關係的定義對稱啊。你想嘛，就拿之前的所有例子來說，只要是同區域、同數，或是同一個單元格內，任何兩個數都直接滿足弱關係定義，但是強關係卻不一定，換句話說，之前所有的示例，只要滿足強關係的地方，好像全部都滿足弱關係的定義誒。雖然老師之前已經告訴我，強關係定義雖然滿足弱關係定義，但依然是該使用強關係時使用強關係，該使用弱關係時使用弱關係，因為要保證鏈的推導形式。

我：同學啊，你很有心機啊，哦不對，你很有想法啊。那我就來帶你看看這其中的原因。

聰明的你，要不先自己想想看？如果實在是想不通的話，可以來看看下面的證明思路和原因哦。注意的是，這兩個問題的解釋和證明都很重要，希望你能掌握這一點的證明方式，不論你學習理論還是做題情況之下。

先來看看問題1，把剛才的對話簡化一下，他想問的問題其實是「強弱關係在沒有說明反向的情況下，就直接定義為『兩數有強關係』或是『兩數有弱關係』了，這樣做是否不嚴謹」。

我們抽象一下，強弱關係的定義。

• 強關係：針對於兩個候選數a和b來說，如果a假，則b真的，則稱a和b有強關係。
• 弱關係：針對於兩個候選數a和b來說，如果a真，則b假的，則稱a和b有弱關係。

沒毛病！這麼抽象一波是為了好描述其中的a和b一些。接下來，我們挨個來看。先看強關係。

先把強關係裡面的命題部分抽出來留著待會兒用：

如果a為假，則b為真。

接下來，回憶一下你在高一學習到的數學知識點：命題與邏輯（當然了，有些小夥伴也有可能是在高二才學到的）。

當時命題與邏輯那一章裡面，我們學到了四種特別的命題，以及它們之間的關係。如下圖所示。

對吧，很熟悉吧。我們知道的是，原命題和逆否命題一組，逆命題和否命題一組，同為一組的兩個命題由於互為逆否，所以真值相同。高中是這麼說的吧！

接下來我們來思考一下。剛才的命題看成原命題好了：

如果a為假，則b為真。

那麼它的逆否命題如何呢？

• 原命題：如果a為假，則b為真。
• 逆命題：如果b為真，則a為假。
• 否命題：如果a為真，則b為假。
• 逆否命題：如果b為假，則a為真。

是吧。那你再對比一下原命題和逆否命題呢？原命題和逆否命題真值相等，說白了就是，如果原命題是對的，那逆否命題也就應該是對的。但是恰好，這個逆否命題就是原命題經過反向變化得到的。原命題說明了「a到b有強關係」，那逆否命題說明了「b到a有強關係」，那a和b兩個方向都有強關係了，那肯定a和b就直接有強關係了唄，這樣就不用管方向了，而且通用情況下都是，只要有原命題（其中一個方向的強關係），就一定會產生它的逆否命題（另外一個方向的強關係），所以無需證明兩個方向都是強關係，才叫「兩數有強關係」。

另外，弱關係也可以證明。

• 原命題：如果a為真，則b為假。
• 逆命題：如果b為假，則a為真。
• 否命題：如果a為假，則b為真。
• 逆否命題：如果b為真，則a為假。

同樣只是換了一個方向罷了。

所以，強關係弱關係都可以論證得到這一點，而鏈就是由強弱關係交替得到的，所以，鏈是雙向的，或者說鏈是不論方向的。所以回答第一個題，就應該是「定義是嚴謹的，沒有錯，而證明方式使用了逆否命題的邏輯」。

再來看看問題2，他想問的則是「弱關係的定義是否真的沒有用途」。

實際上並不是。這一點的論證，需要引入一個新的東西：強弱關係第二定義。

什麼？！還有第二定義？其實，兩個說法的等效的，but，你需要把兩種定義形式都記下來，因為不同場合下使用不同的定義形式做題速度有區別，邏輯和分析程度上也有區別。先來看一下怎麼推導的吧！

首先，依然要藉助逆否命題幫忙。我們還是先用強關係舉例進行描述。

• 原命題：如果a為假，則b為真。
• 逆否命題：如果b為假，則a為真。

我就去掉了逆命題和否命題了哈，暫時用不到它們。對比兩種說法，最終能夠發現到一點的是，a和b不管是正向還是反向，至少都有一個數是為真的。什麼，你不信？你看看這兩個命題「如果……則……」的「則……」這一部分。首先，是不是要滿足強關係就必然要滿足這兩個命題呀？那既然都滿足這兩個命題了，那a和b確實至少有一個都應得到為真才行。

所以，換一句話說，如果「a和b不可同時為假」或是「a和b至少有一個為真」，就算是強關係了。

同理，弱關係也是差不多的類似看法：

• 原命題：如果a為真，則b為假。
• 逆否命題：如果b為真，則a為假。

刪掉逆命題和否命題，我們發現，a和b是至少有一個數為假的。所以，換一句話說，如果「a和b不可同時為真」或是「a和b至少有一個為假」，就算是弱關係了。

這樣，就得到了強弱關係的第二定義。那麼，我們先來總結一下強弱關係第二定義（為了閱讀方便，我順便把強弱關係原始的定義也寫在這裡）：

關係第一定義

• 強關係：針對於候選數a和b而言，如果a為假，則b為真的，則稱a和b有強關係；
• 弱關係：針對於候選數a和b而言，如果a為真，則b為假的，則稱a和b有弱關係。

關係第二定義

• 強關係：針對於候選數a和b而言，如果a和b不可同時為假的，則稱a和b有強關係；
• 弱關係：針對於候選數a和b而言，如果a和b不可同時為真的，則稱a和b有弱關係。

那麼，回到最開始的問題上去。這樣去定義弱關係真的有意義嗎？感覺好像是包含關係而不是對稱的關係。其實不然。仔細看看第二定義。比如強關係第二定義，「a和b不可同假」稱為強關係，那有一種可能，就是a和b同真時，也叫「不可同假」哦。這似乎原始定義沒有提到這一點，其實呢，它是在隱藏信息裡面的。如果a和b同真，那麼意味著這個b一定是對的，管它a是否為真，只要邏輯沒毛病，b就一定能得到為真的情況。也就是說，它肯定有法通過原始的定義得到「a和b是強關係」的結果。弱關係的「同時為假」的情況也是類似的理解方式。

試想一下，如果按照原始的定義來看這一點，比如強關係的「如果a假，則b真」。這句話是很難一眼看出a和b是可以同真的這樣一種特殊情況的。弱關係原始定義上也是一樣。那麼，弱關係裡面，就很難想到會「漏掉」這一點情況。

所以，弱關係並不是什麼情況下都成立的，這個定義只是相較於強關係來說，用的較少罷了。

如果覺得還是沒有說清楚的小夥伴，可以在下方留言提問哦！

Part 3 ALS-XZ的雙RCC拓展

在ALS-XZ結構內，有一個定義要提一下——嚴格共享候選數（Restricted Common Candidate），簡稱RCC。

RCC具有什麼樣的特徵呢？因為它是作為ALS-XZ的橋樑（弱關係），而且是同數同區域下的弱關係，那麼，這意味著兩數不可同真。也就是說，兩數可以同假，也可以有且僅有一個為真。比如ALS-XZ例題之中的r14c9(4)就是一個RCC。

現在要講的結構呢，也是目前數獨技巧範圍裡面，名字最長的技巧。而且用邏輯寫出來，也是一長篇呢！

如圖所示，我們把r2c239看作一組ALS（三個單元格，有2、4、7、9四種候選數），r4c23看作一組ALS（兩個單元格，有1、2、4三種候選數）。這個鏈的寫法如下：

r2c2(2)=r2c3(4)-r4c3(4)=r4c2(2)

或是這樣

r2c3(4)=r2c2(2)-r4c2(2)=r4c3(4)

這個結構可以寫成兩個不同的鏈結構。也就是說，這個結構自帶了2和4兩個RCC。根據原定的ALS-XZ邏輯，那麼可以刪除掉的是c2內其餘單元格的候選數2，以及c3內其餘單元格的候選數4。那這題為啥標註了那麼多紅色的刪數？

回想一下RCC的特徵：RCC呈弱關係，意味著兩數不可同真。不可同真本應該指的是「同假」或「有且僅有一個為真」，但是當我們刪除掉c2內其餘單元格的候選數2和c3的其餘單元格的候選數4之後，RCC就不可能再同假了。因為刪掉這些數之後，c2其餘位置就不再存在填入2的地方，c3的其餘位置也就不存在填入4的地方，此時RCC變為共軛對。

共軛對即一真一假，比如圖中r24c2(2)這個共軛對，只能是一真一假，r24c3(4)也是一樣的情況。首先，我們根據上面描述出來的兩條超鏈，可以看到兩個強關係：

• r2c2(2)=r2c3(4)
• r4c2(2)=r4c3(4)

這意味著r2c2(2)和r2c3(4)不可同假，同時r4c2(2)和r4c3(4)也不可同假，而且r24c2(2)和r24c3(4)又都只能是一真一假。這樣的話，r24c2(2)和r24c3(4)這四個候選數的填數情況只可能是以下兩種可能了：

• r2c2(2)和r4c3(4)同時為真；
• r2c3(4)和r4c2(2)同時為真。

別無其它可能。這樣一來，觀察r2c239這組ALS，裡面的r2c2和r2c3其中有且僅有一格被RCC數字佔據。那麼，ALS內其餘兩格，則會構成79數對。同理，r4c23這組ALS，裡面的r4c2和r4c3其中有且僅有一格被RCC數字佔據，剩下一格就一定是數字1。

也就是說，結構r2c239（靠上方）這組ALS一定會產生79數對，r4c23（靠下方）這組ALS一定會產生數字1，所以r2的其餘位置都不應該填入數字7和9，r4和b4內的其餘位置也都不應該填入數字1，因此刪掉它們。

這個結構分析起來非常複雜，因為帶有了兩個RCC，並且組成了特別的結構。

它的名字是什麼呢？它叫帶有雙RCC的ALS-XZ結構（Double-linked ALS-XZ）。如果把所有的英文縮寫全部展開的話，當之無愧成為最長的技巧名稱：帶有雙嚴格共享候選數的待定死鎖集合-雙強鏈結構。數數看，有22個字呢！而對比這種說法，最開始的結構因為只有一個RCC，所以可以被稱為帶有單RCC的ALS-XZ結構（Single-linked ALS-XZ）。

Part 4 ALS的雙分支匹配法拓展

除了ALS-XZ外，還有沒有更特殊一點的結構呢？當然是有的了！

不知道你有沒有注意到，在不規則Wing結構一講的總結之中，我寫出了雙分支匹配法的AIC寫法。如果你沒注意到的話，我現在來講一下它的AIC角度。

如圖所示，這就是之前雙分支匹配法（XY-Wing）的例題。當時，我們是分情況討論的。我們這個時候看下它的AIC看法：首先，因為強弱關係都是可以不管方向的，所以我們把其中一個弱關係調換一個方向（圖中的箭頭方向變一下），然後把分情況討論的單元格r1c2的候選數用強關係連接起來。這個時候，鏈變成這樣：

r5c2(4=3)-r1c2(3=8)-r2c3(8=4) => r2c2, r6c3<>4

這樣寫，就會發現，它其實就是一個雙值格鏈（XY-Chain）之中，較簡單的形式，一般雙值格鏈很長，這裡長度卻為5，算是比較短的了。

所以，雙分支匹配法的AIC寫法則是一個涉及三個雙值格的雙值格鏈（(z=x)-(x=y)-(y=z)，括弧表示關係產生於同一個單元格內）。

最後，我們學習了ALS，活學活用一下，把這個鏈再簡化一下。

r5c2(4)=r1c2(8)-r2c3(8=4) => r2c2, r6c3<>4

這樣也是可以的。我們把r15c2看作一組ALS，就可以產生r5c2(4)=r1c2(8)的異數同區域強關係。當然了，這樣看也可以：

r5c2(4=3)-r1c2(3)=r2c3(4) => r2c2, r6c3<>4

把r1c2和r2c3看作一組ALS。

之所以先講解雙分支匹配法結構的AIC和超鏈寫法，是為這個ALS超鏈版本作鋪墊。

如圖所示，它的鏈寫成這樣：

r1c78(7)=r1c7(4)-r46c7(4)=r5c9(6)-r5c4(6)=r25c4(7) => r1c4<>7

我們來看一下，裡面的強弱關係依次是怎麼產生的。

首先是r1c78(7)和r1c7(4)。我們把r1c78看作一組ALS（兩個單元格，2、4、7三種候選數），根據強關係第二定義，當r1c78(7)和r1c7(4)同時為假時，r1c78之中只剩下2一種候選數，填入r1c78兩個單元格之中很明顯是會矛盾的，所以r1c78(7)和r1c7(4)不可同假。

其次是r46c7(4)和r5c9(6)。我們把{r456c78, r5c9}看作一組ALS（七個單元格，1、2、3、4、5、6、7、8八種候選數）。根據強關係第二定義，當r46c7(4)和r5c9(6)同假時，這組ALS內就會同時缺少4和6兩種候選數，從八種直接變為六種。顯然，六種候選數無法填滿到七個單元格之中，所以矛盾，即r46c7(4)和r5c9(6)不可同假。

最後是r5c4(6)和r25c4(7)。我們把r25c4看作一組ALS（兩個單元格，6、7、9三種候選數）。根據強關係第二定義，當r5c4(6)和r25c4(7)同假時，這組ALS內只剩下9這一種候選數，要填入到兩格之中是不可能的。所以r5c4(6)和r25c4(7)不可同假。

最後，我們得到了r1c78(7)和r25c4(7)至少一個為真的結果。r1c78(7)是一個區塊組，而r25c4(7)也是一個區塊組。區塊組成立表示內部有且僅有一個數是正確的。於是刪除掉兩個區塊組的交集，應當就是r1c4(7)了，所以r1c4<>7。

這個結構很奇特，我們觀察它的超鏈寫法，它和雙分支匹配法的寫法基本一樣：z=x-x=y-y=z，所以這個結構稱為ALS-雙分支匹配法（ALS-XY-Wing）。

那麼到現在，ALS就暫時先講到這裡。

Part 5 總結

這一節是針對講到的技巧做的一個統一的難度歸納和理論分析。

• ALS-雙強鏈
• 英文名：ALS-XZ Rule
• 難度係數：SER 無，XR 7.5
• 命名空間：Tech.AlmostSubset.ALS.Chain.Double
• ALS-雙分支匹配法
• 英文名：ALS-XY-Wing
• 難度係數：SER 無，XR 8.0
• 命名空間：Tech.AlmostSubset.ALS.Chain.Triple

使用到的術語：

• 超標準鏈
• 英文名：Hyper Alternating Inference Chain
• 解釋：內部產生的強弱關係包含同區異數強弱關係或跨區同/異數的強弱關係的AIC結構。
• 嚴格共享候選數
• 英文名：Restricted Common Candidate
• 解釋：由兩個不同的ALS用弱關係連接起來的兩數。

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