Optics - 光學

02-27

一般的非透鏡幾何光學題，要麼考給折射率算光路，要麼考給定光路求折射率。正常人的做法，要麼是對均勻介質直接用斯涅爾折射定律，要麼是將非均勻介質切成小片用斯涅爾折射定律，要麼......我也要麼不出來了（把光力類比看成斯涅爾好了）。

我們來複習一下。

從Fermat原理出發， $delta int_{a}^{b} n , ds =0$ ， $ds^{2} = dx^{i} dx_{i}$ ,

代入原式得 $int_{ m{a}}^b {[frac{{partial n}}{{partial {x^i}}}delta {x^i} + frac{d}{{ds}}(nfrac{{d{x_i}}}{{ds}}delta {x^i}) - delta {x^i}frac{d}{{ds}}(nfrac{{d{x_i}}}{{ds}})]} ds$

丟掉全微分，由 $delta x^{i}$ 的任意性， $[{frac{{partial n}}{{partial {x^i}}} - frac{d}{{ds}}(nfrac{{d{x_i}}}{{ds}})}=0]$ ，即為一般形式的光線方程。現在進行一些討論。

在方程兩邊同乘以 $n$ ，得 $[ - abla ( - frac{{{n^2}}}{2}) = nfrac{{dn}}{{ds}}frac{{dvec r}}{{ds}} + {n^2}frac{d}{{ds}}(frac{{dvec r}}{{ds}})]$ 。

我們令 $[overrightarrow au = frac{{doverrightarrow r }}{{ds}}]$ 為光線傳播的切向單位矢量，再定義一個參量 $[t]$ ，使 $[frac{{ds}}{{dt}} = n]$ ，並記 $[mathop {overrightarrow r }limits^. = frac{{doverrightarrow r }}{{dt}}]$ ，則有 $[ - abla ( - frac{{{n^2}}}{2}) = nfrac{{dn}}{{ds}}overrightarrow au + {n^2}frac{{doverrightarrow au }}{{ds}}]$ ，並將牛頓動力學方程的自然坐標表達式 $[overrightarrow F = vfrac{{dv}}{{ds}}vec au + {v^2}frac{{dvec au }}{{ds}}]$

與之比較，發現 $[n o v, - frac{{{n^2}}}{2} o U]$ 即可將光線方程變為牛頓方程，這就是光力類比的原理。

然而，並不能將上式理解為光線波前的位置就是 $[r(t)]$ ，因為 $[t]$ 並不具有直接的物理意義，理由容易看出，通常介質中光速為 $[v=frac{c}{n}]$ ，與上述定義相反， $[t]$ 決不可能表示時間。這種對應的唯一價值在於更方便地為光學問題找到第一積分從而簡化運算。

這種對應是不是唯一的呢？顯然不是。舉個例子，取 $[frac{{doverrightarrow r }}{{dt}} = v = frac{c}{n}]$ ，則總可以找到一個勢能的表達式，使介質對光子的作用可用這個勢的力來表達。此處計算較複雜，坑以後再填。下文的方法也可看作是一種對應或曰「規範」

（以上部分內容本來是由我校物理組某大佬於組內講解）

現在提出一個選取對應的更加（沒）有用的方法，我稱之為坐標變換法。此法在某個小範圍內應用時威力巨大，但在此範圍外屁用沒有。

考慮一個空間，在其上定義坐標 $[(X^{i})]$ ，並帶有度規 $[G_{ik}]$ ，則其線元表達式為 $[dS^{2}=G_{ik}dX^{i}dX^{k}]$ ，此空間的測地線滿足方程 $[delta int {dS} = 0]$ 。若空間帶有介質 $[n(overrightarrow r )]$ ，則測地線方程為 $[delta int {ndS} = 0]$ 。

在一般的方法中， $[n]$ 被乘在 $[dX^{i}]$ 中處理，而在此方法中，定義 $[g_{ik}=n^{2}G_{ik}]$ ， $[ds=n dS]$ ， $[n]$ 與度規一併處理。

作上述定義後，就是考驗眼力的時候了。請用你聰明的大腦，找出一組新坐標 $[x^{i}(X^{k})]$ ，使新度規 $[g_{ik}^ * ]$ 成為簡單形式，如 $[left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&0\ 0&1 end{array}} ight)]$ ， $[left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&0\ 0&{{r^2}} end{array}} ight)]$ ， $[left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&0\ 0&{{r^2}{{sin }^2}( heta )} end{array}} ight)]$ 等等。

現在，新度規下的測地線方程已經可以眼殺，這個問題的通解已經找到，更重要的是，光線軌跡的幾何性質也可以容易地看出。

舉兩個粒子：

蔡題集萃第不知道多少題
有一個質點，其受力大小正比於速度，方向任意改變，初始時速度朝右大小 $v$ ，末態速度朝上大小 $2v$ ，問從初態到末態至少經歷多久？

一個合格的競賽生應該一上來就要想到速度空間並將其與費馬原理聯繫起來，從而化為一個光學問題，然而隨後問題的求解就值得玩味了。定義速度空間的「速度」為 $[v_{p}]$ ，坐標為極坐標 $[(r_{p}, heta_{p})]$ ，則 $[v_{p}=kr_{p}]$ ， $[n=frac {1}{r_{p}}]$ ， $[ herefore g_{ik}= left( {egin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{{{r^2}}}}&0\ 0&1 end{array}} ight)]$ ，令 $r=ln r_{p}, heta= heta_{p}$ ，則 $[g_{ik}^ * = left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&0\ 0&1 end{array}} ight)]$ ，已化為簡單形式。在此可看出，在 $[(r, heta)]$ 空間，質點走的路線為直線，長度為 $[sqrt {{{(ln 2)}^2} + {{(frac{pi }{2})}^2}} ]$ ，共用時 $frac{sqrt {{{(ln 2)}^2} + {{(frac{pi }{2})}^2}} }{k}$

Born & Wolf《光學原理》
Maxwell魚眼，折射率分布為 $[n = frac{1}{{1 + {{(frac{1}{r})}^2}}}]$ ，求解其光線方程

原書上的解是直接積分得到的，那個積分比較大一坨，至今不會算，解也是奇醜無比，然而解的幾何性質很漂亮。

我們在光線所經平面上建一極坐標 $[(r,varphi)]$ ，並作球極投影，即令 $heta=2arctan(r)$ ，會發現 $[g_{ik}^ * propto left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&0\ 0&{{{sin }^2}( heta )} end{array}} ight)]$ ，簡而言之，變為單位球表面上的度規，測地線自然是球的大圓。再由球極投影的幾何性質，圓被投影為圓可知，光線在真實空間中的路徑是圓。同時，Maxwell魚眼可理想成像，由於一個點發出的所有光線在球上均為大圓，它們唯一的另一焦點是正對的點，即一點和它的共軛點在球上相對，在真實空間里互為反演（只是分居原點兩側），這些直接的解析解中需要計算才能證明的性質，在坐標變換後變得幾乎trivial和 $naive$ 。（以上為原創，組內其它某三個同學亦有貢獻）

這麼好的方法教育部為什麼不引進呢？因為天下沒有免費的午餐，既然這方法好，就一定會有缺點。缺點在於，坐標變換要靠人腦找，至今我還沒找出一般方法。再者，存不存在合適的變換還不一定。由於一個曲面（或流形）的高斯曲率是等距變換的不變數，不可能將一個曲率不定的曲面變換為常曲率曲面，而基本上只有常曲率曲面才能眼殺測地線，所以還是有一大類介質分布的情況不能如此解決。相反的，如果算得一個問題的曲率恆定，那麼它多半可以如此解決。

別的幾光問題以後再寫。

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