Weisskopf-Wigner方法算原子衰變

02-26

原子自發衰變，放出光子是大家都很熟悉的現象。

我總結了四個與這個現象相關的結論：

1.原子隨時間的衰變概率是個指數關係： $e^{-Gamma t}$ .

2.原子衰變的光譜並不是單一頻率的譜線。也就是說假設原子的激發態能級是 $E_b$ ,基態能級是 $E_a$ ,那衰變產生的的頻率並不是絕對的 $frac{E_a-E_b}{hbar}$ ，而是圍繞 $frac{E_a-E_b}{hbar}$ 有一個頻譜分布。這個頻譜分布是一個洛倫茲分布，被稱為「自然展寬」。

關於這個東西可以多說幾句。有一種比較唯象的導出自然展寬的方法是，在電子波函數中人為的加入衰減係數 $e^{-Gamma t}$ ，然後進行傅里葉變換，就可以得出一個好像頻譜分布的式子，藉此作為自然展寬的解釋。還有人進一步用這個式子，得出所謂的「能量-時間不確定度關係」。

就我個人的觀點而言，我認為這樣的處理的非常粗糙的，物理意義非常不明確，更像是一個強湊的過程。首先，這個方法必須人為的加入衰減係數，其次，這個過程中完全沒有涉及到光，可為什麼波函數做一個傅里葉變換就是光譜分布了？另外，這個所謂的能量-時間不確定度關係是個很誤導的名稱，彷彿和通常的不對易算符的不確定度關係是一回事——實際上至少我目前的理解而言，完全沒發現這個和通常的不確定度關係有任何聯繫。

3.原子在兩個能級間的衰變只放出一個光子。

4.如果一個光電探測器距離原子距離為r，而初始時刻原子完全處於激發態，那按照相對論中的英國關係，至少要經過 $frac{r}{c}$ 時間後，光電探測器才能探測到光子。

下面我利用量子光學中的方法對衰變過程做一描述，對以上四點做出解釋。

我們把原子局限在二能級原子範疇內。如果不考慮光場的量子化，只考慮經典簡諧電磁波的作用，也就是哈密頓為雙能級原子自身的哈密頓加上一個隨時間正弦變換的相互作用項，那這個系統是一個精確可解（即不需要使用微擾方法）的系統。解出來的結果，原子態會在兩個能級之間震蕩，被稱為Rabi oscillation。

在實際情況中，大家都知道，一個處在激發態的原子，會指數衰減到基態，並不會發生所謂的Rabi oscillation——原子落到基態後並不會周期性地回到激發態。之所以和之前二能級系統計算的結果不同，是因為實際情況下原子會和周圍量子化的光場（有無窮個mode）發生作用——哪怕是真空態光場。這就從雙能級系統變成了一個分立能級和一堆連續能級組成的系統，這種情況下，就出現了指數衰減的效應。

最早人們採用微擾法解此類問題。不過微擾法，比如一階微擾，只能算短時間內的效應（長時間情況下不適用），算出來線性衰減的結果。這實際上是指數衰減在時間很小情況下的近似。

如何才能得出指數衰減呢？

1930年，Weisskopf和Wigner採用了一套非微擾方法，來計算二能級原子在真空（即光場多模真空態）中的衰變。這套方法迄今為止在量子光學中非常常用，比如quantum noise裡面就經常採用這一近似思想進行計算。

下面進行詳述。

原子激發態設為 $|b angle$ ,基態設為 $|a angle$ 。

考慮原子初始情況下處在激發態 $|b angle$ ,光場初始處於真空態。

Interaction picture下的哈密頓為（來自於原子和光場的電偶極相互作用）：

$u=hbarsum_old{k}[g_old{k}^*|b anglelangle a|a_old{k} e^{i(w-v_old{k})t}+g_old{k}|a anglelangle b|a^dagger_old{k}e^{-i(w-v_old{k})t}]$

$w$ 為 $frac{E_b-E_a}{hbar}$ , $v_old{k}$ 為不同光模的頻率。

其中 $old{k}$ 對應不同的光場模,我用黑體 $old{k}$ 表示矢量，用普通的 $k$ 代表矢量的大小（標量）。有一點要說明的是，光場其實包含波矢，偏振兩個自由度。原則上應該用兩個標記，即波矢 $old{k}$ ，偏振 $s$ 一起來標誌一個波模。不過我的式子里都省略只用了一個指標 $old{k}$ 。為啥會這樣是因為我開始照搬了scully書上的公式，後來覺得不好也懶得改了。心裡還是要記得有兩個自由度，不然後面的推導會難以理解。

另外有些量像光模的頻率，只和波矢大小有關，所以有的時候也可以寫成 $v_k$ ,和 $v_old{k}$ 一個意思。

$a_old{k},a^dagger_old{k}$ 是對應光場模式的湮滅、生成算符。

$g_old{k}$ 是耦合係數，其值為 $elangle a|r|b angle cdot old{epsilon_k} (hbar v_old{k}/2epsilon_0V)^{frac{1}{2}}/hbar$ 。

這個耦合係數的表示可以從電偶極相互作用推導出來。其中字母的含義，r是原子核到電子的位移對應的矢量算符， $epsilon$ 是光對應模式的波矢方向的單位矢量。

V是量子化體積，意義後面會講。

我們設t時刻系統的態為:

$|psi(t) angle=c_a(t)|a,0 angle+sum_k c_{b,old{k}}|b,1_old{k} angle$

這裡只有光場真空態和但光子態。

把 $|psi(t) angle$ 的表達式代入interaction picture的哈密頓方程

$|dotpsi(t) angle=-frac{i}{hbar} u|psi(t) angle$

得到

$egin{equation} dot{c}_a(t)=-isum_old{k} g_old{k}^* e^{i(w-v_old{k})t}c_{b,old{k}}(t) end{equation}$

$dot{c}_{b,old{k}}(t)=-i g_old{k}^* e^{-i(w-v_old{k})t}c_{a}(t)$

這兩個式子。

將後一個式子寫成積分形式（開始時刻 $c_{b,k}$ 為0）：

$c_{b,old{k}}(t)=-ig_old{k}int_0^tdte^{-i(w-v_old{k})t}c_a(t)$

代入前一個式子，得到：

$dot{c}_a(t)=-sum_old{k} |g_old{k}|^2int_0^tdt e^{i(w-v_old{k})(t-t)}c_{a}(t)$ .

下面討論怎麼通過一些近似，計算右邊這個積分。

我們可以交換求和和積分的次序（在物理中，遇到這種情況一般都假定運算可以交換）

變為

$int_0^tdtsum_old{k} |g_old{k}|^2e^{i(w-v_old{k})(t-t)}c_{a}(t)$

波的模式 $old{k}$ 是怎麼分布的？

在量子化一個全空間的電磁波時，我們一般先假設一個立方體的「盒子」，並附上特定的邊界條件（比如周期條件），對其進行量子化，最後再讓盒子的邊長L趨於無窮，作為全空間的情況。而如果是腔量子光學中，真的有那麼一個腔，那我們就保留這個盒子，不取 $L ightarrowinfty$ 的極限。

在周期邊界盒子的情況下，每個波矢量佔據的（倒空間中的）體積為 $frac{8pi^3}{V}$ , $V=L^3$ 為盒子的體積。而每個波矢對應兩個偏振模式。

現在試圖用一個積分來近似代替關於k的分立和。

什麼情況下求和能用積分代替呢？從直覺上來說，當「求和」的相鄰項變化不大的時候，我們可以用積分來近似它。也就是 $Delta v_old{k}(t-t)ll2pi$ 的條件下可以用積分代替。

因為我們對演化方程感興趣的時間區間不超過T，那麼要滿足的條件就是 $Delta v_kTll2pi$

對邊長L的盒子，周期邊界條件的情況下，波矢k可取的值為：

$old{k}_x=n_xfrac{2pi}{L},old{k}_y=n_yfrac{2pi}{L},old{k}_z=n_zfrac{2pi}{L}$

其中 $n_x,n_y,n_z為整數$ 。

又 $v_old{k}=ck=sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}frac{2pi}{L}$

故和k相鄰（這裡不妨設為在x軸方向相鄰）的波矢k，其

$v_{old{k}}=sqrt{(n_x+1)^2+n_y^2+n_z^2}frac{2pi}{L}$

當考慮全空間的量子化， $L ightarrowinfty$ ，總有 $Delta v_k=v_k-v_k』 ightarrow0$ ,滿足可用積分近似的條件。

現在 $int_0^tdtsum_{old{k},s}|g(old{k})|^2 e^{i(w-v_k)(t-t)}c_{a}(t)$ 變成積分 $int_0^tdtfrac{V}{(2pi)^3}iiint sum_s |g(old{k})|^2e^{i(w-v_k)(t-t)}c_{a}(t)dk_xdk_ydk_z$

注意這裡把偏振 $s$ 寫出來了，因為計算中要用到。

我們試圖讓積分湊成類似 $int_{-infty}^{infty}dv e^{ivx}$ 的形式，因為我們知道此積分的結果為 $2pi delta (x)$ ,其中 $delta (x)$ 是狄拉克函數。

因為 $v_k=ck$ ，要把積分元變成指數上的 $v_k$ ，採用球坐標系 $k, heta,phi$ 為佳。 $heta$ 為 $old{k}$ 與 $langle a|r|b angle$ （這是一個複數矢量）分量的模組成的（實）矢量（下面記為 $R$ ）的夾角。

於是積分變為 $int_0^tdtfrac{V}{(2pi)^3}iiint sum_s |g(old{k})|^2e^{i(w-v_k)(t-t)}c_{a}(t)k^2 sin heta dk d heta dphi$

下面代入 $g(old{k})=elangle a|r|b angle cdot old{epsilon_{k,s}} (hbar v_old{k}/2epsilon_0V)^{frac{1}{2}}/hbar$ 到 $|g(old{k})|^2$ ，得到：

$|g(old{k})|^2=e^2langle a|r|b angle langle b |r |a angle frac{v_old{k}}{2epsilon_0V hbar} cos^2 alpha_{old{k},s}$

角 $alpha_{old{k},s}$ 是 $R$ 和單位偏振矢量 $epsilon_{k,s}$ 的夾角。

我們發現 $|g(old{k})|^2$ 的表達式中只有兩個部分是波模的變數，其他都是常量。

這兩個部分分別是 $alpha_{old{k},s}$ 和 $v_old{k}$ ,其中偏振只和 $alpha_{old{k},s}$ 有關。

先在每個波矢中把計算 $sum_scos^2 alpha_{old{k},s}$ 以把偏振消去。

我們知道，在光的模式中，每個波矢的偏振可以在滿足1.與波矢垂直 2.相互垂直的情況下任意選取。事實上，不管怎麼選取， $sum_scos^2 alpha_{old{k},s}$ 的值都是一致的。

我們來證明這一點。

這可以通過一定的幾何想像來完成。假設原本 $R$ 處於z軸方向。我們假想通過一定的旋轉，把兩個偏振和 $old{k}$ 分別旋轉到x,y,z軸。那麼 $R$ 就轉到了一個與z軸夾角 $heta$ 的方向。

根據立體幾何，任何直線對x,y,z軸夾角餘弦的平方和為1。

故 $sum_scos^2 alpha_{old{k},s}=1-cos^2 heta=sin^2 heta$ （我這裡算出來得結果和scully 6.3.10式不一樣，他是餘弦平方。我認為他算錯了。我按照自己得結果可以推出6.3.11式，用他的應該6.3.11式右邊的係數應該小一半。有空的讀者可以算算看幫我驗證下。）

$int_0^tdtfrac{V}{(2pi)^3}iiint e^2langle a|r|b angle langle b |r |a angle frac{v_old{k}}{2epsilon_0V hbar} k^2sin^3 heta e^{i(w-v_k)(t-t)}c_{a}(t)dk d heta dphi$

把 $heta,phi$ 積掉，化簡，並利用用 $k=v_k/c$ 得

$frac{e^2langle a|r|b anglelangle b|r|a angle}{6pi^2c^3hbar epsilon_0}int_0^infty dv_kv_k^3int_0^t dte^{i(w-v_k)(t-t)}c_a(t)$

現在離結果很接近了。接下來要做一個近似。

這個近似的原理是：當 $v_k$ 和 $w$ 偏差（相對於 $1/t$ ）較大時, $int_0^t dte^{i(w-v_k)(t-t)}c_a(t)$ 的值很小，可以忽略不計。

為什麼會這樣呢？

當 $|w-v_k|$ 較大時， $e^{-i(w-v_k)t}$ 快速的震蕩。

做了個t從0到3， $w-v_k$ 為20的實部的圖像。如果在一個諧振周期內 $c_a(t)$ 變化不大，那這個周期的積分就完全抵消掉了，只有不在完整周期內的【紅色部分】對積分有幫助。

顯然紅色部分的時間區間不能超過一個諧振周期，所以當 $w-v_k$ 不斷增大後，紅色部分的長度，從而積分，也越來越小。

如果 $w-v_k$ 非常大，比如說，比100萬還大，那 $int_0^t dte^{i(w-v_k)(t-t)}c_a(t)$ 想必可以忽略不計了。

而積分中和 $v_k$ 有關的另一個變數，在諧振頻率 $v_k=w$ 附近變化的速度相比振動項，就慢得多了。

舉個例子，對於原子的光譜，一般來說總歸是在紅外頻率 $10^{12}$ 次以上的吧？

$10^{12}$ 附近變化了100萬，僅僅相當於變化了 $frac{1}{1000000}$ 。

也就是說，一直到 $int_0^t dte^{i(w-v_k)(t-t)}c_a(t)$ 已經可以忽略不計的頻率範圍， $v_k^3$ 幾乎·都沒有變化。

至於超過這一範圍，那更是 $v_k^3$ 是多少都無所謂了。

因為，可以做兩個近似：

1.把 $v_k$ 當成常量 $w$

2.把 $v_k$ 的積分區間從正數軸擴展到全數軸。（因為 $v_k<0$ 區間內的 $int_0^t dte^{i(w-v_k)(t-t)}c_a(t)$ 可以忽略，所以全加上也沒關係。）

於是， $frac{e^2langle a|r|b anglelangle b|r|a angle}{6pi^2c^3hbar epsilon_0}int_0^infty dv_k^2v_k^3int_0^t dte^{i(w-v_k)(t-t)}c_a(t)$

變為

$frac{e^2langle a|r|b anglelangle b|r|a angle}{6pi^2c^3hbar epsilon_0}w^3int_{-infty}^infty dv_kint_0^t dte^{i(w-v_k)(t-t)}c_a(t)$

這就是Weisskopf-Wigner所做的近似。

因為 $int_{-infty}^infty dv_k dte^{i(w-v_k)(t-t)}=2pi delta(t-t)$

故 $frac{e^2langle a|r|b anglelangle b|r|a angle}{6pi^2c^3hbar epsilon_0}w^3int_{-infty}^infty dv_kint_0^t dte^{i(w-v_k)(t-t)}c_a(t)$

$=frac{e^2langle a|r|b anglelangle b|r|a angle}{6pi^2c^3hbar epsilon_0}w^3int_0^t dte^{iw(t-t)}2pi delta(t-t)c_a(t)$

（正好積了狄拉克函數一半的區間）

$=frac{e^2langle a|r|b anglelangle b|r|a angle}{6pi c^3hbar epsilon_0}w^3c_a(t)$

現在讓我們趕緊回想起來，我們算了這一大堆東西，出發點是為了解關於 $c_a(t)$ 的微分積分方程（不說我自己都忘了...）

所以把這個積分帶回那個微分積分方程，

得到：

$dot{c}_a(t)=-frac{Gamma}{2}c_a(t)$

其中 $Gamma=frac{e^2langle a|r|b anglelangle b|r|a angle}{3pi c^3hbar epsilon_0}w^3$ 。

$c_a(t)=e^{-Gamma t/2}$

躍遷概率= $|c_a(t)|^2=e^{-Gamma t}$

於是我們算出來衰變關係，並且把衰減係數通過原子的電偶極矩和躍遷頻率表示了出來。

再把

$c_a(t)=e^{-Gamma t/2}$ 代入關於 $c_{b,old{k}}(t)$ 的方程中。

可以容易算出 $c_{b,old{k}}(t)=g_k[frac{1-e^{-i(w-v_k)t-Gamma t/2}}{(v_k-w)+iGamma/2}]$

於是

$|psi(t) angle =e^{-Gamma t/2}|a,0 angle+|b anglesum_old{k}g_old{k}[frac{1-e^{-i(w-v_k)t-Gamma t/2}}{(v_k-w)+iGamma/2}]|1_{old{k}} angle$

當時間t $gg$ 壽命 $1/Gamma$ 時，

光場的態為： $sum_old{k}g_old{k}frac{1}{(v_k-w)+iGamma/2}|1_{old{k}} angle$ 。

代入 $g_old{k}$ 可以算光場的頻譜。

因為頻率 $v_k$ 附近的態密度和 $k^2$ 成正比。而 $|g_k|^2$ 與 $k$ 成正比

故最後原子處在頻率 $v_k$ 的概率應該和 $frac{v_k^3}{(v_k-w)^2+Gamma^2/4}$ .

因為一般只考慮共振頻率附近的頻譜，所以分子上的 $v_k$ 被認為是常數。

於是得到洛倫茲譜線形式： $frac{A}{(v_k-w)^2+Gamma^2/4}$

$A$ 是歸一化常數。

文章開頭提到的四點，123都講了。4的話計算個一階相干就有了。下次有空再寫吧。