為什麼三角形內角和一定是 180 度？

02-25

事實上在空間內任意給定的三角形，其內角和為180度的概率為0。

如果說是在平面上的三角形，可以根據歐幾里得幾何的第五公設證明兩直線平行，內錯角和同位角分別相等。然後在三角形某一頂點處反向延長一鄰邊，做底邊的平行線，這樣分出來的兩個角分別和底角相等，可以證明平面內三角形內角和為180度。

你看看除了歐式幾何，還有哪兒三角形內角和是180度的？

曲面三角形的內角和可不是180，舉個例子，你在北極點向南走1km，再向東走1km，再向北走1km，又回到了北極點，而走的路徑所構成的圖形的內角和顯然大於180

在歐式幾何內，應該說不是三角形內角一定等於180°，而是平面凸多邊形外角和一定等於360°，而三角形內角和就等於180°×3-360° ＝180°(三個平角減掉外角和)

至於為什麼外角和一定是360°？因為當你把這個多邊形無限縮小近似一個點時，外角可以看做一個周角~

本來我並不打算回答，可是我看見竟然沒有一個回答提到歐幾里得的第五公設，我就憤怒了

《幾何原本》中第五公設說：

如果一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角，那麼這兩條直線在經過延伸後，必然相交於這一側.

也就是說，過直線外一點，只有一條直線與已知直線平行

這個公設等價於三角形內角和等於兩直角

但是和前四條公設不一樣的是，第五公設在其後的兩千年中並沒有被證明，但是第五公設的確存在疑點，（如薩凱里Saccheri四邊形）

一定可以證明的是：任意一三角形內角和一定小於等於兩直角

可以先證明某一三角形的內角和一定小於等於兩直角，證明如下：

這裡需要引入一個概念角虧設為δ，（δ≥0）即三角形內角和 S 與兩直角的差值，即 δ=S-2⊥

故上述命題等價於取某一三角形，其δ≥0恆成立

如圖所示，可根據中性幾何做出與三角形ABC全等的ABC，

S ABC=α+β+γ=S AAC=α/2+（α/2+β+γ）=2⊥-δ

繼續作三角形AAC得到∠AAC=α/4

S AAC=α/4+（α/4+β+γ）

...

S AAC=α/n+（α/n+β+γ)=2⊥-δ

根據中性幾何可證明三角形任意兩內角一定小於等於兩直角，即

（α/n+β+γ)≤2⊥

且當n&>N時有α/n≤δ

故δ≥0恆成立

然後可以證明任意三角形都符合上述情況，（此處略去）

所以三角形內角和恆小於等於兩直角（180）

對於三維空間，有以下幾種情況

曲率為正常數黎曼幾何（橢圓幾何）

曲率為負常數羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）

曲率為0 歐氏幾何

只有在歐式幾何中三角形內角和恆等於180度

也就是說，只有在歐式幾何中過直線外一點，只有一條直線與已知直線平行

而在羅巴切夫斯基幾何中，過直線外一點，有兩條直線與已知直線平行

羅巴切夫斯基幾何中的平行線

在羅巴切夫斯基幾何中三角形的內角和 0≤S&<2⊥

下圖為內角和為0的三角形

A.B.C分別為三個無窮遠點

此外值得一提的是數學家Bolyai對非歐幾何的貢獻，即非歐幾何中平行線的作法

0曲率空間下三角形內角和是180度已經有很多答案在講了。

另外，在（常）正曲率空間下三角形內角和大於180度；

在（常）負曲率空間下三角形內角和小於180度。

想深入了解的話考慮球面上的三角形和龐加萊圓盤上的三角形。

以下是個人不負責任的推論，四條直線組合(含)以上的有正方形，長方形，平行四邊形，矩形，，多邊形，以形狀並且突出(邊)的數量，為什麼三條直線組合的不叫三邊形，為什麼要突出(角)稱為三角形，等腰三角形，直角三角形，正三角形，讓我想起了一個古老的進位(六十進位)，如果把正三角形的一個內角定義為一，往下細分是六十度，這樣三角就是180°了，六個正三角形的內角剛好是一個圓(6X 60°=360°)，六十進位還應用在秒，分，小時等度量上。

我來幫你

@三角形

直接問他就行，不用謝，我是峰雷

並不一定。只是在歐式幾何中成立。

換個角度來講，三角形內角和180° 等價於過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行，即第五公設。

在羅氏幾何（如馬鞍形）和黎曼幾何（如球面）中，三角形內角和分別是小於180° 和大於180° 。

那問題又來了，為什麼一個平面一條直線是180°，而不是200°，圓的內角為什麼不是400°？

其實是人為規定的

在歐幾中根據平行公理可以簡單地證明三角形內角和180，而在非歐幾中可以證明三角形內角和一定小於等於180

在平面上三角形內角和為180°。這個是由歐幾里得第五公設推出的結論。在平面上，過異於直線的一點只有唯一一條平行線。

在黎曼幾何中，空間曲率大於0，在曲面上，過異於直線的一點沒有平行線，內角和大於180

在羅式幾何中，空間曲率小於0，在曲面上，過異於直線的一點,最少有兩條平行線，內角和小於180

這只是歐幾里德幾何裡面的結論，非歐幾何裡面的三角形就不成立。

舉個例子：球面上的兩條經線和一條緯線相交構成的三角形就大於180度

還真就……不一定。內角和180度是屬於歐氏幾何的理論，而非歐幾何中不成立。我們學的經典幾何學是從歐幾里得的《幾何原本》為開端。整個幾何學的體系由《原本》中的五個公設導出。而其中一條公設是過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。後來俄羅斯數學家尼古拉洛巴切夫斯基發現改變這條公設為不止一條直線也能使其他結論成立，並由此創建了非歐幾何。當年我大一的時候第一堂數分課，老師講了一點關於數學的邏輯基礎，跟我們強調數學中每一條公設，公理，推論中的每一個字都值得仔細推敲，講的就是這個例子。記憶猶新。

不一定啊，平面上的三角形內角和是180度，凹面上的小於180度，凸面上的大於180度。

先問是不是再問為什麼非歐幾里得空間裡面三角形內角和可以大於也可以小於180°

可以有歐幾里得的公理出發得到 ..這是可以證明的，在中學課本上就有，你找找吧，不難，我就不寫了。。

三角形外角定理：三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和。

所以三角形內角和等於該外角加上與它相鄰的內角。這兩者正好構成一個平角，即180度。