為什麼三角形內角和一定是 180 度？
為什麼三角形內角和是 180 度？這是世界的規律嗎？
路人:很多答主都寫的是證明過程，這個是初中知識，不知道是不是題主的本意
如果能要再談一下為什麼定義為180°就好了，為什麼不定義為100度等整數
嗷，平面的情形是簡單的，別的答案里其實都有很多解釋了來著~如果你滿足於此，這篇回答就可以不用看了~
但是你們要知道，真正深刻的是平面的情況究竟「簡單」在哪裡，這是我的這個回答所介紹的~
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事實上，絕大部分曲面上，三角形內角和都不是180度~
這個問題其實問得十分好，它的背後是十分深刻的Gauss-Bonnet定理。【三角形內角和是180度】這件事情，其實是平面這樣平直的曲面所獨有的，「上天賜給平面的禮物」。
我們來看一個例子，在球上的三角形，它的內角和永遠是大於180度的。我們很容易構造出來三個角都是直角的三角形，譬如說三個頂點，一個在北極點，另外兩個在赤道，那麼赤道上的兩個角自然就是90度了呢~
我們在地球上舉個栗子，可能會發現更多。
厄瓜多是南美洲的一個小國，它的首都叫基多，經度是西經 度，緯度
度。
它向東 度之後，是我們的老朋友——甘比亞！（為什麼是老朋友，參見如何嫁給梅軒宇-陳澤坤的回答）首都班珠爾坐標是西經
度，南緯
度。
這兩個城市和北極點，共同圍出來一個三角形。基多和班珠爾兩處的角都是 度，北極點的夾角是
度。所以這個三角形的內角和是
度，它超出了
度有
度這麼多，寫成弧度制就是
我們來算一算它的面積吧~為了方便起見，我們就不妨設地球的半徑是 ,那麼小學or中學一定學過，整個球面的面積就是
.這個三角形的面積是多少呢~就是
個北半球，那也就是…… 也是
！
多麼神奇的一件事兒啊！它的內角和比 度多了多少，它的面積居然就是多少！看似毫無關係的兩件東西卻在這兒發生了奇妙的聯繫。我們把它寫下來
面積 = 內角和 - 180°
解釋這件事情的一個公式叫作Gauss-Bonnnet定理，這個事情是我們在這裡只敘述它的一個特殊情況~
考慮曲面上的一個多邊形，它的內部框住的區域叫作 那麼我們有
外角和
其中 指的是這個曲面的高斯曲率，也就是彎曲程度。對於球面來說，如果它的半徑是
，那麼就有
.那麼
的時候，就得到了我們剛才的結論——內角和比
度多了多少，它的面積就是多少。
現在我們就回到一開始的問題啦，什麼時候一個三角形內角和是 度呢？
當然就是 永遠是
的那些曲面啦~
這種曲面有一個名字，叫作可展曲面。顧名思義，我們總可以在局部上把它攤平，成為一個平面。比如說圓柱面，比如說圓錐面，都是大家熟知的可展曲面~
跟平面上的平移對稱性有關，在歐式幾何中，任意一個角連同它兩邊的直線一起平移，直線平行的情況下角就是相等的。等價於兩直線平行同位角相等，等價於歐氏幾何第五公設（一個更常見的版本是：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行）
因為平移不改變角的大小，那麼可以把三個內角都移到一起，一個是原始角，一個是同位角，一個是內錯角，剛好就是180°了。考慮外角的方法也很不錯，外角加在一起剛好旋轉了一周，是360°，內外角和是180°，三個平角減去一個周角，還剩一個平角。
這個結論完全依賴於角可以平移而且大小不變這件事。在其他幾何當中，許多連直線平行這一點都做不到，也沒法平移一個角，自然沒有什麼三角形內角和是180°了……可以平移這件事體現了歐式幾何線性平直的特點。
這背後的規律在於，對於二維平面上封閉曲線形成的圖形，曲線一定是繞了360度回到起點。
因此，二維平面上凸多邊形的外角和永遠是360度。
因為顯然內角和+外角和=角數*180度，
所以多邊形內角和=角數*180度-360度。對於三角形來說，內角和=3*180度-360度=180度。就事論事。
正因為我是因為初中學三角形內角和的時候，老師特意提醒過「不可以用圓周角定理，也不可以用三角形外角等於兩內角和來證明三角形內角和」，所以多年後我真正開始學數學的時候，才突然明白這麼簡單的一個東西，原來背後是G-B定理，「定理的先後順序」是一整個分析學的地基。
這個世界上本來就有太多學生不能和我一樣，遇到一個會告訴你「循環論證不可以」的老師，老師也很少有機會去給學生講更加深刻的東西。
我想做的從來不是一個「高高在上的數學工作者」，除了自己的研究什麼都不管不顧。我想做的就是把高觀點的東西初等化，告訴那些沒有條件的學生，「你看，那些看起來簡簡單單的東西，其實深入探究就會發現都很了不起。」
如果沒有辦法幫到每一個人，那就告訴經過眼前的每一個人就好。
這就是這個回答的全部意義。
道歉我接受了。
希望如你所言。
——茅屋為秋風所破，割~——
補個圖，三角形內角和等於圓周的一半。
——掛人分割線——
掛個人。
真不好意思，我循環論證就是初二的時候通過「圓周角定理」、「三角形外角等於不相鄰兩個內角和」都不能用於證明「三角形內角和等於180°」認識的。
你不知道就算了，還在這裡大言不慚？嘲諷別人發不了論文之前，你捫心自問你基礎知識紮實么？擔得起「老師」 二字么？@數學老師 。
別說非歐，我歐氏幾何都比你熟多了???(●˙?˙●)???
不服來戰幾何原本嘛！
一個循環論證都搞不清楚的，有什麼資格說自詡「老師」？還嘲諷用高觀點看問題的人？
鑒於炸出了循環論證，我認為，題主的這個問題變得更加深刻了！
我十分認可(。』▽』。)?
這個題絕不是「初中課本平面幾何」這麼簡單！
這人真是有趣。
——原答案——
這個問題真是太深刻了！
現在在 @陳澤坤 的基礎上，我要來講為什麼是180°而不是100°這麼整的數字！為什麼不用10進位！
但我現在餓了，吃飽了再回來~
在我回來之前，大家先看看北京時間21:08的月亮！
——一本正經開始胡說八道的分割線——
現在我假定你們已經看過了美食博主皮卡坤的答案
為什麼三角形內角和一定是180度？ - 陳澤坤的回答 - https://www.zhihu.com/question/265819060/answer/302167869
以下討論均在歐氏幾何體系下。
基於他這個答案，我們合理猜測，這個180°的出現，和圓周被定義為360°密切相關。
事實上，也的確是有關的。
我們知道，平面上的三點確定一個三角形和它的外接圓。
有了圓，就有了一條直徑，恰為圓周的一半，所以是180°。
我們通過平行線的性質，就可以把三角形的三個內角等價到這條直徑上，由此，我們有了三角形內角和是圓周的一半的事實。
現在我們的問題就轉化成了：為什麼圓周是360°？
這個問題是個數學史遺留問題。
圓周是360°的問題和時間的劃分密切相關，本質上是6進位和60進位。
在古代，數學是用來夜觀星象的。別笑，真的是夜觀星象！所以，我們聲稱「數學是用來描述宇宙的語言」，拿數學比擬星空，都並非是空穴來風。
在那時候，別說民智了，人智都尚未開化。所以，時間的基礎單位是根據人類「晨興理荒穢，帶月荷鋤歸」的一個活動周期設定的，也就是「天」。
通過觀測，地球人發現，一個從朔月到新一輪的朔月的朔望期約莫有30天，稱為「月」；一個春夏秋冬更迭的回歸年有12個朔望周期，稱為「年」，一年360天。然後我們有了天文常數360
後來，人類為了讓自己能夠更好地在地球上活下去，對「天」進行了更加詳細的劃分，並造出了「一塊圓盤插根棍子」的玩意兒，中國人稱為「日晷」。而圓又恰在各個文明中，被視為一個周期輪迴的象徵。
好了嘛，為了分割方便，那就啪嘰啪嘰找一個好等分圓周的方案咯！
有史可靠，最早開始蘇美爾文明：一天是24小時，白天2個6小時，晚上2個6小時；360是6個60。而同期，他們正在研究正三角形和正六邊形，又是跟圓密切相關的——將圓用正三角形做六等分的全等劃分是容易的。而60在100以內的公約數個數僅次於96，360可以被10以內的除7以外的所有數整除。
所以，6進位和60進位對古代地球人而言，可以說是非常巧合和完美了！
然後什麼甲子六十年一輪迴啦，十二地支/生肖啦，本質上都是6進位和60進位啦~~~
綜上，我們認為歐氏幾何下，三角形內角和一定是180°的啦！
三角形內角和180度等價於歐氏平行公理.
準確大多數三角形都不是180°球面上的測地三角形內角和為π+σ/R2（σ為測地三角形面積，R是球的半徑）（可有Guass-Bonnet定理證出）平面可認為R→∞，直線又恰好為測地線，故平面上三角形內角和為180°
兩個全等的三角形組成一個平行四邊形，平行四邊形四個內角和為360度，這是因為平行線的同旁內角和為180度，所以其中一個三角形的內角和就是360度的一半，180度。萬事萬物都有理。
平面上Gauss曲率為零，而且測地線是直線啊。。。Gauss-Bonnet 公式 是這個樣子的：
是指曲面的高斯曲率，
是曲面上曲線的測地曲率，求和表示的是外角和（即曲線不光滑的地方外角發生的突變之和）。
在平面上， ,測地線是直線的話
,從而在三角形三個頂點處的外角和就是
,那內角和肯定也是
了。
容易看出，對於曲面的情形，對於測地線不是直線的情形，顯然內角和不一定是
看了幾個答案，都沒有答到點子上面，所以就自己來回答了。
先回答為什麼三角形內角相加180度，這個很簡單，歐氏定理就可以解決了，做輔助平行線就可以很容易得到答案。
但是我想題主最大的疑惑應該是為什麼是180度，不是179度，不是100度或者200度這個問題。
這個問題和定義有關係。
比如說大家都知道的電腦上用的單位Byte，KB，MB，GB等等的定義是B=8bit，KB=1024B而不是1000B，MB=1024KB，GB=1024MB等等，為什麼呢。因為電腦使用的是二進位，2的十次方等於1024，所以有了這個定義法。所以為什麼三角內角和是180度？因為直線是180度。為什麼直線是180度？因為直線是圓周度數的一半。為什麼圓周是360度，而不是300度或者400度？因為最開始定義圓周的時候使用的是60進位。
所以說道這裡題主就應該理解了，300也好，400也罷都是在十進位的基礎上計算的。但是角度的計算是在60進位的基礎上計算的，所以會有360度而不是400度。
所以這個問題就可以解惑了，因為任何角度的問題都是基於圓周的基礎上的，而圓周使用的是360度，所以三角形度數是圓周的一半也就是180度。
至於為什麼圓周採用60進位不是60度而是360度，目前來說沒有定論，只有各種猜測。感興趣題主可以自己查一下。也許下一個數學天才就是題主了。不不不，再胸上畫一個沒準是多少度呢
先問是不是在問為什麼三角形內角和不一定是180°好了不用討論了。
誰說的。
這要看在哪個體系內。如果是歐式幾何，那就是平面，三角形內角和是180度。
如果是非歐幾何，曲面，三角形內角和可以大於180度，也可以小於180度。
舉個例子，題主有沒有地球儀？有的話可以看看地球儀上的經緯線。比如說赤道，然後再另取兩條經線，從北極極點或南極極點引出來兩條經線，與赤道圍成一個三角形，一個在球面上的三角形。
然後你就會發現，這個等腰三角形的頂角的頂點就是北極極點或南極極點，兩個底角都是直角。所以這個三角形的內角和就是大於180度的。你把三角形A的那幾個尖銳的角a1, a2, a3截下來，對每個角的缺口，分別用平滑的曲線c1, c2, c3接上去得到曲線B。
對三個接上去的曲線你不妨設成三個對應圓的部分邊界，這樣的話，原先的三角形變成了簡單的閉曲線，繞它一圈的角度變化量是360度。這個才是世界的規律。另：補上角缺口的光滑曲線c1, c2, c3都是圓周一部分，利用幾何關係可以得出在光滑曲線B的角度變化與圓心角的關係，圓心角和對應的三角形截角ai相加等於180度。因此可以得到三角形的內角和，顯然不一定是180度，曲線B去掉c1, c2, c3以外部分的角度變化為0時恰好是180度而已。哦，每個截角的兩邊長度得取個極限才行。
有一個詳細的證明 within euclidean geometry
至於你不考慮證明 而考慮definition。。。。
你這就是a priori和empiricist之爭了吧這就是一個很大的問題了
康德以為 數學知識是先驗的 if im not mistaken 我們從先驗中獲得空間和時間的概念從而得出的數學number system 和幾何的基本概念至於如何定義都是人類自己創造出來的系統 你何不追問為什麼數字系統是這樣的呢？你大可以顛覆學界啊 自己創造出來一個系統無不可啊世界的規律。。那就是empiricist？你認為從生活中得到的180？ 那麼180這個概念又是從哪裡來？是先驗 還是 empirical？這些定義之爭。。我認為意義不大 恕我淺薄 只能分析到這了題主問的是歐氏幾何里的三角形吧其實換一個角度就很好理解了，π這個數是不是很自然三角形內角和是π是不是很和諧現在規定把2π的角分成360份，每份稱為一度那麼π就是180度啊所以180這個數沒有什麼特殊性，都是規定啊（：3）