狹義相對論的同時相對性

02-25

如圖，設地面參考系（記為 $K$ 系）上有一點，相對於地面有一列車以速率 $v$ 向某一方向運動，則在列車靜止參考系（記為 $K$ 系）中觀察，地面上該參考點應以相同速率沿相反方向運動，已知該兩個參考系之間的事件滿足Lorenz變換：

$K$ 系中事件坐標： $x^a=egin{bmatrix} ict&x&y&z end{bmatrix}$

$K$ 系中事件坐標： $overline{x_b}=Lambda^a_{b}x_a=egin{bmatrix} gamma & -ietagamma &0&0 \ ietagamma & gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1 end{bmatrix} egin{bmatrix} ict\x\y\z end{bmatrix}=egin{bmatrix} igamma(ct-eta x)\gamma(x-cteta)\y\z end{bmatrix}$

其中 $eta=frac{v}{c}$ ， $gamma=frac{1}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$ ，這裡只考慮時間變換： $t=frac{t-frac{v}{c^2}x}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$

設列車上沿運動方向置有一排時鐘，而地面參考點也置有一個時鐘，記地面上（即 $K$ 系中）該時鐘走至某一時刻 $T$ 為事件 $(x_0,t_0)$ （不失一般性，令 $T=0$ ），且在該事件發生的同時，在列車參考系（即 $K$ 系中）將車上所有時鐘校準至 $T=0$ ，如圖所示，建立坐標系：

列車靜止參考系（K系）中視角

上圖中坐標軸上的標度僅作定性分析，不作定量描述，由於 $K$ 系中的時鐘都被校準了，從而各坐標一定滿足： $t=frac{t-frac{v}{c^2}x}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}=0$ ，即在 $K$ 系中觀察，列車上各處原本被校準過的時鐘滿足 $t=frac{v}{c^2}x$ ，即還需要 $t=frac{v}{c^2}x$ 時間才能走到 $T=0$ ，對應於上圖所建坐標系，令 $t>0$ 為過去， $t<0$ 為未來，則地面參考系的視角如圖所示（圖中時鐘偏差被誇大）：

地面靜止參考系（K系）中視角

由表達式 $t=frac{t-frac{v}{c^2}x}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$ 可以看出，這種同時相對性中，未來與過去的方向與建系的方向無關，僅與物體相對運動方向有關，見下圖，兩輛列車相向而行，即使在各自的靜止參考系中所有的鐘都已校準（指向同一時刻），但從各自的參考系中觀察對方列車的鐘仍然會出現同樣的現象：在對方列車的速度方向上，除了和自己在同一位置的時鐘保持校準外，對方車上經過當前位置的時鐘處在相對過去，未經過當前位置的時鐘處在相對未來。

原來，在旁人眼裡， 我們始終面朝過去， 背對未來。