III（重置）註記與提示

非常頹廢（趴

新劇看完了就跑回去看舊劇，舊劇看完了就跑去動畫區看MMD，順帶還刷V區的舊曲，用在刷書上面的時間少之又少

咳咳，回到正題，今天的內容是將之前的內容重（fu）寫（ke），畢竟只丟個圖什麼的還是太不shehui主義了，主要內容是周書第三章的註記部分，大部分人大概不感興趣，可以直接跳過

• 葉戈羅夫定理的一個推廣 如果 是定義在可測集 上面的可測實函數，並且 ，若：

1. 
2. 對每個 都可測

那麼對每個 ，存在一個可測集 使得 並且 在可測集 上面一致收斂於

提示：可以通過性質 來把連續指標族轉化為可數的指標族。

接下來的是一個反例，說明盧津定理的任意小上界不能減小到 ，即是說對於給定的可測集 和 上面的一個可測函數 ，可能沒有閉集 使得 在 上面連續，並且

• 設 是一個 上有測度 的類康托爾集，定義可測函數

顯然去掉任意零測閉集之後 都是不連續的，在這裡要提出的問題是盧津定理所指出的閉集長成什麼樣子呢？

提示：對於大的開區間可以考慮去掉端點的鄰域（即離散的類康托爾集上面的一些點），而對於很小的開區間，考慮把開區間整個去掉。

• 接下來要介紹的是一個有特殊性質的函數：

定義 一個定義在底域為 的線性空間 上的複函數 ，若對於任意的 都有 則稱 是半線性的。

周書上面僅僅考慮了實數集上面的實函數的情況，即下面的兩個命題我們都默認 是實函數。

命題1 若 是可測的，那麼 必然是連續的。

命題2 若 在 上至少有一個不連續點，那麼 在 中稠密

命題 是很有趣的，它說明了一個半線性的函數 有相當好的連續性，以至於任何不連續的半線性實函數都是極度混亂的。

提示：考慮 的一個鄰域， 在 的一個鄰域內稠密是半線性和不連續性的直接結果。

• 命題 若 那麼存在一個點 使得

提示：在Rudin的《數學分析原理》中有這麼一個結論：如果一族可列緊集中任意有限多元素的交非空，那麼這一族緊集的所有交非空。

• 定理(Dini）若 是漸升函數列，並且 ，那麼以下兩個命題是等價的：

1. 
2. 在 上一致收斂於

提示：利用書上在這個定理之前提到的那個結論，並且注意到裡面定義的集合 在Dini定理的條件下是漸升的。

• 命題 實數集上所有可測實函數的集合的基數是

這個命題是那些喜歡集合論的人（比如說：取老師）所感興趣的，而證明不太複雜 ，利用基數計算並且考慮實數集上所有博雷爾集的基數即可。