將線性代數形象化 總結篇

這個系列到這裡結束啦。雖然說還有很多沒有介紹到，比如奇異值分解、伴隨矩陣、合同矩陣、正定矩陣、施密特正交化、範數什麼的，這些在線代里同樣有著重要的作用。之前看NLP的論文有人就用了半正定矩陣，第一反應是「搞數學的人真會玩」，第二反應是「我玩不過這些搞數學的人」233333。也就是說，這個系列只是提供了另外一個視角來理解線性代數，留下一個深刻的印象，接下來再學習時有這麼一個形象化的印象會好學很多。要想真正學懂線性代數，還是得找個正經教學的視頻，或者是教科書來跟著學。已經打算今年要將MIT的線代公開課上一遍了，到時候可能會開一個新坑來介紹線代，或者就在本系列的基礎上進行增改。那麼，就讓我們愉快地對本系列目前為止做一個總結吧！

本系列名為《將線性代數形象化》，旨在以形象化的方法而非數值的方式理解線代。一共八篇，外加一個番外篇以及總結篇，共十篇。本篇只選取每篇最後的小結放在這裡，當作一個索引，方便查看，也強行讓自己不偷懶，在看到概念時先自己腦里形象化一遍加深印象。

將線性代數形象化（一）· 向量

1. 向量是定義在一組基坐標系中，滿足可加性和縮放性的一類東西的集合。帶長度的箭頭，或是一個有序的數組是向量的一種形象化表示。
2. 向量的加法和數乘，可類比實數的加減乘除。
3. 所有向量都可以看做是對基向量的縮放和相加操作。
4. 向量空間的一組基是張成該空間的一個線性無關向量集。

將線性代數形象化（二）· 矩陣與線性變換

1. 矩陣既是靜態的又是動態的。它既描述了線性變換的過程，也描述了線性變換的結果。
2. 變換，暗示了可以用運動的角度來理解輸入和輸出。矩陣的實質就是空間的變換。
3. 基向量很有用。向量看作是基向量的係數。
4. 矩陣乘法，描述的就是多個空間變換過程的結合。

將線性代數形象化（三） · 行列式

1. 行列式就是衡量變換後的空間相對於原空間的縮放比例。
2. 行列式的正負表示變換前後空間是否翻轉，可用右手法則判斷。
3. 行列式為0，表示空間被壓縮。

將線性代數形象化（四） · 逆矩陣、列空間與秩

1. 矩陣的逆，相當於求一個線性變換的逆變換。 稱恆等變換。
2. ；
3. 矩陣的秩，即矩陣列空間的維度。更形象一點的表述為變換後空間的維度。
4. 變換後落在原點的向量的集合，稱為矩陣的「零空間」，「核」。

將線性代數形象化（五） · 點積、叉乘與對偶性

1. 高維空間到一維空間的投影矩陣，可看成一個向量（對偶性）
2. 點積，實質上就是高維空間到一維空間的投影
3. 叉乘，實質上就是求滿足給定體積和底面積的平行六面體的高
4. 叉乘方向用右手定則判定
5. 點積與叉乘背後有著聯繫

將線性代數形象化（六） · 基變換與相似矩陣

1. 基變換將不同坐標系視角下的向量聯繫了起來
2. 過渡矩陣描述的就是基變換的過程與結果
3. 善於利用基變換可將問題化繁為簡，類比於函數的換元法
4. 相似矩陣中相似的兩個矩陣實質就是不同坐標系視角描述的同一個線性變換

將線性代數形象化（七） · 矩陣的特徵

1. 特徵向量就是線性變換後還留在原來直線上的向量
2. 特徵值就是特徵向量的縮放係數
3. 屬於單個特徵值的可能不只一個特徵向量
4. 特徵值的乘積等於行列式的值，特徵值的和等於方陣主對角線元素之和。（可由韋達定理擴展）
5. 一組基向量都是特徵向量，稱為特徵基。應用於相似對角化

將線性代數形象化（八） · 抽象向量空間&向量概念的擴展

1. 多項式函數可以看作是特殊的向量
2. 多項式函數求導是線性運算
3. 向量具有八條公理。滿足該八條公理的概念都可廣義地稱為「向量」。所有這些概念的集合稱向量空間。

將線性代數形象化 番外篇 高維空間形象化

萬物皆向量。好好學線代。

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