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將線性代數形象化（七） · 矩陣的特徵

02-25

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前言：最近因為思考一些問題需要用到線代，然後在B站上找到了一個不錯的線代講解系列視頻，特點在於將線性代數中常見的行列式、向量、矩陣、點積、叉乘、特徵向量等等形象直觀地表現出來，作者也是花了很大的心思，通俗易懂（雖然有些視頻我看了兩遍才懂。。。）在以前的學習中，線代一上來就是各種計算，得到一個結果就完事了。具體為什麼要這麼算，這麼算的意義在哪，一無所知。因此在看的過程中懂了以前很多沒懂的點，也從另一個角度更好地理解了線代。為了在自己腦里形成一個更清晰的脈絡，所以也嘗試整理一下，包括自己以前踩過的坑以及自己的思考領悟，主要參考該系列視頻。如果我不偷懶並且順利的話，預計一個月填完吧~~

視頻鏈接：【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集

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終於寫到這部分了，其實還挺激動的。因為看完之後真的有豁然開朗的感覺~

激動到我直接先放自己所理解的概念了，誰都不要攔我：

  • 特徵向量就是線性變換後還留在原來直線上的向量；
  • 特徵值就是特徵向量的縮放係數。

由上面兩個結論，也就理解了為什麼物理上又稱本徵向量、本徵值。

也許有人覺得這定義書上有寫，沒什麼好激動的。但我真不記得我的線代課本上有寫啊！一直以來遇到特徵的題我都是照著例題來寫的，線代高數都不例外，知道這兩個很有用，但就是不知道為什麼有用啊！

好了，言歸正傳，進入正題。另註：以下所說矩陣，一律為方陣。

【特徵向量、特徵值】

正如前面所說的，在經過方陣所描述的線性變換後，大多數向量都偏離了它們原本所在的直線。而留在原本所在直線上的向量，就稱作特徵向量。特徵值就是特徵向量的縮放係數。特徵值為正時，特徵向量在原方向上縮放；特徵值為負時，特徵向量反向縮放。在三維中，特徵向量有個更直觀的形象——旋轉軸。當特徵向量為旋轉軸時，特徵值必須為1。

【計算】

自然地，我們不會講怎麼計算，但我們會用形象的方式講講為什麼這麼算。

先來看公式：mathbf{A}vec{v}=lambdavec{v} 。 mathbf{A} 表示變換矩陣， vec{v} 表示特徵向量， lambda 表示特徵值。也就是說，矩陣向量乘積，等效於向量的數乘。（再一次，結合矩陣乘法，這條公式的確也說明了特徵向量變換後還留在原來的直線上（對向量的縮放也可以是對向量的變換的一種特殊形式），而不是偏離。）我們的目的是要求出 lambda 與 vec{v} 。

為了方便計算，我們要把等式右邊變成矩陣向量相乘的形式，很簡單，左乘一個單位矩陣 mathbf{I} 就可以了（恆等變換）。於是整理一下，我們得到： (mathbf{A}-lambdamathbf{I})vec{v}=vec{0}

自然地，零解總是存在的。但我們更關心的是非零解的情況。這時候，就要令矩陣 (mathbf{A}-lambdamathbf{I}) 的行列式為0了。意思是，存在一個非零向量 vec{v} ，使得變換矩陣 mathbf{A} 減去 lambda 乘以單位陣的結果，乘上 vec{v} 等於零向量。這也就意味著，

  1. vec{v} 是 mathbf{A} 的特徵向量；
  2. (mathbf{A}-lambdamathbf{I}) 將空間降維了。

求出特徵值後，回代，即可求出特徵向量。

注意，在實數域，二維空間不一定有特徵向量，比如旋轉。（忽然發現前面的篇章都忘了講一個事。。。由方陣引起的線性變換，實質效果只有兩種，一名旋轉，一名剪切）。作者在視頻里有說（那麼一大段話出現不超過一秒。。。）：

不過有意思的是，與 i 相乘載複平面中表現為90°旋轉和 i 是這個二維實向量旋轉變換的特徵值有所關聯。這部分的具體細節略微超出我今天想討論的內容，但是注意一點，特徵值出現複數的情況一般對應於變換中的某種旋轉。

重根：屬於單個特徵值的特徵向量可以是一條直線上的相反方向（剪切變換），也可以不止在一條直線上（將所有向量同時縮放）。

【與行列式的關係】

這一段是我在查找資料時發現的一個有趣的關係【1】，視頻裡面沒有的。讓我們稍微往回看一下。要求非零解，即要求 det(mathbf{A}-lambdamathbf{I})=0 。設 mathbf{A}=left[egin{matrix}a&b\c&dend{matrix} ight] ，則

det(mathbf{A}-lambdamathbf{I})=(a-lambda)(d-lambda)-bc=0 ag{1}

又，該方程是一元二次方程，可假設特徵方程的解為 lambda_1、lambda_2 ，則特徵方程可改寫為：

(lambda-lambda_1)(lambda-lambda_2)=0 ag{2}

（1）（2）兩式為同一個式子的不同寫法，故（1）=（2）。觀察它們的常數項發現， lambda_1lambda_2=ad-bc=|mathbf{A}|

看到這裡，你肯定發現了什麼對吧？事實上，對任意維度，都可以證明 |mathbf{A}|=prod_ilambda_i 。

即，行列式的值等於特徵值的乘積。

從幾何角度來理解，是比較直觀的。行列式表示了變換後面積變化的大小，而特徵值表示的是變換後仍留在原直線的向量的縮放的比例。藉助微積分，我們只要沿這些特殊直線將區域切割成一個個很小的正方形即可，變換後就成為了菱形。將這些菱形的面積求和就得到了上面的結論。

【矩陣的跡（trace）】

這裡同樣部分參考了【1】。trace的公式為 trace(mathbf{A})=sum_{i}A_{ii} ，即為矩陣主對角線元素之和。然後，神奇的事再一次發生。如果沒有忘記前面的（1）（2）式子的話，我們這次只觀察一次項，就會驚喜地發現， lambda_1+lambda_2=a+d=sum_iA_{ii}=trace(mathbf{A}) 。（emmm說實話其實沒什麼好驚喜的，其實就是我們都學過的韋達定理。。。現在用矩陣表示罷了）

同樣的，對於任意維度，都可證明 trace(mathbf{A})=sum_ilambda_i 。

即，矩陣的跡等於特徵值的和。

從幾何角度來說，跡大概類似於周長吧。需要用到相似對角化的知識。

行列式與跡，都是相似不變數，在方陣里有著重要的地位。

【特徵基】

基向量都是特徵向量，稱為特徵基

對角矩陣

  • 每一列都是特徵向量，非零值表示特徵值
  • 單位矩陣 mathbf{I} 是特徵值全為1的對角矩陣

上一篇基向量末尾提到的相似矩陣中，有一個很重要的應用就是相似對角化求矩陣的n次冪。因為對角陣的特殊緣故，矩陣的n次冪簡化成相當於求特徵值的n次冪。 mathbf{Lambda}=mathbf{P^{-1}}mathbf{A}mathbf{P}

註：不是所有的方陣都能找到對角矩陣，如剪切變換就不能，因為剪切變換的特徵向量不足以張成全空間（只能張成一維空間）。只有特徵向量能張成全空間的矩陣才能對角化。

視頻末尾的題目

實質上就是斐波那契數列，只是用矩陣表達了而已。

一定一定要去看原視頻！！

【小結】

  1. 特徵向量就是線性變換後還留在原來直線上的向量
  2. 特徵值就是特徵向量的縮放係數
  3. 屬於單個特徵值的可能不只一個特徵向量
  4. 特徵值的乘積等於行列式的值，特徵值的和等於方陣主對角線元素之和。（可由韋達定理擴展）
  5. 一組基向量都是特徵向量，稱為特徵基。應用於相似對角化

參考：

【1】矩陣的特徵：特徵值，特徵向量，行列式，trace

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本系列其他文章：

將線性代數形象化（一）· 向量

將線性代數形象化（二）· 矩陣與線性變換

將線性代數形象化（三） · 行列式

將線性代數形象化（四） · 逆矩陣、列空間與秩

將線性代數形象化（五） · 點積、叉乘與對偶性

將線性代數形象化（六） · 基變換與相似矩陣

將線性代數形象化（八） · 抽象向量空間&向量概念的擴展

將線性代數形象化 番外篇 高維空間形象化


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