實數相乘的定義是什麼？

自然數的乘法可以看作重複進行的加法，有理數的乘法可以看作整數乘除法的推廣，那實數乘法的定義是什麼呢？主要是想不明白無理數乘以無理數究竟是如何進行的。。。

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要搞清楚這個問題，關鍵是你要知道實數是什麼？也就是實數理論_百度百科，所謂實數就是滿足實數公理_百度百科的一個集合。有很多種方法可以構造實數，我覺得最容易理解的是使用柯西序列_百度百科來構造實數。

簡單的說，每個實數實際上就是一系列等價的有理數柯西列。比如π這個無理數，可以理解為有理數上的一個柯西列

當然你還可以寫成其它有理數柯西列的形式，但它們都是等價的，並且它們都對應π這個無理數。

那麼，現在對於任意兩個實數x, y，實際上我們是兩個有理數上的柯西列

可以證明數列也是有理數上的柯西列（注意：這裡使用的是有理數上定義的乘法），自然我們就把這個新的柯西列記作，定義為實數x與y的乘積。

更多的信息可以參考：Construction of the real numbers 中的Construction from Cauchy sequences.

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不是學習數學的，作為門外漢我說一點自己的理解，不知道從這個角度可不可以理解這個問題啦。

當一個集合對於兩種運算操作加法和乘法封閉，其中加法滿足交換律和結合律。乘法滿足交換律和結合律，然後再滿足一條將這兩種運算結合起來的法則。

(1)

(2)

然後可以定義這個集合為一個域，這裡面的加法和乘法應該只是某種操作，是只要滿足上述幾條是相當任意的。就像群乘法一樣。

全體實數組成了一個域，所以實數上面的乘法不妨就理解成滿足以上幾條的一種操作。整數，有理數也構成一個域，所以其也具有乘法。域是可以給它添加元素進行擴充的。比如有理數到實數，從實數到複數的擴充。

至於實數的定義，記得也可以通過集合論來下。

太深的我就不了解了，以上有不準確的地方歡迎糾正。

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正實數的乘法可以定義為

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