實變函數=失禁函數？（1）

在今年初春的這個詭異的天氣下，我開始了我的第一次本科高年級的數學教學生涯，實變函數成為新老師面臨的最大挑戰。這基本上是理科學生在本科階段面臨的最大挑戰，困難的挑戰在於嚴密抽象的邏輯 與實際現實、直覺的脫節造成的理解困難。課上如果直接嚴格證明開始講課，課程之中學生的小便率基本上所有課程中最多的，為了解決「失禁函數」帶來的困難，在教學中我引入了一些幫助理解的實例，取得了一定的效果。在此開設一個小專欄，陸續把按教學進度採用的實例進行采編，希望對需要的學生有一定的幫助。

（注意：實際教學中，學校安排的教材為：實變函數與泛函分析，郭懋正，北京大學出版社2005版，非理論數學專業用）

開學快一個月，今天正好結束全書第二章Lebesgue測度的教學內容。所以下文我打算對這兩張的內容難點進行一個小結。

一、什麼是代數（Algebras,-Algebras）？

這個概念在數學分析的課程中開頭實數的定義部分其實已經有很好的說明。從我們幼兒園開始的加減乘除就已經涉及到了代數這個數學上的宏觀概念，在我們的四則運算之中，歸根結底所用到的運算就只有加法和乘法運算（減法和除法可由之前運算替代），所有的運算必然會落在R中。以此類推，如果我要定義一個「代數」。首先，必須要有運演算法則，其次，這些所有運算落在什麼空間中，如果能抽象這個空間，好了我們就可以定義一個Algebra。

那麼在集合之中，之前的課程已經告送我們常用的集合運算為U（並），（交）、C（補）。

同理，一個非空集族包含在之中，滿足這三個運算就可以構成「集合代數」。

根據上面的猜想，我們把文字語言具體化，成為教科書的定義：

令是一個集合，存在一個非空子集族A。（A為花體）滿足一下條件：

（1）A A。， 則：A。；

（2）A, B A。， 則：ABA。；

則稱這是一個」集合代數「。

那麼在進入到-Algebras時，首先插入的判定一個集合是否為可測集的條件： Caratheodory條件。這基本也是很多人感覺到反直覺的一個條件。在Caratheodory條件是之前的外側度的可數可加性等號成立的條件。

怎麼理解呢，同時直觀理解這個條件之後，怎麼順理成章的推出-Algebras的定義都是很有意思的事情。

下節我會一一分解，同時把實變的證明方法進行一個補充，例如多人頭大的： 。。。。掌握技巧之後，大部分的證明就可以輕鬆越過。

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