「數學之美」有什麼例子？
最好能夠舉出例子。尤其是那些高深一點的數學。
學statistical inference的時候吧，遇上了個好老師，然後發現原來一切問題歸根到底都是概率問題。
還有學advanced probability也就是measure theory的時候，發現原來代數跟拓撲跟概率論跟統計是可以連起來的，然後學了stochastic calculus發現分析跟隨機過程跟統計跟金融數學也是可以連起來的，瞬間就覺得大腦裡面有個燈泡亮了起來，原來虐了我這麼多年的是同一個多頭怪獸的不同腦袋！
謝邀說到數學之美的話，我個人的感受覺得應該需要滿足兩個方面：
1.形式之簡單；
2.結論之深刻；形式簡單讓人易於理解，結論深刻引人深思，好像最廣為人知的應該就屬費馬大定理了吧，要說它，可以說上一整本書，所以我還是說點別的吧。那麼由這兩點出發給例子的話，我馬上能想到的有這些：1.分形中的Mandelbrot set和Julia set
此為C =（0.285, 0.01）時的Julia set。
如此絢麗的Mandelbrot set和Julia set其實僅僅是由如下一個非常簡單的迭代生成的：假設 f 是一個從實數到實數的連續映射，如果 f 有周期為3（即複合 f 三次回到自身，滿足f(f(f(x)))=x的x）的點，則 f 有任意的周期點（即對於所有的正整數n， f 複合n次都有不動點）。
從敘述上我們簡單的說這個定理說的就是「三生萬物」，因此該定理的中文名就叫「三生混沌」（Period Three Implies Chaos）。從這個角度看數學定理中所蘊含的哲理也是實在太豐富了。
2.機械求積公式和共鳴定理
我們知道對於計算而言，到今天為止，我們所能夠掌握的不過也還就是加減乘除而已，計算機雖然強大，其實說到底也就不過如此。但是工具雖簡單，我們能做到的事卻不簡單，這就是數學許諾給我們的天堂。
所謂機械求積公式，是指如下的一種對積分的逼近：
其中x_k為區間[a,b]中的一些分點，而A_k為對應分點的權重係數，常用的梯形公式，simpson公式，gauss求積公式，都是它的特殊形式。可以看到右邊的逼近僅僅就是加減乘除的近似，這也就是它的重要之處。
既然是逼近，那麼最基本的問題就是當我們取的點足夠多時，我們是否能得到那個等號，而這一點就被泛函分析中的共鳴定理所保證了。具體的我不闡述了，大家有興趣可以google一下。
數學是嚴謹的，它用邏輯嚴格限定了我們所能做的，但它同時又是自由的，在規則之下，我們充分施展我們的想像，我們所能得到的即是真理。
3.巴拿赫-塔斯基定理
它的另一個名字可能更廣為人知一些---分球定理，敘述如下：
這一定理指出在選擇公理成立的情況下，可以將一個三維實心球分成有限（不可測的）部分，然後僅僅通過旋轉和平移到其他地方重新組合，就可以組成兩個半徑和原來相同的完整的球。
簡單的說就是可以無中生有。
我選擇這個有點病態的例子的主要原因是我覺得這種邏輯的力量正是數學最強大的內涵，在承認某些基本事實的前提下，演繹推理，即使結論再古怪，我們也勇於承認它的正確性，實事求是不外乎如此。
最後總結一下，其實我覺得數學之美不僅僅是體現在理論方面理想化的用無窮描述這個複雜的世界，實際上我們也是在不斷地在用真實可控的有限來逼近世界，改造世界，比如上面提到的第二個例子就是如此。恩，我想，世界應該就是這樣收斂的。
我就推薦一本書，Edward Frenkel的Love and Math, the Heart of the Hidden Reality，聽Berkeley數學教授給你講授數學之美，並且真的不需要多少數學基礎~
我現在理解的數學中，我覺得美的事物：
1、duality，各種各樣的duality，比如代數拓撲里的Poincare duality，讓你覺得，原來光靠開集和連續映射定義出來的東西還能有這麼強的結構
2、各個數學分支之間的聯繫，最讓我著迷的莫過於黎曼面的理論，從複分析出發，既蘊含了古典的函數論，又可以用代數幾何的工具研究，還從中發展出了拓撲，真不知道黎曼這個變態是怎麼從什麼都沒有的年代搞出這麼多東西的！
3、想到再補充1. 抽象。或者說，不斷用簡潔的語言去描述複雜的概念。
- 比如說，我們曾經在微積分的課程上研究過各種奇形怪狀的函數，而在泛函分析理論中，所有的函數都抽象成了泛函空間中的「點」，於是我們可以輕鬆地定義點與點之間的距離，來描述兩個不同函數之間的差異。
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在這個過程中，我們一下子上升到非常宏觀的視角去看待世界，意識到原先的我們只不過是井底之蛙。這個成長的過程著實讓人激動。（突然想到了「發現更大的世界」...）2. 邏輯嚴密。- 比方說關於「素數的個數無窮多」這個命題有一個經典的證明方法：假定素數只有有限個，令它們為p1, p2, ..., pn. 那麼構造 P = p1 · p2 · ··· · pn + 1，它比所有素數都大，而且不能被任意一個已有素數整除，所以它是一個新的素數，與假設矛盾。
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有很多這樣巧妙的證明都讓我們陶醉在純粹的思維過程帶來的快樂中。3. 形式上的美感。- 第一次在數學教材上看到斯托克斯公式的這個形式時
- 曾經看到過一道號稱名企面試題的題目：
1
11211211111221
312211…… 問序列的下一個數字串是什麼。 看到答案後我幾乎吐血了：第二行描述了第一行的構成：11可以理解為「1個1」，類似地，21表示2個1,1211表示1個2和1個1，以此類推，所以答案是13112221. 後來在一篇博客(http://www.matrix67.com/blog/archives/3870)上看到，這竟然還是一個很著名的序列，而且有些非常有趣的性質，譬如說數列中的數雖然會越來越長，但數字 4 始終不會出現；相鄰兩數的長度之比越來越接近一個常數等等。頓時覺得無比神奇。--------這個常數叫做Conway常數，是為了紀念發現他的數學家John Conway. 至少目前我完全沒覺得發現這樣一個結論有什麼實際意義，不過即便是看到這個結論的我，也還是會像小時候發現了某個玩具時一樣沉浸在非常單純的快樂中。我覺得這就是數學最美好的地方。我的頭像是我自己設計的，
但是這個圖案又與八卦圖不完全相似，其有兩個大的區別：
1. 用正弦波代替傳統的兩個半圓，這樣八卦圖中離散的點被連續函數取代，中國古代的數學用現代數學替換掉了。看到正弦波，就可以想起函數的時-頻分析理論，著名的有傅里葉分析，為分析"波"，提供了重要的工具，是現代工程技術的重要基礎，包括各種波的處理、雷達技術、圖像處理、壓縮、語音識別、氣象預報、地震檢測。。。2. 兩個小圓圈分別用pi和e代替，這是兩個非常有用的無理數，他們經常出現在數學物理經濟等等學科中最意想不到的地方。同時，無理數的發現，填滿了實數軸上的縫隙，從而實數軸成為了一個連續統，從而可以建立集合論、微積分、數學分析、測度論。。。。貌似還有一個重要的元素我沒有涉及到，那就是複數。但實際上已經包含了，因為按照歐拉公式：
當sita = 時就是哪著名的
，前面有人說過了。那麼在這個圖形中，顯然包含了0和1這個兩個數字。換句話說，這個圖形隱藏著歐拉等式。
普通層次能理解的數學美：分形，google分形你就能知道答案http://www.google.com.hk/search?hl=zh-CNnewwindow=1safe=strictq=%E5%88%86%E5%BD%A2gs_sm=egs_upl=4377042l4520438l0l4520693l25l18l0l0l0l0l0l0ll0l0um=1ie=UTF-8tbm=ischsource=ogsa=Ntab=wibiw=1440bih=785sei=%200dizTqV5rI2ZBe2X3fUD
文藝層次能理解的數學美：黃金分割，沒錯，0.618，儘管沒人能解釋究竟為什麼，這是源於自然源於藝術的數學美
2B層次能理解的數學美：這個比較多，舉兩個例子- 數學分析中七大定理互相證明，OK，有興趣的同學可以自行搜索一下這七大定理分別是什麼，至於互證，就留給我們這些數學系的二們吧，大一大二兩年無線糾結反覆琢磨的東西，有時候會靈光一現：它們其實是一個意思，他們就是一個整體，回味的美
- 拓撲，NO，不是你高中學的拉橡皮面，是代數拓撲，我只能說這是一種感覺，顛覆？對，就是這種感覺，從小學一路的自然數，整數，實數，複數，虛數...一路走過來，你會覺得越來越複雜，體系越來越豐滿，而拓撲，會把你搞回去，搞回連自然數都不用理會的境地
這個學期開學,實變函數老師給我們講了一個故事.
有一個小鎮,沒有貨幣流通,那裡的人商品交易都是靠賒賬.所以每個人都欠著別人的錢,大家都很不開心.....一天,鎮上來了一個人.他進了一個旅店想住店,他交了100元的押金給旅店老闆,然後被服務員帶著上去看房間.....迅速地,旅店老闆拿著那100元錢跑去對面餐館還給餐廳老闆, 接著餐廳老闆又迅速把錢還去給屠夫,屠夫拿了錢又迅速找到妓女,把錢給了她,妓女很快拿著錢還給了旅店老闆.....然後那個想住店的人下來了,他對房間不滿意,拿回押金,離開了小鎮......那一天,小鎮里的人都非常開心,因為他們都把債還清了.
我們再來看那100塊錢,它什麼都沒做,卻改變了鎮上的世界.....對我來說,數學的美就是這樣.....
有一天忽然發現，身邊的一切，這個世界，一切的一切，都可以被量化，都可以建立一個數學模型來實現某種模擬，我開始驚嘆了數學的神奇。
我第一次感受到數學的威猛是在高中的遞歸證明。當時簡直驚艷了，我就覺得這是誰他媽的想出來的，太絕了。
還有極限理論，無限與有限的統一。
還有解析幾何，特別是你在matlab上用方程畫出的幾何圖形，那真的是一種美。
還有線性代數，學完之後你會發現，就是通過矩陣這樣一個簡單的形式組合，最後轟轟烈烈的演變出一堆的推理，還形成了一n維的數學空間理論。我反正學了之後感覺太不可思議了。這都是誰想出來的啊。。。。。
後來在物理課與通信課上也感覺到
1、麥克斯韋方程組，我當時的感覺就是所有的無線電題目最後分析都會套用到麥克斯韋方程組上。
2、信號與系統里的貝葉斯原理直接讓我覺得無限與有限居然可以統一起來。
推薦一本很有趣的數學書：具體數學，學計算機的應該都熟悉。裡邊很多我們熟悉的問題都可以分解成遞歸問題。
在所有需要歸類、劃分體系的問題上，我都能看到分形的影子
雖然我是個高數不及格者，但不妨礙我愛上分形學。我希望能正視0.618這個維度，以及能由衷地理解黃金比例與各種學科的交叉。。。沒學過高深的數學，我覺得a^2+b^2=c^2就很美
歐拉公式，它涉及了兩個本身就非常美的，相互之間還存在微妙關係的無理數e，
受邀。那就來個高深但易懂的。 與我目前研究相關的一個小例子：
任何一個平面圖，都能表示為平面上一堆圓的相切關係圖。圓的半徑無窮小時，可用來逼近保形變換。 [1] 參考我的另一回答[2]，此定理涉及組合(圖論)，幾何(圓)，複分析(保形變換)，並有應用(計算機圖形學)。 [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_theorem [2] http://www.zhihu.com/question/19899203/answer/13304922嚴重推薦吳軍老師的《數學之美》一書。並附其後記如下：
《數學之美》 後記 吳軍
很多朋友問我，為什麼我會想起來寫這個系列？雖然谷歌黑板報的本意是希望我從一個Google科學家的角度介紹一下Google的技術，但是我更希望讓做工程的年輕人看到在信息技術行業正確的做事情方法。無論是在美國還是在中國，我經常看到大部分軟體工程師在一個未知領域都是從直觀感覺出發，用「湊」的方法來解決問題，在中國尤其如此。這樣的做法說得不好聽，就是山寨。我剛到Google時，發現Google早期的一些演算法（比如拼寫糾錯）根本沒有系統的模型和理論基礎，就是用的片語或者詞的二元組湊出來的。這些方法比沒有做任何事情是好一些，但是幾乎沒有完善和提高的可能，而且使得程序的邏輯非常混亂。Google成長壯大後，漸漸有實力從世界上最好的大學招理論基礎非常好的工程師，工程的正確性得到了很好保證。2006年後，我指導了三四個美國名校的研究生，把Google的拼寫糾錯模型用隱含馬爾可夫模型的框架統一起來。在那幾年裡，Google對幾乎所有項目的程序進行了重寫，山寨的東西基本上看不到了。但是在其它公司里，包括在美國一些還掛著高科技頭銜的二流IT公司里，這種情況依然很普遍。在國內，創業的小公司做事情重量不重質，倒也無可厚非；但是，上了市、有了錢甚至利潤成為了在世界上也數得上的公司，做事情依然如此，就讓人覺得境界低。另一方面，這些公司在蓋大樓和裝修高管的辦公室上很快超越了世界上的跨國公司。這就像一個人有了錢，穿金戴銀，內在的學問和修養卻沒有提高一樣。因此我寫這些東西也是希望我們這些IT公司的工程主管們能夠帶領自己的部門提高工程的水平。
（無意中）採用錯誤的模型在特定的場合，或許勉強有效，就比如我們介紹的地心說一樣，畢竟也使用了幾千年。但是，錯誤的模型終究是遠離真理的，其負面影響會漸漸表現出來。其結果不僅僅在於遠離了正確的結果，而且常常把原本簡單的事情弄得很複雜，以至於最終要崩潰（地心說對於日心說就是如此）。
正確的理論和方法有一個被認識的過程。任何事物都有它的發展規律，而
這些規律都是可以認識的，在信息科學領域也不例外。當我們認識了規律後，就應該自覺地在工作中遵循規律而不要違背規律。香農博士就是揭示了信息科學發展規律的人，它的資訊理論在很大程度上指出了我們今天信息處理和通信根本的規律性。這裡，通信包括人類的一切交流，包括自然語言處理的所有應用。而當初我寫這個系列博客，就是要介紹這些信息處理的規律性。
當然，將數學的東西講清楚讓外行都能讀懂是一件非常難的事情。我自認為自己是一個能深入淺出的人，但是當我第一次將所寫的幾章送給非工程專業的讀者閱讀時，他們還是表示非常費勁。因此，我後來下了很多功夫將這個系列寫得淺顯易懂，這樣很多細節只能省略，我並不滿意。離開Google後，寫作起來約束相對少了些，因此這次改寫成實體書時，可以多介紹一些細節。同時，由於篇幅不受約束，我也可以多提供一些細節，以照顧一下工程背景較好的、願意了解細節的讀者。當我完成這本實體書時，我發現全書的內容完全重寫了一遍。
對於非IT的從業人員，我也希望這本書能夠成為他們茶餘飯後消遣的科普讀物。透過對IT規律性的認識，讀者可以舉一反三地總結、學習、認識和自覺使用自己工作中的規律性，這樣有助於將自己的境界提升一個層次。
對我這次寫作幫助最大的是兩本書和一個節目。我在初中時讀了《從1到無窮大》（原書名「One,Two,Three,…,Infinity」），介紹宇宙的科普讀物。作者G·伽莫夫（George Gamow）是美籍俄裔著名物理學家，他花了很多時間創作科普讀物，影響了一代人。第二本書是物理學家霍金的《時間簡史》，霍金把深奧的宇宙學原理用最簡單的語言講出來，讓這部科普讀物稱為全球的暢銷書。影響我的一個節目是美國主持人摩根·弗里曼的「穿越蟲洞」。我的寫作大多是在飛機上完成的，寫作累了便看看電視節目，一次碰巧找到「穿越蟲洞」這個節目。弗里曼把當今最前沿的物理學做成了用每個人都能懂的節目。節目中有包括很多諾貝爾獎在內的一流物理學家和數學家介紹他們的工作，這些人有一個共同的本領，就是把他們自己領域最深奧的道理用很簡單的比喻介紹清楚。我想這可能是他們成為世界頂級科學家的原因，他們一方面對自己的領域非常精通，同時他們能把道理講清楚。世界上最好的學者總是可以深入淺出把大道理講給外行聽，而不是故弄玄虛把簡單的問題複雜化。因此，在寫這本書的時候，我自己一直以霍金、伽莫夫為榜樣，力圖將數學之美展現給所有的，而不僅僅是專業的讀者。為了方便讀者利用茶前飯後的時間閱讀，我儘可能地做到每一章之間相對獨立自成一體，這樣讀起來不會太累，我知道讓大部分讀者從頭到尾讀一本以數學為主的書是幾乎不可能的。