如何理解廣泛存在的奇偶性？

02-23

高中時題主接觸到所有的函數都可以寫成一個奇函數和一個偶函數的和，初涉線性代數又接觸到由矩陣構成的向量空間是對稱矩陣構成的向量空間和斜對稱矩陣構成的向量空間空間的直和（direct sum)。
請問各位大佬是如何理解這種現象的（我概括不出來這種現象，姑且稱它為「奇偶性」）？想聽聽大家各種腦洞程度，各種角度的理解，比如數學角度、哲學角度，balabala...

……這不是什麼現象啊

你把函數的負半軸和正半軸看成是兩個不同的函數，定義域都在非負實數範圍：

$f_1(x) = egin{array}{ll}f(x) (x ge 0)end{array}$

$f_2(x) = egin{array}{ll}f(-x) (x ge 0)end{array}$

這兩函數理所當然沒什麼關係對吧？

但是我們可以將它們寫成兩個函數的和與差啊：

$A(x) = frac{f_1(x) + f_2(x)}{2}$

$B(x) = frac{f_1(x) - f_2(x)}{2}$

則

$f_1(x) = A(x) + B(x)$

$f_2(x) = A(x) - B(x)$

我們把A做偶延拓，B做奇延拓（顯然B(0) = 0），則

$egin{array}{ll}f(x) = f_1(x) = A(x) + B(x) (x ge 0)end{array}$

$egin{array}{ll}f(x) = f_2(-x) = A(-x) - B(-x) = A(x) + B(x) (x le 0)end{array}$

於是

$f(x) = A(x) + B(x)$

且A是偶函數，B是奇函數。

可是這並沒有什麼可奇怪的啊……本來就是有兩個半個軸的函數，分解完還是兩個半個軸的函數（奇函數和偶函數有一半是被另一半確定的），自由度一樣，這不是理所當然會成立的嘛？

矩陣的分解也是一模一樣的道理啊。

所以這根本就不是什麼現象，也沒有什麼本質規律，就是一個技巧而已。

周期函數一臉懵B

拋磚引玉。

粗略地說，你所提到的例子無非是線性運算元的特徵空間的分解。考慮域 $Bbb{F}$ 上的線性空間 $V$ 以及其上的一個非恆同的線性映射 $sigmacolon V o V$ 。如果 $sigma$ 滿足方程 $sigma^2=1$ ，那麼 $sigma$ 通常被稱為一個對合。在你的第一個例子當中， $Bbb{F}=Bbb{R}$ ， $V={Bbb{R} ext{上的實值函數}}$ ， $sigma fcolon xmapsto f(-x)$ 。第二個例子中 $V=Mat_{n imes n}(Bbb{F}),sigma(A)=A^T$ 。更多的例子請參見維基詞條。根據線性代數，對合運算元的特徵值 ${1,-1}$ 空間分別對應特徵空間 $V_{1}$ 和 $V_{-1}$ ，且 $V=V_{1}oplus V_{-1}$ ，所以你可以用這個觀點重述你提到的兩個命題。如果你有興趣的話也可以想想對於其它具體的對合，這個分解是什麼意思。

另外一個有趣的東西是這裡的投影運算元 $V o V_{pm1}$ 的構造，這裡的平均化的想法在表示論中很常見。一般來說，你可以考慮一個有限群 $G$ 在線性空間 $V$ 上的作用（在這個框架下，之前的例子對應對稱群 $S_2$ 在 $V$ 上的作用）和它的子表示分解。這個平均化運算元的改造版本可以用來證明群環的半單性。這些都是群表示論里很標準的內容，這裡就不展開講了。

既然接觸到空間了，那就可以用空間的思維來考慮。

二維空間的所有向量都可以用兩個不共線的基來線性表示。

當兩個基底徹底無關的情況就是兩者正交。

所謂你的廣義奇偶，就是廣義的兩個正交基，而能被其分解的數學概念也就具有廣義的二維特性。

哲學上有陰陽、矛盾等世界觀。

當數字用二進位表達後也就是0和1。

總之就是因為有了對立面，才有了變化，才有了多彩的世界。

這種問題並無實際的意義，應該多看看專業數學教材，別人總結也不過是一堆名詞。有點浪費時間，類似空談。

哲♂學角度？

一個奇點：奇♂函數

兩個奇點：偶♂函數♂

三個奇點：奇♂函♂數♂

四個及以上：息子炸裂不存在的hhh

無限細化，如果你想可以用任何函數去替換已知函數。因為函數本身就是映射。只不過周期函數和一些階躍，衝擊函數在解決實際問題和計算的時候更加簡單。如果想問為啥這些簡單。因為數學是純意識的東西，就是人類自己定的規則，自然科學又是以數學為基礎，所以這些函數簡單。。。