第33講：標準環的基本理解

02-23

Part 1 標準環的定義

如圖所示，鏈的寫法如下：

r1c4(4)=r1c8(4-2)=r1c9(2)-r7c9(2=8)-r7c4(8=4)-r1c4(4)

發現了兩點神奇的現象：r1c4(4)首尾成環了，而且強弱關係是交替的，也就意味著，就圖上的情況而言，隨便找個藍色節點都有可能成為開頭。於是我們隨便選了個節點，比如r1c4(4)作為了開頭，然後寫成了環形。

還有一點呢，是刪數，所有紅色的都是刪數，但這一次，紅色的刪數比起之前用過的鏈技巧而言，刪數多太多了。那麼，這一點如何推導呢？

要不，反正都是個環結構，隨便找個弱關係，給它拆掉。比如我們拆掉最下方的r7c4(8)-r7c9(8)的弱關係。然後鏈變成這樣：

這樣就會發現，它就是一個AIC了。那麼，刪數呢，就是兩個8共同對應的區域（r7）了。那，我再留下這個弱關係，去斷開剩下的隨便一個弱關係，也可以得到對應的刪數，所以所有刪數如最開始的盤面所示。

這種結構特殊之處就在於，鏈的首尾是完全拼接在一起的，而且鏈頭還不好去找到唯一的那一個位置，這就區別於之前講到的不連續環了。不連續環雖然名叫不連續環，是有環這個字的，但是我們依然知道它是一種鏈結構，並且有頭有尾，這一點就和今天講到的這個東西不同了。

那麼，這樣的特別結構，叫做標準環（Continuous (Nice) Loop），一般簡稱環。

看到Nice大括弧了嗎？Nice一詞，在當下的所有環結構來說，都是需要加上的，但是有些時候，環結構只有局部的弱關係的刪數才正確，這樣的環就沒有Nice一詞修飾，這一點將在後面的內容才會講到。

最後需要引起注意的是，弱關係也包括單元格內的弱關係，比如圖中的r1c8(2-4)時候，可以刪掉r1c8(7)，至於原因嘛，把鏈從r1c8(2-4)這裡拆開，得到了一條鏈頭為r1c8(4)，鏈尾為r1c8(2)的AIC，它們的交集，因為是異數的，而且同一單元格，所以交集只能是r1c8內的其餘候選數。所以，這一點千萬別忘記了。

所以說，環有哪些性質可以直接使用呢？

Part 2 標準環的主要性質和論證

標準環具有如下的特徵（請最好背下它們）：

任意弱關係都能直接拆掉，並得到一條鏈，從而獲得當前的刪數效果；
任意節點都可以作為整條鏈的鏈頭；
環裡面的所有的弱關係都可看作強關係；
環的長度一定為偶數；
環內的填數情況一共只有兩種。

那麼，這五點我將一一論證。

第一點，這是環的刪數原則和基本思想。所以這一點我就不用說明了（就是拆成鏈結構，然後找刪數）；

第二點，看似不正確，因為圖上所有藍色節點起頭強關係，倒是成立，但是圖中的綠色節點起頭是弱關係，好像不太對（鏈需要強關係開頭）。當為綠色節點時，將圖中的所有強弱關係反向，就可以了；（如果不懂意思的話，就照著這裡的說法，把圖上的環再處理一下，你就知道了。）

第三點，這其實是因為，在刪數過程之後，弱關係所在區域下，就只剩下兩個節點可以填這個數字了。（比如r7(8)的弱關係，在刪除掉剩下的所有8之後，r7(8)就可以滿足強關係定義了。）

第四點，強弱關係數量一樣，強關係有n個，弱關係就有n個，那長度自然是2n個，2n是一個偶數，沒毛病！

第五點，要麼這個環結構的所有的藍色節點全部正確，要麼所有的綠色節點全部正確。此外別無其他可能。我們在推理的過程都是最簡單的「不填 -> 填 -> 不填 -> 填 –> ……」，這樣的周而復始的循環。而環結構之中，由於推理最終回回到最初的位置，並且仍舊能夠按照原來假設所定的填數狀態繼續重新推理，所以這一定是其中的一種情況，而根據性質2，我們知道，任何節點都能做起始點，也就是說，我們不妨將節點切換到與其相鄰（它的上一個候選數填數狀態或者其下一個候選數填數狀態）的位置上去，讓它作為鏈頭，這個時候填數狀態就能全部交換了。但是，由於結構內就兩種填數情況，所以這就說明了，環結構內一定只涉及兩種填數。要麼前者對，要麼後者對。

所以，不連續環並不滿足這些特性，只是一種結構成環而邏輯無環的特別情況罷了。