清華MOOC有限元課程學習筆記（六）

今天大年初一，首先祝大家新春快樂！

引言：

之前介紹了桿單元與一般梁單元，今天要介紹的是平面三節點三角形單元，平面四節點矩形單元。

整體建模流程與桿，梁結構類似。第一步，節點的參數化描述，場變數的描述，利用最小勢能原理得出剛度方程，由位移邊界和剛度方程聯立求解，再求解反力，之後對應變場和應力場進行求解。唯一不同的就是幾何形狀的變化，從一維桿變為二維平面結構。

學了這麼多天，寫幾條自己的想法：

（1）其實最小勢能原理和加權殘差法的優勢之處在於它們減小了有效的方程的個數，加權殘差法保留了兩個方程，即用位移描述的平衡方程，而最小勢能原理更加簡潔，只保留了一個函數表達。這麼做有利於試函數方法的應用，因為要將試函數帶入控制方程，求解待定係數，方程數量儘可能少。那麼，舉兩個例子，一個是最小二乘加權殘差法，一個是最小勢能原理。它們兩個，一個是使殘差函數取最小值，一個是使總勢能取最小值。加權殘差法的待定係數是位移場函數的待定係數，而最小勢能原理的待定係數為節點位移。通過多元函數取極值的必要條件，各變數的一階偏導數得零，得到線性方程組，進行求解。

（2）有限元其實是一種位移法。在操作過程中將所有項都表達成節點位移的函數。並以節點位移的分量作為未知量，最終在線性方程組中求解這些位移未知量。

我對試函數方法的幾個理解總結：

（1）控制方程的個數儘可能少；

（2）試函數含有待定係數，且必須滿足邊界條件；

（3）利用給定函數的特徵條件求解試函數的待定係數。

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一、平面三節點三角形單元：

按照有限元的流程，幾何離散之後，進行單元分析。對於平面問題，我們可以採取這種單元。

有了節點描述，在場變數描述之前，先提出幾點（複習）：

（1）三節點三角形單元具有六個自由度，故其位移函數中應設置6個待定參數；

（2）可以將節點位移直接分解為U,V兩個函數，一個是x方向的位移，一個是y方向的位移；

（3）由（1）（2）可知，U,V各含有三個待定參數；

（4）通過方程組的求解，可以確定出各個待定的係數，將係數帶入原函數表達；

（5）將位移函數重新排列，排列成關於某個行向量與節點位移的內積形式，考慮整體方程組的布局，（U,V）T=Nqe，其中qe為節點位移列陣，N就是所謂的形狀函數矩陣；

（6）有了位移函數，根據幾何關係和本構關係可以得到應變與應力；

（7）最終，所有的表達都化成某個矩陣與節點位移列陣的乘積，例如形狀函數矩陣，幾何矩陣，應力矩陣。

應力矩陣的求解，依靠於應變與本構關係，這裡即彈性矩陣。

但由於空間的廣義虎克本構關係在兩種平面問題中的有兩種表述，因此，以平面應力問題為例。

平面應變問題只需要重新的替換彈性模量與泊松比即可。

常變數的描述結束後，就要通過能量原理來求解剛度方程：

：應變列陣等於幾何矩陣乘節點位移列陣

：應力列陣等於彈性矩陣乘應變列陣

應變能等於1/2應力乘應變，通過上述關係推導（彈性矩陣為實對稱矩陣）。

由於勢能已經表達成了節點位移的函數，而勢能取最小值時，根據多元函數取極值的必要條件：對每個自變數的偏導數得零，從而得到剛度方程。

下面對，這種單元進行分析：

得出重要結論：

（1）此單元內部的應力與應變都為常數，因此，稱之為常應變三角形單元。

（2）對於應力（應變）梯度較大的區域，必須更加細緻，密集的劃分網格，否則會造成較大誤差。

（3）對於此單元，沒有斜坐標，因此，直接相當於在整體坐標進行建模，無需坐標變換。

二、平面四節點矩形單元：

note：與上述幾乎完全一致，重複的地方不廢話。

得出的重要結論：

（1）位移場為線性加交叉項構成，在x，y方向呈線性。

（2）應變場為不完全線性。

（3）比三角形單元適應性高。

（4）可以靈活變形，增強幾何適應性，構成任意四邊形單元。

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