祝福大家除夕快樂（附FEA總結）

不知不覺已經到了今年的最後一天，明天便是一個新的開始。

今天對之前的所有關於FEA的問題做一個梳理和小結，給今年畫上一個句號。

在開始寫之前，首先感謝大家這一個月來的關注，點贊，收藏。

很多清北等名校和海外的博士，工程師朋友都對我的筆記和體會提出了一些問題，給了我很多指點，我也貼出來了一部分，在此一併感謝。（見下文）

哈哈哈，其次，希望大家以後收藏的時候也順便點個贊吧，比例失調太嚴重啦。

另外，也感謝大家關注我的固體力學小專欄。

我接觸固體力學時間不長，大學還沒畢業，碩士博士應該會繼續堅持，但很有興趣，在未來也會慢慢更多的接觸，分享我的筆記和心得。

-----------------------------------下面進入正式總結環節------------------------------------

（1）從解析解答到數值解答，力學問題中的可解析問題非常少數，因此，前人尋找了一些數值解法，比如，差分方法，試函數的加權殘差方法，等。

（2）差分方法就是將微分方程中的微分項，變為差分項，最終轉化為線性方程組進行求解，線性方程組採用高斯消元法，對於計算機實現是很方便的。

（3）加權殘差的主要思想就是引入一個滿足邊界條件的試函數，（試函數中存在待定係數），通過使得整個域上的殘差最小來控制係數的取值，當然，加權殘差方法最終也是轉化到線性方程組的求解來進行。

（4）加權殘值法，對殘差的處理方式的不同，分為多種，有伽遼金加權殘差法，最小二乘加權殘差法，配點法等。

（5）Galerkin法，又稱伽遼金加權殘值法，用試函數的基函數作為權函數，在域內對殘差函數進行積分，迫使積分得0，最終得到線性方程組。

（6）殘值最小二乘法，將R2在域內積分，一般取權函數為1，使積分的結果即誤差函數處於最小值，即積分的結果誤差函數是待定係數的函數，即，要滿足多元函數取極值的必要條件，類似費馬定理。

（7）配點法，強迫殘差函數在N個離散的點上取0，N為組成試函數的基函數的個數，若有N個基函數，則有N個待定係數，每一個點帶入後得到一個關於待定係數的線性方程，需要N個方程才可以求解，故尋找N個點，進行操作。

（8）關於我們用基函數去逼進真實函數的時候，可以選擇的方法有兩種，一種為全域的逼進，一種為子域的逼進。

（9）全域逼進對於複雜的三維幾何域來說，很難實現。

（10）子域逼進是有限元的特點，在子域逼進後，在整體考慮，就是有限元方法的單元研究和裝配，集成總體剛度矩陣的過程。

（11）對拉壓桿單元，我們可以採用受力平衡來得到其剛度方程。

（12）對於在沿著桿方向的坐標系下得到的剛度方程，稱作局部坐標系下的剛度方程，為了得到總體坐標系的剛度方程，我們必須要進行坐標變化，坐標變換的手段就是坐標變換矩陣。

（13）得到整體坐標系下的剛度矩陣，對於複雜結構，求總體剛度矩陣時可以根據對應位置對整體坐標系單個構件的剛度矩陣進行裝配。

（14）一般情況下，總體剛度矩陣對應的總體剛度方程是無法求解的，因為總體剛度矩陣具有不可逆性，因此，我們要配合位移邊界條件，先化簡總體剛度方程，當總體剛度方程中的所有位移分量都求解之後，再求解整體剛度方程中的約束力未知量。

（15）除了直接進行靜力學建模，還可以考慮整體的能量方法進行建模與求解。此處用到的能量方法有，能量守恆原理，最小勢能原理，虛位移原理。

（16）最小勢能原理和虛功原理等價，都等價於用位移表示的平衡方程與應力邊界條件，即三大類方程兩大類邊界條件。

（17）最小勢能原理和虛功原理只需要試函數滿足位移邊界條件而不需要滿足應力邊界條件。

（18）最小勢能原理和虛功原理都降低了對原先試函數較高階可導的要求。

（19）虛位移原理的表述為，外力在虛位移上的虛功，與內力在虛變形上的虛功相等，是基於能量守恆得來的。

（20）最小勢能原理中的勢能包含應變能與外力勢能，外力勢能是沒有1/2這個係數的，而應變能在求解時有1/2這個係數。

（21）現在大家對最小勢能原理的物理意義存在爭議，但本身表達式一定沒有錯誤，因為最小勢能原理是由平衡方程出發通過數學上的變分方法推導過來的。

（22）變分方法是嚴謹的分析方法，是對方程形式的變換。最小勢能原理是有物理背景的物理原理。採用試函數方法是一種近似解答方法。而並不是說最小勢能原理是近似解答。

（23）有限單元法的基本思路是：幾何離散，單元研究，剛度集成，位移邊界的處理，反力的求解，其餘物理場的求解。

（24）幾何離散的方式由兩種，對於一般的梁，桿結構，採用自然離散，原先的節點，作為有限單元法中的節點。對於複雜的結構，採用逼進離散。

（25）基於試函數的加權殘差方法與能量方法，就是全域逼進與子域逼進的映射。

（26）加權殘差法的待定未知數是場變數的係數，而能量方法的位置量是節點位移。

（27）純彎梁的建模，先讓節點幾何坐標參數化，給出節點力的列陣，位移的列陣，位移場的描述，必須基於節點位移的個數。

（28）一般梁單元的建模，可以通過疊加原理來進行，二維可以分解為平面純彎梁和平面拉壓桿的組合。

（29）三維一般梁結構需要分解為四項，3D拉壓桿，扭轉，以及兩個平面內的純彎梁結構。

（30）分布力的處理，是基於能量原理的，把分布力等效成節點力，而不是靜力等效。

（31）最後，精選幾位大神的評論，應該會對大家有很大幫助的：

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