Gauss與AGM(VI-1)

02-23

[註：題圖用如下方法生成：取 $a_0=3,b_0=1$ ,進行六次複數AGM迭代後，取 ${b_n},0leq nleq 6$ 中所有可能的值在複平面上進行散點圖繪製。數值計算精確到小數點後五位。]

前情提要：

Gauss大約在1799年年末到次年6月發展了一般橢圓積分理論。根據Gauss現存的手稿來看，他的一般橢圓積分理論在相當程度上依賴於所謂的算術幾何平均(定義見Gauss與AGM(IV-1))。其中非常重要的內容是(見Gauss與AGM(V-1))：

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給定正實數 $x,xin(0,1)$ . 並且定義 $x^prime=sqrt{1-x^2}$ 。記 $M(1,x),M(1,x^prime)$ 分別為 $1,x$ 以及 $1,x^prime$ 之間的算術幾何平均。如果定義 $z=expleft(-pifrac{M(1,x^prime)}{M(1,x)} ight)$ , 那麼我們有

$egin{align}frac{1}{M(1,x^prime)}=p^2(z)\frac{x^prime}{M(1,x^prime)}=q^2(z)\frac{x}{M(1,x^prime)}=r^2(z)end{align}$

其中

$egin{align}p(z)&=1+2z+2z^4+2z^9+cdots\q(z)&=1-2z+2z^4-2z^9+cdots\r(z)&=2z^{1/4}+2z^{9/4}+2z^{25/4}+cdotsend{align}$

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$z=expleft(-pifrac{M(1,x^prime)}{M(1,x)} ight)$ 及其反演在Gauss後續的工作中佔有舉足輕重的作用。藉助這些關係，Gauss成功地將雙紐線的工作推廣到了一般橢圓積分

$int_0^{S}frac{mathrm{d}t}{sqrt{1-t^2}sqrt{1+mu^2t^2}}$

上去(見Gauss與AGM(V-2))。他在Scheda Ac 末尾特別提到了自己1797年1月8日的日記(見Gauss與AGM(I)及Gauss全集第十卷第一冊，206頁)便是明證。一般橢圓積分的反函數，橢圓積分所滿足的二階微分方程[後來的超幾何函數的雛形]，一般橢圓積分的加法定理，theta函數各類三角級數和無窮乘積的應用都在Gauss的筆記中出現，這標誌著Gauss的橢圓函數理論已經具備了後來Abel和Jacobi工作中的大部分要點。而Gauss的工作中有一項是Abel與Jacobi未能觸及的：那就是所謂的橢圓模函數(modular function)理論。它有可能源自Gauss對複數域上的橢圓積分以及算術-幾何平均值的研究，但是由於缺少同時代的材料，所有的推測可能永遠無法得到證實。

1800年5月到6月期間Gauss日記的105,106,108,109,110,111條全與橢圓積分相關，而在其中，第109條的內容是比較特別的。

Inter duos numeros datos semper dantur infinite multi temini medii tum arithmetico-geometrici tum harmonico-geometrici, quorum nexum mutuum ex asse perspiciendi felicitas nobis est facta.
兩個給定的數之間有無窮多種算術-幾何平均值以及調和-幾何平均值，我們很幸運能完全理清這些平均值之間的關係。

按理說兩個正實數的算術-幾何平均值以及調和-幾何平均值應該只有唯一的一個。這無窮多種算術-幾何平均值(AGM)的說法又是從何而來呢？這背後徘徊的自然是複數的幽靈。如果我們要用AGM來建立複數域上橢圓積分的理論，那麼我們就不可避免地用到複數域上的AGM。回顧AGM的定義

$egin{cases}a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\b_{n+1}=sqrt{a_nb_n}end{cases}$

$a_n,b_n$ 的平均值自然是 $a_n,b_n$ 的單值函數，但是 $a_nb_n$ 的平方根卻不是。正是因為開方是多值函數，因此迭代的值不再收斂到唯一的極限。一個自然的問題是：在我們把迭代過程搬到複數域以後，迭代過程是否還總是收斂？進一步我們還要追問，如果收斂，極限值是否還與橢圓積分密切相關？我們先從一個簡化的問題開始。

[Toy Model]回顧Gauss曾經考慮過的算術幾何平均值的變種(見Gauss與AGM(IV-1))

$egin{cases}a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\b_{n+1}=sqrt{a_{n+1}b_n}end{cases}$

令 $r_n=a_n/b_n$ ,那麼 $r_{n+1}=sqrt{frac{1+r_n}{2}}$ 。根據遞推式的形式，作三角代換 $r_n=cos heta_n$ ,我們知道， $r_n=cosfrac{ heta_0}{2^n}$ 。因此

$b_n=b_0r_0r_1cdots r_{n-1}=frac{b_0}{2^nsin( heta_0/2^n)},\a_n=r_nb_n=frac{b_0cos( heta_0/2^n)}{2^nsin( heta_0/2^n)}$

當我們考慮開方的多值性的時候，問題就變得相對複雜一些。根據上面的推理，我們令 $a_n=frac{lambda}{2^{n}}cot heta_n,b_n=frac{lambda}{2^{n}}csc heta_n$

那麼利用三角函數的倍角公式/半形公式可以得到

$a_{n+1}=frac{lambda}{2^{n+1}}cotfrac{ heta_n}{2},b_{n+1}=pmfrac{lambda}{2^{n+1}}cscfrac{ heta_n}{2}$

我們把它重寫為

$a_{n+1}=frac{lambda}{2^{n+1}}cotleft(frac{ heta_n}{2}+s_npi ight),\b_{n+1}=frac{lambda}{2^{n+1}}cscleft(frac{ heta_n}{2}+s_npi ight),,s_n=0,1$

所以我們可以取 $heta_{n+1}=frac{ heta_n}{2}+s_npi$ 。給定序列 ${s_0,s_1,s_2,cdots,s_n,cdots}$ , ${ heta_n}$ 收斂到 $[0,2pi]$ 中的一個值 $alphapi$ 。若 $alpha eq 0,1,2$ ，那麼 ${a_n},{b_n}$ 都收斂到0[為什麼？]。如果 $alpha= 0,1,2$ , 那麼 ${s_0,s_1,s_2,cdots,s_n,cdots}$ 中只有有限項為0或者有限項為1。

我們先取 $alpha=0$ 的情形進行說明。此時序列 ${s_n}$ 中只有有限項為1，那麼我們假設滿足 $s_n=1$ 的最大角標為 $N$ ，並且令 $2^Ns_N+2^{N-1}s_{N-1}+cdots+s_0=S$ ,那麼根據極限 $lim_{x ightarrow0}frac{sin x}{x}=1$ ,我們得到 ${a_n},{b_n}$ 收斂到極限 $frac{lambda}{ heta_0+Spi}$ 。 $S$ 正是正整數的二進位表示，因此 ${a_n},{b_n}$ 可以收斂到 $frac{lambda}{ heta_0+kpi},kgeq0,kinmathbb{Z}$ 的每一個值。如果我們繼續考慮 $alpha=1,2$ 的情形，我們就可以得到：

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如果初值為複數，開方為多值函數，迭代生成的序列 ${a_n},{b_n}$ 仍然收斂到同一個極限值。極限值有兩類可能:

0;
$pmfrac{lambda}{ heta_0+kpi},kinmathbb{Z}$

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仔細審視以上推理過程，我們就可以知道，三角函數的倍角公式/半形公式及其周期性在推理中起到了重要的作用。對於復的AGM迭代過程

$egin{cases}a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\b_{n+1}=sqrt{a_nb_n}end{cases}$

我們可以找到一個幾乎平行於上面toy model的論證過程。Gauss最遲在建立一般橢圓積分理論的過程中就已經知道

$p^2(z^2)=frac{p^2(z)+q^2(z)}{2}\q^2(z^2)=p(z)q(z)\p^4(z)=q^4(z)+r^4(z)$

這些關係式大概就是Gauss全集第一任編輯Ernst Christian Julius Schering在Gauss全集第三卷[p. 493]中記載的軼事：Gauss早在1794年就知道這一類函數與AGM之間的關係。筆者偏向於不相信Schering的記載。且不說Schering的記載沒有任何旁證，如果Gauss真的知道這一關係式，那麼借用1798年Scheda Aa 中的記載 $q(e^{-pi})=r(e^{-pi})=sqrt{varpi/pi},$ 他立刻就可以得到1799年5月30日提出的猜想 $M(1,sqrt{2})=pi/varpi$ 的解答。然而根據Gauss日記1799年12月的記載以及1799年11月與Pfaff的通信來看，他在1799年11月還尚未得到 $M(1,sqrt{2})=pi/varpi$ 的證明。Schering留下的另一個傳說是：Dirichlet在拜訪Gauss時，見到Gauss用自己《算術研究》的手稿點自己的煙斗。Dirichlet大吃一驚，請求Gauss將剩餘的手稿交給自己保存[見Uta. C. Merzbach 的文章 An Early Version of Gausss Disquisitiones Arithmeticae, 1981]。根據Merzbach的記載，Dedekind本人曾經表示對這一傳說的嚴重懷疑。毋庸置疑，Dedekind與Gauss和Dirichlet都有過密切的交往。Dedekind自己說，如果傳說屬實，Dirichlet應該早就告訴過他這件軼事，但他什麼都沒聽說。

[註：不過Merzbach等人確實在Dirichlet遺留下的手稿中找到了Gauss《算術研究》的早期版本。此版本應當有八個章節，其中第四章的一部分(二次剩餘)與整個第五章(二次型理論)尚未找到。其他章節，包括未發表的第八章(高次剩餘，包含了有限域理論的很多內容)都相對比較完整。]

言歸正傳，如果我們把這一關係式與前面提出的簡化模型作對比，那麼我們立刻就可以寫出

$egin{cases}a_{n}=lambda p^2(z^{2^n})\b_{n}=lambda q^2(z^{2^n})end{cases}$

如果 $-1< z<1$ ,那麼數列收斂到常數 $lambda$ 。換句話說， $p^2(z),q^2(z)$ 的算術幾何平均值是1。Gauss自己很看重這個結論，稱之為h?chst wichtige Theorem [極其重要的定理，見Gauss全集第三卷，467頁(這是1818年以後的手稿)]。

[註：讀者可嘗試計算 $p^2(z),r^2(z)$ 的算術幾何平均值[見Gauss全集第十卷第一冊，218頁]。這個值和 $z$ 的關係是什麼？]

將這一結論推廣到複數域上需要我們付出更多的努力。我們先回到簡化的模型上獲取一點靈感。如果我們令 $a=lambdacot heta,a^prime=lambda^primecot heta^prime,b=lambdacsc heta,b^prime=lambda^primecsc heta^prime$ ，那麼迭代過程

$egin{cases}a^prime=(a+b)/2\b^prime=sqrt{a^prime b}end{cases}$

自然引導出 $lambda^prime=lambda/2, heta^prime= heta/2+spi,s=0,1$ 。

如果我們類比這一過程，令

$a=lambda p^2(z),a^prime=lambda^prime p^2(z^prime),b=lambda q^2(z),b^prime=lambda^prime q^2(z^prime)$

迭代過程

$egin{cases}a^prime=(a+b)/2\b^prime=sqrt{ab}end{cases}$

給出 $lambda^prime p^2(z^prime)=lambda p^2(z^2)\ lambda^prime q^2(z^prime)=pmlambda q^2(z^2)$

很顯然符號為正的時候我們可以確定 $lambda^prime=lambda,z^prime=z^2$ 。但符號為負的時候就沒有這樣簡單的關係了。

為此我們回到開篇 $p,q,r$ 以及 $z$ 的定義。我們令 $t=frac{M(1,x^prime)}{M(1,x)}$ 。那麼我們有 $frac{1}{M(1,x^prime)}=p^2(e^{-pi t})$ 。如果我們把 $x$ 換為 $x^prime$ ,那麼我們有

$frac{1}{M(1,x)}=p^2(e^{-pi/t})$ 。然而 $frac{1}{M(1,x)}=frac{t}{M(1,x^prime)}$ , 因此我們得到了

$p^2(e^{-pi/t})=t p^2(e^{-pi t})$ 。利用同樣的推理我們得到以下三個關係式：

$p^2(e^{-pi/t})=t p^2(e^{-pi t})\ q^2(e^{-pi/t})=t r^2(e^{-pi t})\ r^2(e^{-pi/t})=t q^2(e^{-pi t})$

這是theta函數極其重要的函數方程。我們有理由認為Gauss是通過我們敘述的方式發現這些關係的，但是這並不是嚴格的證明。現代意義上的嚴格證明來自於Poisson求和，具體到我們的例子上，就是通過計算周期函數

$f(x)=sum_{nin mathbb{Z}}e^{-pi(x+n)^2}$

的Fourier級數得到 $p,q,r$ 的函數方程。這裡Arnold principle(如果一個概念掛著某個人的名字，那麼此人不是這個概念的最初發現者)再次發揮了作用：因為Poisson求和已經出現在了Gauss 1808 年的筆記當中[見Gauss全集第十卷第一冊，287-289頁]，而Poisson發表自己的發現是在1823年。

除了上面的關係以外， $p,q,r$ 還滿足其他顯而易見的函數方程：

$p^2(e^{-pi(t+i)})=q^2(e^{-pi t})\ q^2(e^{-pi(t+i)})=p^2(e^{-pi t})\ r^2(e^{-pi(t+i)})=i r^2(e^{-pi t})$

這些函數方程告訴我們，函數 $p,q,r$ 在變換 $tmapsto 1/t$ 以及 $tmapsto t+i$ 下可以互相轉變。按現代記法，如果我們令 $t=i au$ ，那麼我們就需要探索 $p^2(e^{pi i au}),q^2(e^{pi i au}),r^2(e^{pi i au})$ 在變換 $aumapsto -1/ au$ ， $aumapsto au+1$ 以及這兩種變換的所有複合之下是如何互相轉換的。[下文中我們會用 $p( au)$ 來代表 $p(e^{pi i au})$ ,對於 $q,r$ 我們也採用類似的記法。]