練習雜選第4期

02-23

往期回顧：

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陸zz：練習雜選第3期zhuanlan.zhihu.com

提前祝各位新年快樂！申請季也大概快要結束了，也祝申請的同學能早日有offer。最近還有一個新聞是The 2018 Wolf Prize laureates have been announced，由Prof. Alexander Beilinson和Prof. Vladimir Drinfeld獲得。

話不多說，下面是第4期：

1.設f是 $Bbb Z ightarrow GL_n(Bbb Q_p)$ 的群同態，則f可以延拓為 $hat {Bbb Z} ightarrow GL_n(Bbb Q_p)$ 的連續群同態當且僅當f(1)的特徵值都是單位(於 $overline {Bbb Q_p}$ )

2. E是特徵為p的代數閉域，A是E上nxn可逆矩陣，求 ${ x in E^n | Ax=x^p}$ 的解的個數

（x^p表示每個分量都變成原來的p次方）

3. k是可分閉域，證明k上幾何整、分離、有限型概形都有k-有理點

（幾何整避免了X=Spec L其中L是k的有限擴張的情況，此性質表明 k is a PAC field）

4. 感謝 @森林供題

g是有限維復半單李代數， $<x,y>=Tr(adx circ ady)$ 是g的Killing型，證明g中元e是冪零元當且僅當 $<e,x>=0, forall x in g s.t [x,e]=0$ （可先檢驗 $g=sl_2$ 的情況）

5. 任給一個代數閉域K，證明：存在擬有限域k是K的子域，且K是k的代數閉包。

（這表明總可在代數閉域上打洞，例如練習雜選第1期提到過的 $Bbb C((t))$ ；擬有限域是指絕對Glaois群同構整數的完備化 $hat {Bbb Z}$ 的域）

第3期簡答

1. (Hungerford, 1968)

利用化歸和Cohen structure thm（Artin局部環的特殊情形），證明：每個主理想環都是有限個主理想整環的乘積的商。（從而主理想環上也有有限生成模結構定理）

A：研究交換環自然先考慮素理想。如果R中兩個素理想 $p^{} subsetneqq p$ ，那麼 $p$ 中任何准素理想都包含 $p^{}$ （直接寫出這兩個素理想的單生成元驗證），故可知：

①兩個互不包含的素理想一定互素

②若I是非極大的素理想，則I-准素理想只有I

接下來考慮0的准素分解，由中國剩餘定理知R是一堆PID和主理想Artin環的乘積，於是問題過渡到主理想Artin環，利用Cohen structure thm將問題進一步化歸到特殊環（存在從cohen ring上的形式冪級數環到其的滿射）即可，見

Principal ideal ringen.wikipedia.org

任取 $GL_n(Bbb C)$ 的一個有限維有理表示V（即 $GL_n(Bbb C) ightarrow GL(V)$ 是代數簇同態），證明：V半單，即是不可約表示的直和。

附： $GL_n(Bbb C)$ 共軛作用在Tr=0的nxn矩陣全體上，證明其是一個不可約表示

A： 通過取閉包將代數的問題劃歸到拓撲的問題，代數群的表示過渡到緊李群的表示。

C上約化代數群G的有限維有理表示都半單

Pf： W 是V的G不變子空間，看成G的極大緊子群K的表示，K是緊李群，故存在U是W的補，U為K不變，因為K的zariski閉包是G（約化的定義）, 所以U為G不變，故半單

U（n）在GL（n,C）中Zariski稠密

Pf：取函數f,使得 f（ke^itX）=0對U（n）中元k,X是U（n）李代數中元，t屬於R。由連續性知t 屬於C也對，但是每個矩陣都可以寫成Hermite+anti-Hermite, exp是到GL_n滿射, 故f是0

附：利用求導劃歸到證明sl_n的單性

3. (Ax–Grothendieck, 1968)

$f : Bbb C^n ightarrow Bbb C^n$ 是多項式映射，若f是單射，則f是滿射

A: 現將條件代數化，然後域→有限生成Z代數→有限域 （化歸方式依次為取係數、取極大理想），代數方程仍保持，於是問題從無限域轉換到有限域，見

Infinite fields, finite fields, and the Ax-Grothendieck theoremterrytao.wordpress.com

4. 證明：

(1)域的有限次數的單擴張的子擴張還是單擴張

(2) $t$ 是域 $k$ 上超越元，則 $k(t) / k$ 的子擴張 $E/k$ 都是單擴張。

(3)有限生成群的有限指標子群還是有限生成群

(4)有限型域擴張的子擴張還有限型

(5)B是有限生成A代數，C是B的子代數，且B是有限生成C模。假定A是諾特環，證明C是有限生成A代數。

A：方法多種多樣，雖然這些結論看上去顯然，但是它們的證明還是需要一些基本工具的，並且它們都有一定用處（例如(4)可說明有限生成域的單位根有限），具體解答略去。

證明：任何實代數簇（即 $Bbb R$ 上整分離有限型概形）在賦予 $Bbb R$ 的解析拓撲下（類似流形的拓撲），只有有限個連通分支。

A：看起來是「復代數簇都是解析拓撲下連通的」的類比，研究一般代數簇的一種方法是考慮構造映射得到fibration，或研究不同fiber的性質，或將問題過渡到另一個代數簇。

證明可對維數歸納，然後利用平展映射保持題中性質，通過諾特正規化構造映射 $X ightarrow Bbb A^n$ ，見：

Any Real Algebraic Variety Has Finitely Many Path Components?math.stackexchange.com

存貨並不多，歡迎提供各種題目（數學/和數學相關的物理），當然希望能有解答（

供題方式：

①發郵箱：3351859913@qq.com

②私信

@陸zz

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