練習雜選第3期

02-23

之前幾天有些忙，第一次試著做飯效果不太理想，但感覺還是能吃的，如果以後出國學習吃飯感覺是一個問題（

然後想起了本系列，吃完飯沒啥事於是碼一下第3期。一些比較基礎的題可能會有些趣味，但他們終究大多不能在以後的數學研究中用到，故記錄這些題只是作為消遣。但解決問題的想法，每期都用黑字標出。

往期回顧：

陸zz：練習雜選第1期zhuanlan.zhihu.com

陸zz：練習雜選第2期zhuanlan.zhihu.com

話不多說，下面是練習第3期。（不加說明，環都指交換幺環）

1. (Hungerford, 1968)

利用化歸和Cohen structure thm（Artin局部環的特殊情形），證明：每個主理想環都是有限個主理想整環的乘積的商。（從而主理想環上也有有限生成模結構定理）

2. 任取 $GL_n(Bbb C)$ 的一個有限維有理表示V（即 $GL_n(Bbb C) ightarrow GL(V)$ 是代數簇同態），證明：V半單，即是不可約表示的直和。

附： $GL_n(Bbb C)$ 共軛作用在Tr=0的nxn矩陣全體上，證明其是一個不可約表示

3. (Ax–Grothendieck, 1968)

$f : Bbb C^n ightarrow Bbb C^n$ 是多項式映射，若f是單射，則f是滿射

4. 證明：

(1)域的有限次數的單擴張的子擴張還是單擴張

(2) $t$ 是域 $k$ 上超越元，則 $k(t) / k$ 的子擴張 $E/k$ 都是單擴張。

(3)有限生成群的有限指標子群還是有限生成群

(4)有限型域擴張的子擴張還有限型

(5)B是有限生成A代數，C是B的子代數，且B是有限生成C模。假定A是諾特環，證明C是有限生成A代數。

證明：任何實代數簇（即 $Bbb R$ 上整分離有限型概形）在賦予 $Bbb R$ 的解析拓撲下（類似流形的拓撲），只有有限個連通分支。

第2期簡答

1. (Brauer-Nesbitt thm, 1941)

G是有限群， $chi$ 是G的不可約復特徵標，p是素數且 $p ot | frac{#G}{chi(1)}$ ， $g in G$ 的階是p的倍數，證明： $chi(g)=0$

A：出發點仍然是恆等式，考慮群代數中不可約特徵標對應的冪等元 $e=frac{chi(1)}{#G} sum_g chi(g)g$ ，則e^m=e，展開知對任何正整數m，G中共軛類C和C中元g有 $sum_{(prod_{i=1}^m{x_i}) in C} prod_{i=1}^m chi(x_i)=(frac{#G}{chi(1)})^{m-1} chi(g)$

根據特徵標取值是代數整數，令m取p的k次方（k趨於無窮），那麼左邊會重複計數p的若干次（輪換x_i會得到一樣的 $prod_i chi(x_i)$ ），故若g的階是p的倍數， $chi(g)$ 被p的任意高冪次整除，因此是0。具體見：

https://hps.hs-regensburg.de/lem39357/publikationen/leitz-elementaryproof.pdf

2. (Springers thm，1952)

$Q$ 是域F上二次型（ $char F ot =2$ ），E/F奇數次域擴張，則 $Q(x)=0$ 在E中有非平凡解等價於 $Q(x)=0$ 在F中有非平凡解

A：對所有E/F的擴張次數n歸納，n=1顯然。設<n都對，並不妨設E/F是單擴張，E=F[x]/(f(x))，f是F中n次首一多項式，而 $Q(x)=sum_i a_ix_i^2$ 已對角化。假設Q=0在E中有解，則存在F中首一多項式 $h_i$ （deg<n）和F中多項式g使得 $sum_{i} a_i h_i(x)^2=f(x)g(x) quad ext{in} quad F[x]$ ，兩邊比較次數得 $ext{deg} g leq 2 ext{max} ext{deg} h_i - ext{deg} f <2n-n=n$ ，且g次數為奇數。考慮域擴張 $E_1= F(a)$ , a是g的一個根，則Q=0在 $E_1$ 中有解，因此根據歸納在F中有解。

註：類似地可以證明F上兩個非退化二次型在E上同構等價於在F上同構。翻譯成上同調的語言即：E/F是奇數次的域擴張（F特徵非2），q是F上非退化二次型，O(q)是q的線性自同構群，那麼自然映射 $H^1(F,O(q)) ightarrow H^1(E,O(q))$ 是單射。

3. (Frobenius, 1896)

G是有限群，那麼 $#{[x,y]=g}=|G| sum_{chi}frac{chi(g)}{chi(1)}$ , $chi$ 跑遍所有不可約復特徵標

A：首先注意到 $g mapsto #{[x,y]=g}$ 是class function，故是特徵標的線性組合。用內積可計算係數，化為證明 $sum_{x,y in G} chi(xyx^{-1}y^{-1})=frac{(#G)^2}{chi(1)}$ 。對任一G的共軛類C，記 $overline C= sum_{g in C} g in Bbb C[G]$ ，並用 $C_g$ 表示g所在共軛類， $C^{-1}$ 表示C中元的逆所在的共軛類。那麼 $sum_{x,y in G} xyx^{-1}y^{-1}=sum_{y in G} frac{#G}{#C_y} overline{C_y} y^{-1}=sum_{C} frac{#G}{#C} overline{C} cdot overline{C^{-1}}$

注意 $overline {C}$ 在群代數的中心中，故在不可約表示上作用是數乘，具體值可由取跡得到，因此 $ext {tr} overline {C} overline {C^{-1}}= ext {tr} overline {C} ext {tr} overline {C^{-1}}$ ，帶入即得結果。（這個上劃線如何對齊...？）

4. n維完備正(截面)曲率流形的的兩個維數之和大於等於n的閉全測地子流形必相交（特例：正曲率閉曲面（如球面）上兩條閉測地線必相交）

A：通常取極值點再考慮Jacobi場與變分公式。取兩個子流形距離最近的點，用測地線相連（其必與兩個子流形垂直），再沿測地線上平行向量場做變分，具體見https://mathdept.ucr.edu/pdf/publications/ladder/13-Frankel.pdf

5. M是一個光滑緊可定向流形，一個自然的現象是：子流形對應上同調類。考慮de rham上同調，任給M的余k維閉子流形N，有自然的線性映射：

$H^{n-k}_{dR}(M) ightarrow Bbb R : [w] mapsto int_N w$

根據Poincare對偶（ $Hom(H^{n-k}_{dR}(M),Bbb R) cong H^k_{dR}(M)$ $(w_1,w_2) mapsto int_M w_1 wedge w_2$ ），其對應一個上同調類 $[N] in H^k_{dR}(M)$ 。

證明：k=1時，[N](N跑遍所有閉余k維子流形)的實線性組合生成整個 $H^k_{dR}(M)$ (進一步，說明 $H^1(M,Bbb Z)$ 中每個元都形如[N]）

A: 利用n次G係數上同調群可由K(n,G)表出，故每個元對應一個光滑映射 M to S^1 ，用正則值定理得到smooth fiber的存在性，其就是所需的閉餘1維子流形。見When is a Homology Class Represented by a Submanifold?

存貨並不多，歡迎提供各種題目（數學/和數學相關的物理），當然希望能有解答（

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②私信 @陸zz

另外繼續徵求一個合適的標題

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