練習雜選第2期

02-23

轉眼這個月也快結束了，今年美國申請PHD的情況也是比較迷，便有人談起去歐洲學數學的好。必須承認歐洲是一個學習數學的好地方，但是美黑也得客觀。由於最近暫時比較閑，於是繼續碼一些題。對大多數人來說這些可能都沒啥用，但是也許會對一些喜歡解題/準備考試的人有幫助（當然也有一些個人覺得簡單但有一定啟發的結果）。

話不多說，下面是練習第2期。

1. (Brauer-Nesbitt thm, 1941)

G是有限群， $chi$ 是G的不可約復特徵標，p是素數且 $p ot | frac{#G}{chi(1)}$ ， $g in G$ 的階是p的倍數，證明： $chi(g)=0$

(原始證明較複雜，見On the modular characters of groups, Ann. of Math. 42 (1941), 556–590.)

2. (Springers thm，1952)

$Q$ 是域F上二次型（ $char F ot =2$ ），E/F奇數次域擴張，則 $Q(x)=0$ 在E中有非平凡解等價於 $Q(x)=0$ 在F中有非平凡解

3. (感謝 @Jachin 供題) (Frobenius, 1896)

G是有限群，那麼 $#{[x,y]=g}=|G| sum_{chi}frac{chi(g)}{chi(1)}$ , $chi$ 跑遍所有不可約復特徵標

4. (Frankel thm)

n維完備正(截面)曲率流形的的兩個維數之和大於等於n的閉全測地子流形必相交（特例：正曲率閉曲面（如球面）上兩條閉測地線必相交）

M是一個光滑緊可定向流形，一個自然的現象是：子流形對應上同調類。考慮de rham上同調，任給M的余k維閉子流形N，有自然的線性映射：

$H^{n-k}_{dR}(M) ightarrow Bbb R : [w] mapsto int_N w$

根據Poincare對偶（ $Hom(H^{n-k}_{dR}(M),Bbb R) cong H^k_{dR}(M)$ $(w_1,w_2) mapsto int_M w_1 wedge w_2$ ），其對應一個上同調類 $[N] in H^k_{dR}(M)$ 。

證明：k=1時，[N](N跑遍所有閉余k維子流形)的實線性組合生成整個 $H^k_{dR}(M)$ (進一步，說明 $H^1(M,Bbb Z)$ 中每個元都形如[N]）

第1期簡答

1. G是一個有限群，d整除G的階，則 $x^d=1$ 在G中的解的個數是d的倍數

A: 這是著名的Frobenius定理，這類問題的處理方式可考慮歸納與計數等式，注意到G中階為n的元素個數一定是 $phi(n)$ 的倍數（如果有），而題中解全體是固定階的元全體的並，見https://www.maa.org/sites/default/files/3004416017467.pdf.bannered.pdf

這個定理應用很多，如 $G=S_p, d=p$ 就得到了 $(p-1)! equiv -1 ( ext{mod p})$ ，見Applications of Frobenius theorem and conjecture

2. 證明有限群的(復)特徵標表每一列、行元素的和都是整數

A: 特徵標取值是單位根的和，是代數整數。根據Galois理論的思想，證明某個元屬於某個域只需說明它在群作用下不變。根據Brauer thm，每個復表示都可以定義到分圓域上，因此 $chi$ 是特徵標那麼 $sigma circ chi$ 也是，於是每一列元素的和都是整數。

另外我們要注意自然構造的表示，G共軛作用在G自身上得到一個置換表示，用內積計算關於 $chi$ 的重數就是 $chi$ 那一行元素的和，因此是非負整數。

3. 證明 $Bbb {CP}^{2n} ightarrow M$ 是復疊映射（M是流形），那麼 $M=Bbb {CP}^{2n}$

A:注意復疊變換具有剛性，非平凡一定沒有不動點。而 $Bbb {CP}^{2n}$ 到自身的連續映射一定有不動點（Lefschetz不動點定理+ $Bbb {CP}^{2n}$ 的上同調較特殊）

4. F是域，n是2的冪，證明任給 $x_i,y_i in F, i=1,…,n$ 存在等式 $(sum_{i=1}^nx_i^2)(sum_{i=1}^ny_i^2)=sum_{i=1}^nz_i^2$ ，其中 $z_i in F, z_1=x_1y_1+…+x_ny_n$

A: 這也是一個出色的工作，是熟知的二/四/八平方和等式的推廣（不過z_i不能再取成雙線性，這由Hopf的1，2，4，8 thm保證）： $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ad-bc)^2$ 。

對於高維的問題，線性代數使問題變簡單，矩陣乘法提供了群運算。

可自行證明下列重要引理（利用n是2的冪歸納，每次把一個矩陣分成4塊）：

$c in F$ 可寫成 $sum_{i=1}^{n}c_i^2$ ，等價於 $exists C in M_n(F), C^tC=CC^t=cI$ 且C第一行是 $(c_1,…,c_n)$ 。

見http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/pfister.pdf

5. G是有限群， $K_i, i=1,2$ 是代數閉域且特徵與 $# G$ 互素，證明G在 $K_i$ 上不可約表示數量相同（且有保持維數的一一對應）

A: 化歸使問題變簡單。對這樣的代數閉域K，有 $K[G] cong oplus End(V_i) cong oplus M_{n_i}(K)$ ，於是如果 $K_1 subset K_2$ 那麼base change就是一個一一對應。一般情況，如果 $K_i$ 特徵一樣，那麼通過藉助公共域如 $K_1 leftarrow ar{ Bbb Q} ightarrow K_2$ 的base change即可。於是只需要說明 $K_1= ar {Bbb Q}, K_2 = overline{Bbb F_p}$ 的情況，如何聯繫不同特徵？利用有限生成Z代數。考慮 $R=Bbb Z[frac{1}{n}, zeta_n], n=#G$ ，那麼計算可知 $K[G] cong oplus End(V_i) cong oplus M_{n_i}(K)$ （ $K=ar{Bbb Q}$ ）分解中的冪等元係數都來自R，於是給出 $R[G]$ 的分解。取R中在p上的素理想，商掉得到一個映射 $R ightarrow overline{Bbb F_p}$ 。在這個映射下得到 $K_2[G]$ 的分解。但是不同特徵（與 $# G$ 互素）不可約復表示個數都一樣（考慮群代數中心的維數），等於共軛類個數，於是 $K_2[G]$ 的分解進一步分成不可分解分量比較分量個數知原分解已不可分解故每個分量都對應一個不可約表示，於是有一一對應。

6. $E/F$ 為超越次數為 $k$ 的域擴張， $F$ 是 $C_r$ 域，證明 $E$ 是 $C_{r+k}$ 的（ $C_r$ 域的定義見Quasi-algebraically closed field，另外可嘗試說明有限域是 $C_1$ 的）

A：按係數展開，分成純超越和代數（可劃歸為有限單擴張）的情況直接分析即可。

推論：代數閉域上曲線的函數域是 $C_1$ 的，於是同調維數不超過1，因此Brauer group平凡，這件事在證明代數閉域上n維代數簇的高維(>2n)平展上同調消失中是基本的（最終劃歸為此事）

7. 設n=2， $U(n)$ 不可約復表示限制在子群 $U(n-1)$ （通過標準嵌入）上如何分解成 $U(n-1)$ 的不可約表示？（對一般的n會如何？）

A：經典代數群的分歧律，n=2直接計算權，一般情況證明請參見標準教材。高維群表示的分類總有一種組合意味，例如U(n)的不可約表示限制在極大環面上可知有一一對應 $F_u leftrightarrow u$ ：

$Irr(U(n))={ u=(a_1,…a_n) in Bbb Z | a_1 geq a_2 geq … geq a_n }$

U(n)的表示可自然限制在U(n-1)上，

我們稱 $v=(b_1,…,b_{n-1})$ 插入 $u=(a_1,…a_n)$ ，如果 $a_i geq b_i geq a_{i+1}$

則有 $F_u|_{U(n-1)} cong oplus_{v插入u} F_v$

8.證明 $Bbb C((t))$ 次數為n的擴張有且只有一個 $Bbb C((t^{frac{1}{n}}))$ ，並對此結果做一個幾何上的「解釋」。

A: $Spec Bbb C[[t]]$ 可類比複平面的單位圓盤， $Spec Bbb C((t)) hookrightarrow Spec Bbb C[[t]]$ 在幾何上是punctured disk (去掉原點)，基本群是Z。這個幾何的結果的類比即 $Bbb C((t))$ 的絕對Galois群是Z的完備化。

嚴格證明：域擴張的分歧理論，只需說明Galois擴張有且只有一個 $Bbb C((t^{frac{1}{n}}))$ ，有efg分解。完備DVR表明g=1，f是剩餘類域擴張次數而剩餘類域代數閉故為1，因此總完全馴分歧（注意特徵0沒有wild部分），這類擴張總來自素元開次方得到。

存貨並不多，歡迎提供各種題目（數學/和數學相關的物理），當然希望能有解答（

供題方式：

①發郵箱：3351859913@qq.com

②私信 @陸zz

另外徵求一個合適的標題，這標題太奇怪了（

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