雜想整理（2）：從數字到數學（續）

02-23

上篇：雜想整理（1）：從數字到數學

在開始之前，我想先介紹一下「域擴張」的概念。假設 $L, F,K$ 是域，並且 $Lsupseteq Fsupseteq K$ ，那麼我們稱 $L$ 是 $F$ 的擴張域，記為 $L/F$ 。如果像上面一樣， $L/F,F/K$ ，那麼稱 $F$ 是一個中間擴張。對於一個集合 $Asubseteq{L}$ ， $K(A)$ 是 $L$ 中包含 $A$ 的最小中間擴張，即

$K(A):=igcap_{Finmathcal{F}}{F},quad mathcal{F}:={Fsubseteq L:Asubseteq F,L/F,F/K}$

當 $A$ 是單元集 ${a}$ 時，我們簡記 $K({a})$ 為 $K(a)$ ，叫做由 $a$ 生成的 $K$ 的擴張域。我們直觀地可以把 $K(a)$ 看作所有下面形式的元素構成的集合：

$c_0+c_1a+c_2a^2+cdots+c_na^n, c_iin K, i=0,1,2,dots,n$

或者說， $K(a)$ 是 $K$ 上的向量空間。我們把向量空間 $K(a)$ 在域 $K$ 上的維度記為 $[K(a):K]$

不過這裡有一個問題，就是這個擴充進來的新元素 $a$ 可能在進行任意次的加法和乘法複合後，還是不等於原來域中的元素；也就是說， $a$ 不是原來域 $K$ 上的多項式的根。那麼這樣一來， $K(a)$ 中的元素就不可能被有限的基表示出來；或者說，向量空間 $K(a)$ 在域 $K$ 上是無窮維的。這種情況成為 $K$ 的一個超越擴張， $[K(a):K]=infty$ ；上面 $1<[K(a):K]<infty$ 的擴張稱為一個（有限維）代數擴張， $[K(a):K]=1$ 的稱為平凡擴張。又或者說，代數擴張是舊域中引入了不可分解的多項式的根而生成的新域。

上一篇的結尾，我們構造出了有理數域 $mathbb{Q}$ 。有理數域是一個相當重要的集合，一方面它對算數是「封閉的」，或者說加減乘除都有著良好的定義；另一方面，它又十分「簡單」，這意味著能夠使用的工具很少，在有理數域上的問題的討論就比較困難。這時候，我們當然可以通過分析的思路，引入拓撲結構、度量結構、序結構，加入完備性公理而構造實數集，然後定義極限、加入測度結構、構造實數空間上函數的微積分等等等等。但是，這一條思路是每個學過數學分析的本科學生都心領神會的，我也不在這裡展開了。也許以後有機會，我們再回到這個話題上來吧。

我們現在想要從另一個思路，即域擴張，來看待有理數。實際上，這也是中學時引入「偽」實數概念的做法：把形如 $sqrt{2}, sqrt{3}, oot{3}of{2},pi,e,dots$ 之類的無理數引入我們的運算系統，使其成為一個足夠大的域（當然進行有限次這樣的域擴張並不能得到真正的實數域）。對於根號記號， $oot{m}of{n}$ ，我們可以把它看作是一個 $mathbb{N} imesmathbb{R}^{>0}$ 上的二元運算；但是從另一個角度來看， $oot{m}of{n}$ 是方程 $x^m=n$ 的根的簡記，所以當我們把域 $mathbb{Q}$ 擴張到 $mathbb{Q} (sqrt2)$ 時，可以看作是 $mathbb{Q}$ 本來無解的方程 $x^2=2$ 引入了一個新的根，再和原來域中的元素進行四則運算，擴充出來的新域。

講到這裡，我們有必要嚴格地描述一下有關域上多項式的概念。如果我們有一個域 $mathbb{F}$ ，那麼其上的 $n$ 次多項式構成一個集合： ${p:p(x)=sum_{i=0}^n{a_ix^i, a_iinmathbb{F}, a_n e0}}$ 。記 $mathbb{F}$ 上任意次多項式構成的集合為 $mathbb{F}[x]:={p:sum_{i=0}^n{a_ix^i,ninmathbb{N}, a_iinmathbb{F}, a_n e0}}$ 。易驗證 $mathbb{F}[x]$ 有如下性質：

$forall p,q, r inmathbb{F}[x]$

$p+q=q+p$
$(p+q)+r=p+(q+r)$
$pcdot q=qcdot p$
$(pcdot q)cdot r=pcdot (qcdot r)$

$exists 0inmathbb{F}[x]$

$p+0=0+p=p$

$exists 1inmathbb{F}[x]setminus{0}$

$pcdot1=1cdot p=p$

$forall pinmathbb{F}[x] exists(-p)=(-1)p$

$p+(-p)=(-p)+p=0$

所以， $mathbb{F}[x]$ 是一個環，又叫作域 $mathbb{F}$ 上的多項式環。

對於 $mathbb{F}$ 上的一個多項式 $p(x)$ ，它最高項的次數記為 $ext{deg}(p)$ 。如果它最高項的係數是 $1$ ，那麼我們稱這是一個（monic polynomial)(首一多項式？)。如果 $p(x)=a(x)b(x), a(x),b(x)inmathbb{F}[x]$ ，那麼我們稱 $p$ 整除 $a,b$ ，記為 $a|p, b|p$ 。和整數環中的情形類似，我們記兩個多項式 $f,g$ 的最大公因式為 $ext{gcd}(f,g):=pinmathbb{F}[x]land (p|f)land(p|g)quad ext{s.t.}quad forall q:(q|f) land(q|g)Rightarrow(q|p)$ ；最小公倍式為 $ext{lcm}(f,g):=minmathbb{F}[x]land (f|m)land(g|m)quad ext{s.t.}quad forall n:(f|n)land(g|n)Rightarrow(m|n)$ 。易驗證： $ext{gcd}(f,g)cdot ext{lcm}(f,g)=fcdot g$ 。

和整數一樣，多項式環上也有對應的如下引理（Bézouts lemma）：

$forall f,ginmathbb{F}[x] exists p,qinmathbb{F}[x]quad ext{s.t.}quad fcdot p+gcdot q= ext{gcd}(f,g)$

還有阿基米德引理（商、余多項式存在性）：

$forall f,ginmathbb{F}[x] exists q,rinmathbb{F}[x]quad ext{s.t.}quad f=qcdot g+r, 0leq ext{deg}(r)< ext{deg}(g)$

還有引理：

如果 $p(x)inmathbb{F}[x]$ 有根 $ainmathbb{F}$ ，那麼存在 $q(x)inmathbb{F}[x]$ 使得 $p(x)=(x-a)q(x)$ .

以及推論：

一個 $n$ 次多項式至多有 $n$ 個根。

接下來我們來看一個方程何時無解：一個多項式 $p(x)$ 如果除了自身（的常數倍）不存在次數大於 $0$ 的因式，那麼 $p(x)$ 就是域 $mathbb{F}$ 上不可約的多項式。當不可約多項式 $p(x)$ 的次數大於等於 $2$ 時，這意味著方程 $p(x)=0$ 在域 $mathbb{F}$ 上無解。與此相似地，如果

$forall g,hinmathbb{F}[x]: (f|gh)Rightarrow(f|g)lor(f|h)$ ，那我們說 $f$ 是素的。

我們有引理：

$f$ 是素的當且僅當其是不可約的
任意多項式都可表示為有限個不可約多項式之積

對於域 $mathbb{F}$ ，如果非零多項式 $f(x)inmathbb{F}[x]$ 可以分解為

$f(x)=cprod_{i=1}^{ ext{deg}(f)}(x-x_i), c e0, x_iin mathbb{F}$

那麼 $mathbb{F}$ 就叫做多項式 $f(x)$ 的分裂域（根域）。我們如果大於一次的多項式 $p(x)$ 在域 $mathbb{K}$ 上不可分，那麼我們記使 $p(x)$ 可分的最小擴張域為 $mathbb{K}(p(x))$ ，滿足對任何包含 $mathbb{K}$ 的 $p(x)$ 的分裂域 $mathbb{L}/mathbb{K}supseteqmathbb{K}(p(x))supsetmathbb{K}$ 。比如 $x^2-2=0$ 在 $mathbb{Q}$ 上是不可分的，那麼使它可分的最小擴張域 $mathbb{Q}(x^2-2)=mathbb{Q}(sqrt2)$ 。

有限維的代數擴張都可以看作對不可分多項式做最小擴張（及其複合）。

其實，我們可以看出，域擴張和上一篇文章中提到的思想是一脈相承的。都是加入新的元素使得原來無解的方程在更大的代數結構中有解；反過來，為了擴大代數結構，我們常常去找那些沒有解的方程，以此為「支點」進行「擴張」。在域上的擴張，由於這種代數結構對四則運算封閉，因此有更好的性質，便於研究；這也是上面引入域擴張的主要目的。

對於數域的研究遠沒有到此為止；實際上內容才剛剛開始。上面再講到 $mathbb{Q}(sqrt2)$ 的例子時，其實我們沒有討論完全。我們知道 $-sqrt2$ 也是方程 $x^2-2=0$ 上的一個根；那麼為什麼

$mathbb{Q}(x^2-2)=mathbb{Q}(sqrt2)$ ？難道 $mathbb{Q}(x^2-2)=mathbb{Q}(-sqrt2)$ 不也是成立的嗎？那麼多項式分裂的最小擴張域是不是唯一的呢？再進一步，如果我們把 $sqrt2$ 和 $-sqrt2$ 互換， $mathbb{Q}(sqrt2)$ 上的代數結構能不能保持？如果是，那麼是不是說明我們無法分別 $sqrt2$ 和 $-sqrt2$ 呢？我們怎麼描述這種對稱性？這種對稱性和域擴張之間又可能會存在那些聯繫？

這些問題把我們引向了代數中一個著名而優美的理論——Galois Theory.

PS：這篇文章其實從上個禮拜就開始寫了。本來想輕鬆地寫點數域擴張和方程解的對稱性的介紹，結果後面還是寫成了定理——引理的結構；一方面是我本事其實對這方面也是一知半解，很多細節都不清楚，只能趕緊找幾本書惡補一番，所以實在還沒有到那種化繁為簡的境界；另一方面，域擴張的許多概念沒有辦法避開多項式理論，與其到時候把不明不白的結論掏出來用，不如現在先列出來一些，可供校考，也能作為更一般的工具用到其他地方~

作為剛剛開始寫文章的萌新，我還想多說幾句。我發現知乎上大多數的數學問題還是局限於高中大一，偏分析計算方面，而代數方面的同等級問題就比較少見了。（當然水平高的我就不知道了，畢竟知乎的用戶方差大）所以我寫文章，一方面能過一把癮；另一方面，也希望這種主動提供的方式能讓更多人對偏代數的低年級內容產生興趣吧。作為一知半解的萌新，文章里出現錯誤是在所難免的了，所以如果有dalao發現歡迎指教；有興趣的讀者，當然，一方面可以嘗試把文中的引理證明一下，另一方面，如果有任何問題，或者需要引理證明的材料，歡迎私信（不過我也不一定會解答啊~）。另外，知乎的公式功能真的讓人非常「著急」，還一直出錯......（逃

哦，對了，計劃里還是有後續的，不過什麼時候寫就不一定了......嗯，就是這樣