微分方程這樣設置邊界條件是否合理？

02-23

我想要解這樣一個偏微分方程：
$[frac{partial y}{partial t}=afrac{partial ^2y}{partial x^2}-bfrac{partial y}{partial x}-c y,(a,b,cin mathbb{R})]$
邊界條件是：
$egin{equation}egin{cases} y|_{x=0}=y_0+y_1 cos ( ext{$omega $t})\ y|_{x ightarrow +infty }=y_2\ end{cases} end{equation}$
其中第二個邊界條件中： $y_2 eq 0$ ，且 $y_2$ 是常數
用疊加原理把這個問題分解為兩個子問題：

$egin{equation}egin{cases} frac{partial y}{partial t}=afrac{partial ^2y}{partial x^2}-bfrac{partial y}{partial x}-c y\ y|_{x=0}=y_0\ y|_{x ightarrow +infty }=y_2\ end{cases} ag{1} end{equation}$
和
$egin{equation}egin{cases} frac{partial y}{partial t}=afrac{partial ^2y}{partial x^2}-bfrac{partial y}{partial x}-c y\ y|_{x=0}=y_1 cos ( ext{$omega $t})\ y|_{x ightarrow +infty }=0\ end{cases} ag{2} end{equation}$
那麼，現在我有四個比較困惑的地方：
1. 這樣用疊加原理分解問題的方法對嗎？如果不對的話，那麼我該怎麼做？
2. 現實的物理模型是，只有周期邊界條件 $y_1 cos ( ext{$omega $t})$ 使得系統是非穩態的。如果沒有這個邊界條件，那麼系統就是穩態的。在這種條件下，我是否可以把子問題(1)改寫為：
$egin{equation}egin{cases} 0=afrac{partial ^2y}{partial x^2}-bfrac{partial y}{partial x}-c y\ y|_{x=0}=y_0\ y|_{x ightarrow +infty }=y_2\ end{cases} ag{3} end{equation}$
呢？如果不能的話，為什麼不能呢？
3. 假如我現在要解(3)的方程。這個方程實際上是一個常微分方程，得到通解：
$egin{equation}y=C_1 exp left(frac{b+sqrt{4 a c+b^2}}{2 b} ight)+C_2 exp left(frac{b-sqrt{4 a c+b^2}}{2 b} ight) ag{4}end{equation}$

那麼我沒辦法處理方程的第二個邊界條件了，因為(4)在正無窮遠處，第一項趨於正無窮，第二項趨於0，無論我怎麼設置 $C_1$ 和 $C_2$ ，邊界條件都沒辦法得到滿足。這是不是意味著，這樣的微分方程，我設置的第二個邊界條件是不合理的呢？是不是這種微分方程，我在正無窮遠點設置邊界條件，只能是 $y|_{x ightarrow +infty }=0$ 或者 $left.frac{partial y}{partial x} ight|_{x ightarrow +infty }=0$ 呢？
4. 如果我的方程的邊界條件設置沒有錯誤，那麼糾結我的思路哪裡出了問題呢？請大家指教，謝謝！

這。。疊加原理還是有個大問題的，直接看到最後就好了。

我先給題主做個示範，怎麼通過疊加原理來特定邊界條件下的解偏微分方程。

首先，對於通解來說，邊界條件一定是齊次的。只有在齊次邊界條件下，通解中的任意係數的變化均不在邊界上產生影響，才可能進一步通過初始條件定下係數。

剩下的就是特解了。特解就需要使得通解的邊界條件齊次化。

我想不清楚應該如何措辭了，我上面說的通解是對應的齊次（邊界條件的）方程的通解，包含若干待定係數，包含0解。實際的包含待定係數的解（這個才是通常說的通解）由特解和之前說的通解疊加而成。

對於樓主的問題來說，偏微分方程（話說為啥b,c前面的係數是負的，形式一點都不好看，哼唧！）

$[frac{partial y}{partial t}=afrac{partial ^2y}{partial x^2}-bfrac{partial y}{partial x}-c y,(a,b,cin mathbb{R})]$ (1)

的解 $y(x,t)$ 可以通過疊加原理得到其通解，

$y(x,t)=y_0(x,t)+z(x,t)$ (2)

我索性換一個符號表示，這樣就沒有歧義了。

其中

$egin{equation}egin{cases} frac{partial z}{partial t}=afrac{partial ^2z}{partial x^2}-bfrac{partial z}{partial x}-c z\ z|_{x=0}=0\ z|_{x ightarrow +infty }=0\ end{cases} end{equation}$ (3)

$egin{equation}egin{cases} frac{partial}{partial t}y_0(x,t)=afrac{partial ^2}{partial x^2}y_0(x,t)-bfrac{partial}{partial x}y_0(x,t)-c y_0(x,t)\ y_0(x,t)|_{x=0}=y_0+y_1cos(omega t)\ y_0(x,t)|_{x ightarrow +infty }=y_2\ end{cases} end{equation}$ (4)