微分方程和矩陣指數【MIT線代第二十三課】

0、前言

MIT線性代數課程精細筆記[第二十二課]筆記見

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該筆記是連載筆記，本文由坤博所寫，希望對大家有幫助。

一、知識概要

本節介紹一階線性常微分方程的矩陣解法，也就是將微分方程用矩陣抽象，通 過「解耦」，計算出對應係數，最終得到解。這裡會牽涉到?? ???? 計算問題， (A 是 矩陣)，所以也會引出冪指數是矩陣時算式的計算問題。最後擴展介紹了高階微 分方程的降階求解方法。

二．解微分方程

解決微分方程問題重點在於其流程，我們通過一道例題來介紹本部分內容。

不難看出，投影到實數軸，只有實數部分 a 決定正負性，而虛部 b 的作用是 在另一條軸上指明方向，所以不影響我們的判斷。

（2）穩態存在時（如【例 1】中最後 t 趨於無窮時，u 趨於一個確數），一個 特徵向量=0，其餘的特徵向量全部<0。

（3）如果有任何特徵值實數部分>0，則解無法收斂。

三．解耦與

3.1 解耦

3.3 矩陣指數

四．二階微分方程的解

b，c，d，e 都是方程中的係數，而且主對角線上的元素下的元素都是 0。這樣

的矩陣將五階微分方程轉化為一階向量方程。接下來只要使用一階微分方程正

常求解就可以了。

五、學習感悟

本節內容較多，主要目的是在實際情況下使用矩陣對角化，特徵值等方法求 解微分方程，給出了一種使用矩陣求解微分方程的通用規律，即高階降階，一階 用特徵值和特徵向量將原係數矩陣 A 解耦，最後得到結果。並介紹了在我們解耦 A 時使用矩陣對角化將其與特徵向量聯繫起來運算的方法。另外介紹了判斷收斂 性的方法，即看特徵值實部絕對值與 1 的大小關係。這些內容都是特徵值與特徵 向量的實際應用，較為重要。