Atiyah的青春數學之夢

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Atiyah的青春數學之夢

作者 Siobhan Roberts

翻譯 趙亮

校對 高斌、楊璐

邁克爾·阿蒂亞(Michael Atiyah)有著很多稱號：菲爾茲獎和阿貝爾獎的雙料得主；英國皇家學會(世界上最古老的科學團體)會長；愛丁堡皇家學會前會長；劍橋大學三一學院院長。邁克爾·阿蒂亞還曾被授予爵士封號並且獲得皇家勳章，同時也被譽為英國真正的數學教皇。儘管如此，在眾多的封號之中，對他最恰當的描述莫過於「媒人」(matchmaker)。邁克爾·阿蒂亞對於不同知識之間的聯繫有著敏銳的直覺，憑藉這種超凡的洞察力，他在半個多世紀的學術生涯中，不僅建立了數學領域裡許多看似並不相干的想法間的橋樑，還很好地將數學和物理融合在一起。

2013年春的某一天，當邁克爾·阿蒂亞坐在白金漢宮的女王美術館等待和伊麗莎白二世(Elizabeth Ⅱ)共享年度榮譽勳章的午宴時，他就為他一生的朋友和同事、數學物理學家羅傑·彭羅斯(Roger Penrose)爵士指引了一條方向。

當時，彭羅斯正致力於發展他的「扭量理論」(twistor theory)——這個理論已經被研究了近50年，開闢了一條通往量子引力學的新路徑。「我有一個解決它的方法，這個方法要考慮無窮的情況，」彭羅斯說道，「試著在無窮的情況下解決這個問題然後再回來。」他認為一定會有一個更簡單的方法。聽了彭羅斯描述的問題後，阿蒂亞當即想了想，然後建議彭羅斯試著用一種「非交換代數」。

「我當時就想『哦，我的天啊!』」彭羅斯說道，「我一直知道扭量理論中有非交換代數的存在，但從未想過使用非交換代數的方法。很多人都認為這樣並不會奏效，然而邁克爾可以很快地察覺到如何利用非交換代數，而且事實證明他的想法確實有效地解決了這一難題。」在阿蒂亞的建議下，彭羅斯改進並提出了著名的「華麗扭量理論」(palatial twistor theory)。

這就是阿蒂亞的力量。簡單來說，他用前半生建立了數學不同方向之間的紐帶，又用後半生建立了數學和物理之間的橋樑。

阿蒂亞最著名的成就是他和麻省理工學院的艾沙道爾·辛格(Isadore Singer)於1963年合作提出的「指標定理」(index theorem)。這一理論又被稱為阿蒂亞-辛格指標定理(Atiyah-Singer index theorem)，它建立了分析和拓撲之間的聯繫，這一聯繫在數學和物理領域中都有非常重要的應用。基於這一成就，阿蒂亞不僅獲得了1966年的菲爾茲獎，而且與辛格一同獲得了2004年的阿貝爾獎。

在上世紀八十年代，由指標定理得到的方法在弦論(string theory)的發展中起到了意想不到的作用。科學家們嘗試將宏觀的廣義相對論和微觀的量子力學結合在一起，尤其是普林斯頓高等研究院的弦論專家愛德華·威滕(Edward Witten)的工作。威滕和阿蒂亞就此展開了深入的合作，由此威滕在1990年成為首位獲得菲爾茲獎的物理學家，並且由阿蒂亞作為他的工作報告人。

現在，已經作為一位長者的阿蒂亞仍然致力於解決大問題，嘗試著編織量子力學和萬有引力之間的聯繫。在這個領域的前沿，新興思想不斷地更新和湧現。但正如阿蒂亞自己所說，這些僅僅是直覺性的、僅憑想像的、模糊不清的、令人難以理解的一些想法。

他仍然利用自己的創造力和已有的知識在這一領域發揮作用。為了將已有的觀察和思考為世人所熟識，阿蒂亞去年12月在愛丁堡大學一天接連做了兩場演講。自1997年開始，阿蒂亞就是愛丁堡大學的榮譽教授。他非常熱衷於分享他的新想法，並且希望可以吸引一些支持者。為了達成這一目的，他於11月在愛丁堡皇家學會主持了名為「科學之美」的會議。利用會議的間隙，Quanta Magazine對阿蒂亞做了一個簡單的採訪，以下是一些編輯整理過的訪談內容。

QuantaMagazine：您何時開始對美和科學產生興趣的呢?

阿蒂亞: 我出生於86年前，那便是我興趣開始的時候。我出生在佛羅倫薩，最初我的父母想要給我取名叫米開朗基羅。但是有人說，「對於一個小男孩，這個名字過於意義重大了。」如果真的叫米開朗基羅，於我而言那將是一個災難——因為我不會畫畫，也沒有任何繪畫的天賦。

QuantaMagazine：您曾經提到，在羅傑·彭羅斯名為「藝術在數學中的角色」(The Role of

Art in Mathematics)的演講中，一些東西讓您「靈光一閃」，促使您擁有了與他合作論文的想法。能否描述一下具體是什麼讓您「靈光一閃」呢?是演講的過程還是他的陳述?

阿蒂亞：那是一種你曾經看到過的東西，即真理或者真實存在，它就在那裡凝視著你。真理每時每刻都在看著你，你並不需要去尋找它。它就在紙上閃閃發亮。

QuantaMagazine：這通常是您獲得靈感的方式嗎?

阿蒂亞：這有一個精彩的說法。數學最讓人著迷的部分就是當一個想法在你的腦海中浮現的時刻。這個時刻通常發生在你睡覺的時候，因為那時你受到的拘束最少。想法就從天而降。它浮現在天空中，你看到它，讚歎它的色彩。它就在那兒。然後在某個階段，當你試圖去捕捉它，將它放在一個穩固的框架中，或者想將它由虛幻變為現實的時候，它就消失不見了。然而，它會被一個結構所代替，這個結構只捕捉到了某些特定的部分，這是一個讓人難以理解的解釋。

QuantaMagazine：您是否總有數學夢?

阿蒂亞：我想是的。這樣的夢有時發生在白天，有時發生在晚上。又或者，你可以將它們稱作幻影或者直覺。但本質上，它是一種想法——沒有文字，沒有圖像，沒有公式，沒有說明。它是所有這些具體形式的先兆，是柏拉圖主義的先兆，是最原始的靈感。再一次地，當你試圖抓住它時，它卻消失不見。因此，當你每天早上醒來，一些模糊的殘餘物徘徊在腦中，像是某種思想的幻影。你努力想要記起那是什麼，卻只能想起其中的一部分，那就是你所能做的全部了。

QuantaMagazine：想像是其中的一部分嗎?

阿蒂亞：當然!在想像中時間穿梭是輕而易舉的——你甚至不需要買票。人們回過頭去看，想像自己是宇宙大爆炸的一部分，然後詢問在那之前發生過什麼。

QuantaMagazine：是什麼引導著想像?是美么?

阿蒂亞：那不是一種你所能確切辨認出的美，而是一種更為抽象的美。

QuantaMagazine：不久前，您和倫敦大學學院的神經生物學家賽米爾·澤奇(Semir Zeki)以及一些其他合作者共同發表了一個研究，名為《探索數學之美及其神經聯繫》(The

Experience of Mathematical Beauty and Its Neural Correlates)。

阿蒂亞：這是我所寫過的讀者最多的文章。眾所周知，當你欣賞悠揚的音樂、押韻的詩詞或美麗的圖片時，大腦中的同一個部位會產生興奮，這一部位即「感性的大腦」，專業術語為眼窩額葉皮質(orbitofrontal cortex)。那麼問題來了：當你感受數學之美時，大腦中興奮的部位是一樣的么?答案是：是一樣的。大腦中用來欣賞音樂、藝術及詩詞之美的部位，也同樣用來領悟數學之美。這是一個重要的發現。

QuantaMagazine：您的這個結論是利用功能性磁共振成像(functional MRI)記錄數學家大腦對於不同數學公式的反應得到的。哪個公式贏得了最美數學公式的稱號呢?

阿蒂亞：最著名的歐拉恆等式！

這個公式包含了π，自然常數e，虛數單位i，還有數字1和0。它不僅在一個公式中結合了數學中所有最重要的符號，而且這個公式真的非常深刻。因此，大家公認其為最美的公式。我曾經說過，它在數學中的地位等同於《哈姆雷特》中的名句「to be, or not to be」——雖然很短、很簡潔，但同時卻很深刻。歐拉恆等式只有5個符號，但是包含了最美最深刻的思想。簡潔是美很重要的一部分。

QuantaMagazine：您憑藉兩個極其優美的工作為人所熟知，一個是著名的指標定理，另一個是和德國拓撲學家弗里德里希·希策布魯赫(Friedrich Hirzebruch)共同提出的拓撲K-理論。請簡單介紹一下拓撲K-理論。

阿蒂亞：指標定理和K-理論就像是同一枚硬幣的兩面。它們殊途同歸，你無法將它們分開。它們以不同的方式和物理學聯繫在一起。

拓撲K-理論研究平面空間和平面空間的移動。比如說，我們考慮一個球，就像地球，我們將一本大書放在地球表面並來回移動這本書。這就是一個平面幾何圖形在一個彎曲表面上移動的實際模型。K-理論研究拓撲與幾何中的這些情況。它可以運用於地球導航。

我們曾用來探索地球的地圖，也可以用來探索宏觀宇宙，向太空發射火箭，或用來探索微觀宇宙，研究分子和原子。我現在所做的就是試圖將所有的這些統一在一起，而拓撲K-理論就是研究這些問題很自然的方法。人們已經研究類似的「地圖」好幾百年了，今後我們或許還要再研究好幾千年。

QuantaMagazine：拓撲K-理論和指標定理在物理學中有如此重要的應用是否讓您出乎意料?

阿蒂亞：是的。我做這些幾何方面的工作時，完全沒有意識到會和物理領域聯繫在一起。當人們提醒我說「你做的工作可以和物理聯繫在一起」時，我感到非常震驚。因此我儘快地學習物理，和優秀的物理學家交流來理解這一切是如何發生的。

QuantaMagazine：您和威滕的合作是源於怎樣的契機?

阿蒂亞：1977年在波士頓遇到他時，我正在探尋物理和數學之間的聯繫。我參加了一個會議，會議上既有像威滕這樣的年輕小夥子，也有一些老年學者。我和威滕聊了起來，幾分鐘後我意識到這個年輕的小夥子比那些老傢伙們聰明得多。他明白我所說的所有的數學知識，我因此開始關注他。從那以後我一直和他保持聯繫。

QuantaMagazine：和他(威滕)一起工作是什麼樣的?

阿蒂亞：2001年，他在加州理工大學(Caltech)做訪問學者，並邀請我去那裡。在那裡我感覺自己又回到了研究生時代。每天早上，我會去學院找威滕，大概討論一個小時左右。他會給我布置家庭作業。然後我用接下來的23個小時努力完成作業。與此同時，他也會去做很多其他的事情。我們之間的合作十分緊密。對於我來說，這是一段非常不可思議的經歷，就像是和一位非常優秀的導師一起工作一樣。我的意思是，他總是能比我先知道問題的答案。如果我們觀點不一致，那麼結果總是他是對的而我是錯的。這讓人非常尷尬!

QuantaMagazine：您曾經說過，數學和物理之間令人出乎意料的內在關聯是最吸引您的地方——您樂於將自己置於一個未知的領域。

阿蒂亞：是的。你知道，很多數學工作都是有跡可尋的。一些人告訴你怎樣解決一個問題，然後你再做類似的工作。你每向前走一步，都是遵循著前人的腳步。偶爾，有人提出一個完全不同的想法，震驚所有人。剛開始的時候，人們不相信這個想法，直到最後人們認可了它，於是就引領了一個嶄新的領域。數學的進展是時斷時續的。它有連續性的發展，而一旦有人提出一個新的想法，便出現不連續的間斷。這些新的想法非常的關鍵，當有人提出它們的時候，它們就有了深刻的影響。可能我們就處在另一個新想法的邊緣。100年前愛因斯坦有一個好想法，現在我們需要另一個想法來帶領我們向前。

但是這個(得到新想法的)方式應是更具探索性的而不是指導性的。如果你試圖引導科學，那麼你只會令人們按照你所告訴他們的方向前進。所有的科學都來自於那些能夠發現有趣小路的人們。你需要用靈活的方式去探索，讓不同的人去嘗試不同的事情。這是件很困難的事情，因為除非你跟隨研究的潮流，否則你就找不到職位。

如果你擔憂未來，那麼你就只能循規蹈矩。這就是現代科學最大的弊病。幸運的是，當你到了我這個年紀，你就不再需要為這些事情而困擾。我可以暢所欲言。

QuantaMagazine：近來，您在嘗試用一些新的想法來打破物理學中的僵局嗎?

阿蒂亞：你知道，原子物理研究電子、質子、中子所構成的原子結構。在這個極其微觀的領域，大多數物理定律是適用的，但同時也存在著一個被忽略的力——萬有引力。宇宙中物體質量的存在產生了引力，由於引力沒有正值和負值，因此它無法相互抵消，只能疊加在一起。無論黑洞和銀河相隔多遠，它們都會對宇宙中的任何一處施加一個微小的力，即便是對電子或者質子。但是一些物理學家認為，「這個引力很小以至於你可以忽略它，我們無法測量這麼小的東西，即便忽略它我們也能解釋很多的物理現象」。而我認為，這樣的觀點是錯誤的。如果你糾正了這個錯誤，你會得到一個更好的理論。

我最近在重新研究一些大概100年前的想法，當時人們不能理解這些想法能夠帶來怎樣的結果，所以放棄了它們。物體和引力之間是如何相互影響的？愛因斯坦的理論是，如果你將一個小東西放置在空間中，那麼它將改變空間的曲率。當空間曲率變化之後，它又反作用於這個事物上。這是一套非常複雜的反饋機制。

我正在重新揣摩愛因斯坦和狄拉克的想法，並用新的視角來看待它們，我覺得我正在發現人們曾忽略的東西。我在填補歷史的漏洞，獲得新的發現。這就如同考古學家將舊的東西挖出來，或歷史學家找到一個新的手稿一樣，它們都會帶來新的曙光——這就是我正在做的事情。我並不去圖書館翻閱文獻，而只是靜靜地坐在家中，思考。如果你思考得足夠深入，那麼最終會得到一個好的想法。

QuantaMagazine：您的意思是，萬有引力不可以被忽略?

阿蒂亞：我認為，物理學家們遇到的所有難題都是因為忽略了萬有引力。你不應該忽略它。關鍵在於，如果你考慮了萬有引力，那麼數學上將會得到簡化；如果你忽略萬有引力，那麼你就把事情弄得更複雜了。

很多人認為，在原子物理中，無需考慮萬有引力。原子的規模非常小，以至於我們在進行計算的時候完全可以忽略它。在某種意義上，如果你僅僅想要得到答案，那麼這樣做是可行的。但是如果你想要全面地理解這個問題，那麼忽略它就是一個錯誤的選擇。

或許我是錯的，儘管我並不這麼認為。因為一旦你採用了這個想法，就會得到各種漂亮的結果，這時候數學上、物理上和哲學上都是統一的。

QuantaMagazine：威滕怎樣看待您的新想法?

阿蒂亞：哦，這是一個極具挑戰的事情。之前我曾跟他提到過我的一些想法，他認為這些想法是無效的，並且給出了10種不同的理由來證明為什麼這些想法不會奏效。現在，我認為我可以說服別人。我花了大量的時間思考，從不同的角度去思考這個問題，並再回過頭來反覆咀嚼。我希望我可以說服他承認我的新方法是有價值的。

QuantaMagazine：儘管您冒著喪失名譽的危險，但是您仍然認為這是值得的?

阿蒂亞：我的聲望是通過作為一名數學家得到的。如果我現在把它弄得一團糟，人們將會說：「是的，他曾是一名優秀的數學家，但在他生命將要結束的時候他喪失了理智。」

就在我進入物理領域的時候，我的一個朋友，約翰·鮑金霍恩離開了物理，他去了教會並且成為了一名神學家。在我80歲的生日上我們曾經討論過，他跟我說，「你沒有什麼可以失去的了，儘管勇往直前，去思考你想思考的事情。」這就是我現在所做的事情。我已經得到了我需要的所有獎項，我還能失去什麼?這就是為什麼我在冒著一個年輕學者不敢冒的風險。

QuantaMagazine：在學術生涯的這個階段，您對於新想法還有如此的熱情，是否連自己也感到吃驚?

阿蒂亞：我的一個兒子跟我說，「(這是)不可能的，爸爸。數學家通常在他們40歲的時候做出最出色的工作。而你現在已經超過80歲了。你不可能有一個好的想法了。」

如果你在80多歲的時候仍然清醒且保持理智，你就擁有活到這個年齡的優勢：你已看透一切。我現在86歲了，這是我還能思考新想法的最後幾年。新的想法無處不在，你從各處得到一些，現在時機成熟了，儘管五年前或十年前它可能還不成熟。

QuantaMagazine：有沒有一個一直指引著您的大問題?

阿蒂亞：我一直試著理解事物是如何工作的。如果得到一個公式卻不知道它的確切意義，我認為這是沒有意義的。我一直試圖深究事物背後的東西，所以如果我得到一個公式，我就知道為什麼會有這樣的公式存在。理解是一個非常困難的過程。

人們認為，當你寫下一個定理和它的證明的時候，你就變成了一名數學家。但其實這並不是開始，而只是結果。對於我來說，數學中的創造力來自於你把東西寫在紙上之前，在你試圖寫下一個具體的公式之前。你看到許多不同的事物並且在腦海中反覆揣摩，你試著去創造，就像音樂家嘗試創作音樂或者詩人試著寫詩。並不存在一個具體的創造法則，你必須用你自己的方式做事。不過在最後，就像一個作曲家需要把樂譜寫在紙上一樣，你也需要把你所思考的東西寫下來。在這整個過程中最重要的一步是理解。證明本身不能幫你理解，你可以有一個很長的證明卻不知道為什麼會是這樣的。為了理解它是如何起作用的，你需要對事物有一個本能的反應。你要嘗試著去感受它。

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