關於方陣的特徵值和特徵向量的思考

02-22

1、對於 $n$ 維方陣 $A$ ，在複數域中，定有 $n$ 個特徵值（可能相同）。但不一定有 $n$ 個特徵向量。若有 $m（m<n）$ 個不同的特徵值，則有某一個特徵值為重根。假設有特徵值 $a$ 為 $t$ 重根，那麼我們來討論特徵值 $a$ 對應的特徵向量一定有 $t$ 個嗎，即對應的特徵子空間一定為 $t$ 維嗎？答案是不一定，下面來看兩個例子。

第一個， $egin{bmatrix} 2&1\ 0&2 end{bmatrix}$ ，該方陣只有特徵值 $2$ 即為二重根，但其對應的特徵子空間只有 $1$ 維，即 $egin{bmatrix} 1\0 end{bmatrix}$ 。

第二個， $egin{bmatrix} 0& 1/2&1/2\ 1&-1/2&1/2\ 1&-1/2&1/2 end{bmatrix}$ ，其特徵值 $2$ 對應的特徵子空間為 $3$ 維。

2、不同特徵值對應的特徵向量是線性無關的。即使某一個特徵值對應多個特徵向量，這幾個特徵向量與其他特徵值對應的特徵向量仍能組成線性無關向量組。

3、方陣可對角化等價於方陣有 $n$ 個線性無關的特徵向量，等價於特徵子空間的維數和為 $n$ 。

方陣 $A$ 具有 $n$ 個線性無關特徵向量，且 $A^6$ 的特徵值均為 $1$ ，則 $A^6$ 為單位陣。證明如下： $A=S^{-1}VS$ , $V$ 為對角線為特徵值的對角矩陣。則 $A^6=S^{-1}V^6S$ ，因特徵值均為 $1$ ，則 $A^6=S^{-1}V^6S=S^{-1}I^6S=S^{-1}S=I$ 。

另外，各列和均為 $1$ 的矩陣， $n$ 次冪仍保持列和為 $1$ 。思考方式如下，方陣如下， $egin{bmatrix} A_1\A_2\A_3 end{bmatrix}$ ， $A_i$ 為行向量，也可以表示為 $egin{bmatrix} B_1&B_2&B_3 end{bmatrix}$ ， $B_i$ 為列向量。結果的第一列，為方陣各行分別乘以方陣第一列，則結果第一列的和為 $A_1B_1+A_2B_!+A_3B_1=(A_1+A_2+A_3)B_1$ ，即 $egin{bmatrix} 1&1&1 end{bmatrix} *B_1=1$ 。同理，所有列和均為 $1$ 。