二重外積公式怎麼證明？

02-22

二重矢積（a×b）×c=（a.c）b-（b.c）a怎麼證明（在任意的仿射坐標系下。）

記著，在Einsteins notation中， $(mathbf{a} imes mathbf{b})_i = epsilon_{ijk} a_j b_k$ 。所以， $left((mathbf{a} imes mathbf{b}) imes mathbf{c} ight)_m = epsilon_{klm} (epsilon_{ijk} a_i b_j ) c_l$ 。

因為 $epsilon_{ijk} = epsilon_{kij}$ ，可以寫成 $left((mathbf{a} imes mathbf{b}) imes mathbf{c} ight)_m = epsilon_{kij} epsilon_{klm} a_i b_j c_l$ 。另外，由於 $epsilon_{kij} epsilon_{klm} = delta_{il} delta_{jm} - delta_{im} delta_{jl}$ ， $left((mathbf{a} imes mathbf{b}) imes mathbf{c} ight)_m = a_i b_m c_i - a_m b_j c_j = (mathbf{a} cdot mathbf{c} ) b_m - (mathbf{b} cdot mathbf{c}) a_m$

只要通過任意一種坐標系證出來就可以在一切坐標系中用。。。所以。。。設a{x,0,0},b{x,y,0},c{x,y,z}。。。。。。完事

公式與坐標系無關，所以可以任選一個好用的......

先吐槽，題主這個「在任意的仿射坐標系下」，完全不知道在說什麼……

而且請題主善用百度，百度二重外積公式，第一個就是啊，說的很清楚，把a,b,c分量都寫出來，然後算一下就出來了。

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好吧，上面是裝傻。我猜測題主知道可以寫開分量證，但是說「在任意的仿射坐標系下」，怕是不喜歡那個證明吧。但是說法有問題啊，之所以能夠展開成分量形式並不是只在正交標架下證這件事情，而且由外積的線性性保證的。

不過湊巧，我也不喜歡這個證明，說一個以前學的時候想的證明吧。

不妨假設 $a,b$ 不共線，若共線的話兩邊都是0.這樣的話， $a,b,a imes b$ 在 $mathbb R^3$ 中線性無關，因此向量 $c$ 可以寫成 $xa+yb+za imes b$ 的形式.