4.1 Lebesgue積分|評註1-8

02-21

讀文章的各位新年快樂~在經過了為期兩周的紙醉金迷的過年生活之後終於打起精神來知乎更專欄了！然而

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評註1 本章的一些小結論都是在稍微強的條件下陳述的，但是習題裡面用的都是稍微弱一些的結論，這就很過分了，不就相當於說要我們重新證明一遍嗎！某貓把裡面可以弱化的結論都找出來了，寫在下面：

命題1 設實函數 $f$ 是 $E$ 上的非負可測函數， $E$ 可測，那麼：

（控制收斂）如果存在一個 $E$ 上的非負可積函數 $F(x)$ 滿足 $[f(x)leq F(x)qquad a.e.xin E]$ ，那麼 $f(x)$ 在 $E$ 上可積（其實這個結論沒什麼意義呢，在更弱的假定 $f$ 可測下才表現出價值）
如果 $f$ 在 $E$ 上幾乎處處有界，且 $m(E)<infty$ ，那麼 $f$ 在 $E$ 上可積。
（Beppo-Levi） ${f_k }$ 是 $E$ 上一列非負可測函數列，並且 $f_k (x)leq f_{k+1} (x)qquad a.e. xin E,forall kinmathbb{N}_+$ , $lim_{k ightarrowinfty} f_k (x)=f(x)qquad a.e.xin E$ ，那麼 $lim_{k ightarrowinfty}int_E f_k (x) mathrm{d} x=int_E f(x) mathrm{d} x$

因為十分簡單，所以這裡的定理就不證明了（逃

評註2 本章裡面周爺爺的一些小錯誤匯總

第141頁例6：周爺爺直接用了一個記號 $E$ 但是沒有解釋，在這裡 $E=[0,infty )$ ;
142頁評註的證明：下標有誤， $sum_{n=k}^{infty } m(E_n )>0$
148頁評註的證明錯誤，（同時結論也是錯的），錯誤在於不等式反號，應為 $sqrt{int_E (1+f^2 (x)) mathrm{d} x}geqint_E sqrt{1+f^2 (x)} mathrm{d} x$ ;
149頁習題5的提示應為 $e^a (x-a)+e^a =e^x Leftrightarrow x=a$ （雖然這個無傷大雅，直接做也能做的粗來）
定理4.15的證明，步驟i最後一行應該是 $leq 2int_{{x:xgeq N} } F(x) mathrm{d} x<frac{varepsilon }{3}$ ，也就是積分區域寫錯了（其實也無傷大雅，一般人都看得出來）
161頁例14的證明裡面步驟i，有一個集合寫錯了，應該是 $P_n ={xin P:g_n (x)<0}$

評註3 周爺爺的習題裡面某一題用特徵函數有點小題大做的意思，某貓第一次做的思路是直接用的集合運算，直接寫在下面以供娛樂：

習題1 ${E_n }subset [0,1]$ 是一列可測集。若 $mathrm{m} (liminf_{n ightarrowinfty } E_n )=0$ ，那麼對於任給的 $varepsilon >0$ ，存在一個 $[0,1]$ 的子集 $A$ 滿足 $mathrm{m} ([0,1]setminus A)<varepsilon$ 並且 $sum_{k=1}^{infty }mathrm{m} (Acap E_k )<infty$ 。

證明 $mathrm{m} (liminf_{n ightarrowinfty } E_n )=0Leftrightarrowlim_{n ightarrowinfty }mathrm{m} (igcap_{k=n}^{infty } E_k )=0Leftrightarrowforallvarepsilon >0exists n_{varepsilon } mathrm{m} (igcap_{k=n_{varepsilon} }^{infty } E_k )<varepsilon$

令 $A=igcup_{k=n_{varepsilon } }^{infty } E_k^c$ ，那麼有 $mathrm{m} ([0,1]setminus A)=mathrm{m} (igcap_{k=n_{varepsilon } }^{infty } E_k )<varepsilon$ ，並且 $sum_{k=1}^{infty }mathrm{m} (Acap E_k )=sum_{k=1}^{n_{varepsilon } -1} mathrm{m} (Acap E_k )<infty$

有興趣的讀者可以嘗試用特殊函數進行證明哦~

評註4 周爺爺在書上介紹了一個簡單的平移定理，但是那個結論的積分區域是全空間，而在寫習題的時候需要在一些全空間的真子集上面進行，因此補充這樣一個結論，證明略

命題2 設 $finmathrm{L} (mathbb{R}^n )$ ，那麼對於任意的 $yinmathbb{R}^n$ 以及 $Esubsetmathbb{R}^n$ ， $f(x+y)inmathrm{L} (mathbb{R}^n )$ 並且 $int_E f(x+y) mathrm{d} x=int_{E-{y} } f(x) mathrm{d} x$

評註5 一個弱智反例

設 ${f_k (x)}$ 和 $f(x)$ 滿足 $lim_{k ightarrowinfty } int_E f_k (x) mathrm{d} x=int_E f(x) mathrm{d} x$ ，那麼 $lim_{k ightarrowinfty }int_E vert f_k (x)-f(x)vert mathrm{d} x=0$ 不一定成立，反例是 $f_k (x)=leftlbraceegin{array}{cc} 1,&kleq xleq k+1\0,&其他end{array} ight.$ , $f(x)=leftlbraceegin{array}{cc} 0,&x<0\e^{-x} ,&xgeq 0end{array} ight.$ 此時有 $lim_{k ightarrowinfty } int f_k =int f=1$ ，但是 $lim_{k ightarrowinfty } intvert f_k -fvert =2$ 。