分析之[Banach 不動點定理]

02-21

現在這裡祝各位知乎er 2018年春節愉快. 遇到春節的我很感冒, 停更了一周, 這周一定會加倍補上的. 今天的這一節內容很有意思, 也很簡單, 供大家春節一樂吧.

這裡我們插入很有意義的一節內容, 簡要的介紹一下 Banach 空間. 這將對之後我們談到一致收斂很有用. 本節重點之一是 Banach 不動點定理. 下面先給出一個簡化版的定理.

令 $Iin mathbb{R}$ 是一個閉的(不要求有界)的區間. 函數 $f:I ightarrow mathbb{R}$ 有 $f(I)subset I$ , 並且滿足: 對於一個固定的 $hetain [0,1)$ , 有不等式

$|f(x)-f(y)|leqslant heta |x-y|quadforall x,yin I$
那麼 $f$ 在 $I$ 上必定存在唯一的不動點. i.e $xiin I$ 是 $f$ 的不動點, 那麼 $f(xi)=xi$ .

下面給出一個簡要的證明.思路是簡單的.

證明: 先證明不動點的存在性. 任擇 $x_0in I$ , 並以迭代的方式構造序列 ${x_n}$ : $x_n:=f(x_{n-1})~(ngeqslant 1).$

這一構造的合理性, 來自於條件 $f(I)subset I$ . 可以說明,這一序列是一個 Cauchy列: 對於 $n>m,m>1$ 有

$egin{align} |x_n - x_m|&=|x_n - x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+cdots+|x_{m+1}- x_m| \ &=|f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})|+cdots+|f(x_{m})- f(x_{m-1})| \ &leqslant heta(|x_{n-1}-x_{n-2}|+cdots+|x_{m+1}- x_m|)\ &leqslant sum_{i=m}^{n-1} heta^{i}|x_1 - x_0|\ &= heta^mfrac{1}{1- heta}|x_1 - x_0| end{align}$

而 $heta<1$ , 由此我們便可推出序列 ${x_n}$ 是一個 Cauchy列. 因 $mathbb{R}$ 是完備的, 這個序列必然收斂到某一 $xi in mathbb{R}$ , 而 $I$ 是閉的, 所以 $xiin I$ . 另外, 由滿足的不等式可知, 函數 $f$ 是連續的. 故有

$f(xi)=lim_{n ightarrow infty}f(x_n)= lim_{n ightarrow infty}x_{n+1}=xi.$

至此我們就證明了不動點的存在性.下面證明不動點的唯一性.

假若存在一個以上的不動點, 比如 $xi_1, xi_2$ 都是不動點, 那麼 $f(xi_1)=xi_1, f(xi_2)=xi_2$ . 由定理要求滿足的不等式, 有

$|xi_1-xi_2|=|f(xi_1)-f(xi_2)|leqslant heta |xi_1-xi_2|.$

注意到 $heta<1$ , 顯然只有 $xi_1=xi_2$ 才不致矛盾. 這便說明了不動點的唯一性.

[推論]
令 $Iin mathbb{R}$ 是一個閉區間. $f:I ightarrow mathbb{R}$ 是一個可微函數, 有 $f(I)subset I$ , 並且滿足: 對於一個固定的 $hetain (0,1)$ , 有不等式 $|f(x)|leqslant heta quadforall xin I.$ 那麼 $f$ 在 $I$ 上必定存在唯一的不動點.

前面講過度量空間, 度量空間中的元素之間定義了距離.度量空間是由距離生成的拓撲結構, 對於分析問題來說往往是不夠用的, 我們還需要考慮代數結構. 在代數學(線性代數部分)之[線性空間]中引入了線性空間的這一代數結構. 下面介紹的是一類很重要的度量空間: 賦范線性空間. 顧名思義, 把拓撲結構:距離,和代數結構:線性空間結合, 而且對於每個元素賦予了一個稱為「範數」的量.

令 $V$ 是 $mathbb{R}$ (或者 $mathbb{C}$ )上的線性空間. 映射 $lVertcdot Vert:V ightarrow mathbb{R}$ 稱為一個範數, 如果其滿足:

(i) 對於 $vin Vsetminus{0}$ , $lVert v Vert>0$ ;
(ii) 對於 $vin V, lambdain mathbb{R}$ , 有 $lVertlambda v Vert= |lambda|lVert v Vert$ ;
(iii) 對於 $v,w in V$ , 滿足(三角不等式) $lVert v+w Vertleqslant lVert v Vert+lVert w Vert$ .
賦予了範數的線性空間,便稱為賦范線性空間, 記為 $(V,lVert cdotlVert)$ .

作為一個度量空間, Cauchy序列的概念是自然要有的.

賦范線性空間 $(V,lVert cdotlVert)$ 上的序列 ${v_n}$ 稱為柯西列, 當 $forall varepsilon>0, exists N(varepsilon)in mathbb{N}, forall n,m >N$ ,有 $lVert v_n- v_m Vert$ .

在數列與級數一節就提到過完備的度量空間. 定義對於賦范線性空間是一樣的.

[Banach 空間]
對於賦范線性空間 $(V,lVert cdotlVert)$ , 若 $V$ 中的每一個 Cauchy 列, 都在 $V$ 中收斂, 那麼就稱其為完備的, 或稱 Banach 空間.

Banach 空間的一個子集稱為閉的, 指 $forall {v_n}subset V$ , 若 $v_n ightarrow v$ , 則 $vin A$ .

[Banach 不動點定理]
令 $(V,lVert cdotlVert)$ 為一 Banach 空間. $Asubset V$ 是一個閉子集. 函數 $f: A ightarrow V$ 有 $f(A)subset A$ , 並滿足不等式
$lVert f(v)-f(w) Vertleqslant hetalVert v-w Vertquad forall v,w in V$
其中 $heta$ 為一固定的數, 滿足 $0< heta<1$ . 那麼 $f$ 在 $A$ 上有唯一的不動點.