小結：關於四大力學

02-21

這篇文章沒什麼營養，只是做一點總結。

對於已經很成熟的四大力學，講解的切入點很多。一般的最中規中矩的講法最適合做第一遍的教材當然，也有一些書會從邏輯上用自己的思路去構造整個理論。就我個人而言，一般的在寫note的時候我比較喜歡自己去構造思路，而不是直接搬運中規中矩教材中的內容（當然，掌握不透的時候，我也就只能搬書了，然後補充一些細緻的說明）。

對於四大力學而言，要找到一種邏輯上比較合理的講法，切入點是很多的。這裡來簡單介紹一下我認為可行的思路，同時也歡迎大家補充。

於此同時，這個專欄關於四大力學中的傳統內容，也就告一段落了。

一，經典力學：

在實際問題中經典力學關注的模型有三種：質點，剛體，和流體。當然，剛體和流體的模型在質點模型的基礎上是可以給出來的，它們更像是解決某類實際問題的具體手段，不包含在基礎理論中。由此，下面我們只考慮質點。

1，從古典變分法出發：

牛頓力學的核心是 $F=am$ ，對於保守力可以寫為 $-frac{partial U}{partial r}=mr$ 。這是一個微分方程，每一個微分方程都有與之對應的積分型泛函求極值的問題，我們可以反過來去湊和 $-frac{partial U}{partial r}=mr$ 等價的泛函求極值問題，即： $S=int (T-U)dt$ 。

由此，這裡邏輯上的思路是：結合伽利略相對性原理等基本力學原理，逼出積分型泛函 $S$ 中拉格朗日量的表達式，進而得到描述力學系統泛函的形式，從而給出描述力學系統的微分方程。這也就是朗道開篇的講法了。

2，從位置和速度出發：

經典力學中需要確定質點的位置，從而必須引入坐標系和不同坐標系之間的變換。當位置確定之後，質點運動的信息還不能完全確定，因為同一路徑還可以用不同的速度去運動，即同一曲線可以用不同的參數化。由此，只有速度和位置都確定了，質點的運動才能完全確定下來。

由此，邏輯上的思路是：物理上確定位置而引入的坐標系，以及不同坐標系之間的坐標變換自然的賦予了質點構型空間（所有可能位置的集合）以微分流形的結構。我們記構型空間為 $M$ ，那麼很自然的其上切矢 $v$ 就是速度，切叢 $TM$ 中的點完全確定了質點的運動狀態， $TM$ 就是系統的狀態空間。勒讓德變換 $f:TM o T^*M$ 使得餘切叢 $T^*M$ 也可以作為系統的狀態空間。而餘切叢上有自然的恰當辛結構 $omega=dqwedge dp$ ，考慮其誘導的同構映射： $i_{X_H}omega=dH$ ，局部坐標系下寫為： $q=frac{partial H}{partial p}$ ； $p=-frac{partial H}{partial q}$ 。可見，只要給定 $T^*M$ 上的函數 $H=H(p,q)$ ，我們就可以確定光滑矢量場 $X_H$ ，進而給出 $T^*M$ 上的保辛結構流 $left{ phi_t ight}$ ，即系統狀態的演化。同理， $H=H(p,q)$ 在勒讓德變換下對應的 $TM$ 上的函數 $L=L(q,q)$ 也可以確定系統的演化。

3，從物理學量出發：

描述力學系統性質的物理學量有很多，它們的量綱自然也不同。物理學量之間，同量綱的可以加減，不同量綱的可以乘除。所有我們很自然的選取一個代數 $mathfrak{A}$ 作為物理學量的集合。其次，這個代數中並不是所有的元素都有物理意義，我們需要某種運算把代數中有意義的物理學量篩選出來，我們可以定義映射 $*:mathfrak{A} o mathfrak{A}$ ，滿足 $A^{*}=A$ 的元素被「挑選」出來作為有意義的物理學量。所有很自然的我們希望力學量的集合 $mathfrak{A}$ 是一個 $C^*$ 代數。

由此，邏輯上思路為：定義經典力學中力學量的集合構成一個對易的 $C^*$ 代數，一般它是函數代數，映射 $*:mathfrak{A} o mathfrak{A}$ 將實值函數篩選出來作為力學量。假定它是某個緊的Hausdorff空間上的函數，由Riesz-Markov定理可以給出 $C^*$ 代數的態： $omegaleft( varphi ight)=int_{N}^{}varphi dmu$ ，即：力學量的期望值。我們還可以確定狀態空間 $T^*M$ 即為相空間， $mu$ 為劉維爾測度， $muleft( O ight)$ 代表力學量停留在 $Osubseteq N$ 的概率。

二，電動力學：

電動力學的基礎就是Maxwell方程，面對實際問題，唯一要做的也就是求解Maxwell方程。不同與經典力學，電動力學的馬後炮還是很難打的。因為Maxwell方程是完全基於物理實驗的，如果硬要從邏輯上構造的話，會給人感覺太欽定，太生硬，物理上的理由不夠充分。這裡我沒有什麼太好的想法，只能羅列一些可能的切入點。

1，電動力學需要滿足狹義相對性原理，即洛倫茲協變性，故其中物理量必為時空流形 $M$ 上的張量場。然後，我們直接把 $U(1)$ 主叢上的聯絡拉倒底流形 $M$ 上作為矢勢： $A_{U} =isigma _{U}^{ast } ilde{omega }$ ，而主叢上的曲率拉到底流形 $M$ 上即為電磁場強： $F_{U} =-isigma _{U}^{ast } Omega$ 。

2，用標量場和旋量場在 $U(1)$ 定域規範變換下的不變性，逼出規範場 $A_{mu}$ ，同時給出規範場需要滿足的規範變換式，進而定義規範場的拉氏密度。

三，量子力學：

量子力學邏輯上去切入同樣不容易，實際操作起來一定是要結合實驗去說明的。不過，如果我們先總結S-G實驗中的實驗現象，發現量子力學中系統的狀態空間是一個內積空間。那麼，在此基礎上討論問題就會輕鬆很多

1，從線性空間出發：

假定量子力學中狀態空間是一個Hilbert space $H$ ，很顯然描述演化的流需要保內積，即流是一族單參數強連續酉運算元群 $left{ U(t) ight}$ 。進而，根據Stone定理：酉運算元群的生成元唯一，即： $U(t)=e^{-iHt}$ 。自伴運算元 $H$ 就是生成系統隨時間演化的力學量。

2，從力學量出發：

同經典力學相似，我們定義量子力學中力學量的集合構成一個非對易可分的 $C^*$ 代數，一般它是運算元代數，映射 $*:mathfrak{A} o mathfrak{A}$ 將自伴運算元篩選出來作為力學量。由其GNS構造即可得到 $C^*$ 代數的態： $omega(hat{A})=left( psi,pileft( hat{A} ight)psi ight)$ ，即：力學量的期望值。我們還可以確定狀態空間 $H$ 為復可分希爾伯特空間， $pi:mathfrak{A} o Lleft( H ight)$ 即為力學量的算符表示。

3，結合實驗：

這是我認為最科學的梳理方法。

先講有限維狀態空間：總結S-G實驗的結論，討論二維狀態空間的量子力學。然後討論自旋的耦合，依然是有限維狀態空間。之後在此基礎上給出量子力學的公理。

再講無窮維狀態空間：總結氫原子光譜的實驗現象，結合微分方程的邊值問題，類比有限維的情況，給出函數空間與自伴運算元的概念。結合物理概念指出無窮維情況中的基本概念與重要定理，最後再次說明量子力學的公理。

四，統計力學：

統計力學我目前沒有什麼好想法，感覺唯一比較好的思路就是從統計力學研究對象的性質，以及自由度過大導致力學方程無法求解開始，引入相空間上的空間分布。在遍歷性假設的條件下，時間平均等於空間平均： $lim_{T ightarrow infty }{frac{1}{T} int_{0}^{T} f(phi _tx)} dt=frac{1}{sigma (Sigma _c)} int_{Sigma _c}^{} f(x)dsigma (x)$ 。對於近獨立子系組成的系統，系統的相空間 $Gamma$ 可以分解為： $Gamma=mu imesmu imes,..., imesmu imesmu$ ， $mu$ 空間即為子系統的相空間。

對於近獨立子系組成的系統而言，從大量的硬幣，骰子組成系統的統計性質出發是比較好的。它們分別對應 $T o +infty$ 是的二能級系統和六能級系統。相比物理上三種粒子的分布，它們僅僅差了一個能量守恆的約束條件： $sum_{l=1}^{n}{varepsilon_l a_l}=E$ 而已。