泛函分析

Part I

1.簡述度量空間和完備性的定義，舉例一個不完備的度量空間。

2.敘述可分的定義，證明Banach空間l^1可分

3.敘述Arzela-Ascoli定理並證明：

{f in C[a,b]|f可導,abs(f)<=1,abs(f)<=1 x in }相對列緊。

4.敘述Hahn-Banach延拓定理並證明：

X是線性賦范空間，x_0 in X x_0!=0;

存在線性泛函f, s.t. f(x_0)=||x_0||; ||f||=1

5.寫出閉圖像定理，用范數等價定理證明閉圖像定理。

6.x in l無窮，x=(x_1,x_2,...,x_n,...); f=sum frac{x_n}{2^n};

求||f||.

Part II

1.X是無限維Banach Space,證明不存在X的可列子集E使得 spanE=X。

2.複Banach空間l^2中運算元T，x=(x_1,x_2,...,x_n,...),

Tx=(frac{x_1}{1},frac{x_2}{2},...,frac{x_n}{n},...)

證明T是緊運算元，求T的特徵值和特徵空間，並計算sigma (T).

3.T,S是Hilbert Space上的映射

<Tx,y>=<x,Ty>

證明T是有界線性運算元。

4.L={ f in Hol(D): abs(f(0))^2+(1/pi)*int abs(f(z))^2dA(z)<無窮

||f||={abs(f(0))^2+(1/pi)*int abs(f(z))^2dA(z)}^{frac{1}{2}}

Proof: L is a Hilbert Space,寫出內積

任意miu in D f->f(miu) 連續

用Riesz定理證明存在唯一K_{miu} in L s.t. f(miu)=<f,K>

寫出K_{miu}的表達式。