標籤：

不等式數學數學競賽

【不等式】丟掉次數：伯努利不等式及其應用

02-21

伯努利不等式一開始是在一本非競賽的書上看到的，後來競賽的老師也講了一下，主要是借鑒其證明的方法。

這篇文章難度也挺大的，不過證明部分很有意思~

一、伯努利不等式

設實數 $x>-1$ ， $ageq1$ ，則 $(1+x)^ageq1+ax$

證明1 當 $ain N$ 時，用數學歸納法證明：

①當 $a=1$ 時顯然成立

②假設 $a=k$ 時成立，那麼當 $a=k+1$ 時，由假設：

$(1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)geq(1+kx)(1+x)$

展開得到：

$(1+x)^{k+1}geq kx^2+1+(k+1)xgeq 1+(k+1)x$

所以原命題對 $ain N$ 成立

證明2 當 $ain N$ ， $x>0$ 時，也可以使用二項式定理：

$(1+x)^a=1+C_a^1x+...+C_a^{a-1}x^{a-1}+x^a$

$geq1+C_a^1x=1+ax$

但是以上證明只針對 $ain N$ 的情況，那麼當 $ain R$ 時怎麼辦？

高考中我們常常使用導數證明不等式，在這裡也可以借鑒。

證明3 構造函數 $f(x)=(1+x)^a-ax-1(x>-1,ageq1)$ ，注意到 $f(0)=0$

即證： $f(x)geq f(0)$ 在定義域 $(-1,+infty)$ 上恆成立

令 $f(x)=a(1+x)^{a-1}-a=a[(1+x)^{a-1}-1]=0$

$(1+x)^{a-1}=1$ ， $x=0$

即 $x=0$ 是 $f(x)$ 的一個極值點

在這裡用一個小技巧：通過判斷二階導數的符號來確定所得到的是極大值點還是極小值點。

如果二階導大於0，那麼一階導遞增並經過x軸，原函數先減再增。

因此，如果二階導大於0，那麼該點取到極小值；

相反，如果二階導小於0，那麼該點取到極大值。

$f(x)=a(a-1)(1+x)^{a-2}>0$ ，所以在 $x=0$ 處取到極小值，容易得到：

$f(x)_{min}=f(0)=0$ ， $f(x)geq f(0)=0$

所以 $(1+x)^a-ax-1geq 0$ ， $(1+x)^ageq1+ax$

證明4 當然也可以使用「廣義的二項式定理」，也就是高等數學中的冪級數展開式：

$(1+x)^a=1+ax+frac{a(a-1)}{2!}x^2+frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^n+...$

取該式的右邊的前兩項放縮得到： $(1+x)^ageq1+ax$

二、應用

（1）伯努利不等式的推廣

當 $0<ale1$ 時，不等式變為： $(1+x)^ale1+ax$

證明方法與上面類似，所以在這裡不再多說。

（2）將指數型的式子放縮為線性

下面這道例題來自某道不等式證明題的中間步驟。

例已知 $pgeq2, x>0$ ，證明： $x^{2p-2}-1geq(x^2-1)(p-1)$

分析注意到右邊有 $x^2-1$ ，因此左邊將 $x^2-1$ 湊出來後再用伯努利不等式放縮

證明 $x^{2p-2}=(x^2)^{p-1}=(1+x^2-1)^{p-1}$ ，由伯努利不等式：

$x^{2p-2}=(1+x^2-1)^{p-1}geq 1+(p-1)(x^2-1)$

整理後得到： $x^{2p-2}-1geq(x^2-1)(p-1)$

推薦閱讀：

※是不是很多放縮的題的題目都很簡單答案卻很複雜？為什麼？
※請教如何證明這個積分不等式？
※小議三元輪換不等式（更新中
※【不等式】舒爾不等式及其應用
※如何證明這個不等式?

TAG:不等式 | 數學 | 數學競賽 |