清華MOOC有限元課程學習筆記（四）

今天主要梳理的是有限元方法的基本步驟。

在第四篇開始前，對前三篇的工作做一個小梳理：

（1）QuYln：清華MOOC有限元課程學習筆記（一），這一篇介紹了一些基本概念，有限元的感性認識，以及桿單元的剛度方程，坐標變換等。

（2）QuYln：清華MOOC有限元課程學習筆記（二），這一篇用一個桿繫結構的例子，介紹了整個有限單元法的分析流程，並且用ANSYS作了模擬。

（3）QuYln：清華MOOC有限元課程學習筆記（三），這一篇將彈性力學的知識再次梳理，為之後的分析作了鋪墊。

（4）之後，MATLAB編程系列和變分法系列也作為有限元的鋪墊。

（5）參考文獻見QuYln：固體力學相關視頻公開課鏈接匯總，（七）。

一、近似求解的試函數方法：

（1）從直接求解兩類邊界條件下的三大類方程，到加權殘差法，已經逐步找到了近似的解法。在加權殘差對試函數的高要求（滿足兩大類邊界條件）下，又進一步推廣到能量原理，即最小勢能原理與虛位移原理，這個推廣的最大優勢是試函數只要求滿足位移邊界，而不需要滿足應力邊界，並且通過分部積分，降低了對試函數高階可導的要求。

（2）最小勢能原理等價於虛功原理，同時等價於三大類方程與兩大類邊界條件。

note：最小勢能原理不是近似解法，是精確的與原求解對象等價。

證明見：QuYln：[畫重點]變分方法在彈性力學中的應用（上）

（3）在全域尋找試函數求解的難點在於找到滿足複雜位移邊界的試函數。

（4）有限元方法的基本思路：

note：有限元方法與經典試函數方法的最大區別即有限元方法採用離散，集成。

（5）自然離散、逼進離散、混合離散：

自然離散：利用桁架本身的節點進行離散

逼進離散：人為劃分節點進行逼進

混合離散：在複雜結構中，有桁架結構，也有複雜結構，對複雜結構逼近離散

二、有限元分析的基本步驟：

（1）幾何域離散；

（2）單元研究，通過能量原理獲得單元方程（最核心步驟）；

（3）所有單元的剛度集成（得到總體剛度矩陣）；

單元剛度矩陣集成的過程中，首先要將局部坐標系下的單元剛度矩陣，轉換成整體坐標系下的單元剛度矩陣，再對應集成。

在矩陣位移法中，證明了總體剛度矩陣一定是奇異矩陣，必須添加邊界條件才可以求解。

先用位移邊界條件，簡化剛度方程，再求解。

（4）處理位移邊界；

（5）求解支反力；

（6）計算其餘物理場。

note 1：對1D拉壓桿單元的單元描述：

note 2：經典方法與有限元方法

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