關於麥克斯韋方程組的三兩事

02-21

引言

電磁現象在我們生活中處處存在，電腦手機等電子設備便是電磁學發展的代表產物。早在公元前2750年古埃及就記載過電現象，從十八世紀人們開始利用科學系統的研究，到十九世紀麥克斯韋給出了電磁方程組這一里程碑式的結果，這幾百年間，科學家們構建了經典電動力學的理論框架，而理論的出發點正是麥克斯韋方程組，本文將結合筆者上一篇文章變分法與分析力學的基本知識的部分內容對麥克斯韋方程組進行討論。

麥克斯韋方程組(Maxwells Equations)的不同形式

積分形式

電磁學課程的末尾給出了存在介質時積分形式麥氏方程組（麥克斯韋方程組的簡稱）

$egin{cases} displaystyle iint_{partial Omega} vec D cdot { m d}vec S＝q_f \ \ displaystyle iint_{partial Omega} vec B cdot { m d}vec S=0 \ \ displaystyle oint_{partial Sigma} vec E cdot { m d} vec l=-frac{ m d}{{ m d}t} iint_{Sigma} vec B cdot { m d}vec S \ \ displaystyle oint_{partial Sigma} vec H cdot { m d} vec l=I , + iint_{Sigma} frac{partial vec D}{partial t} cdot { m d}vec S end{cases}$

$其中 Omega subset mathbb{R}^3 qquad partialOmega為Omega的邊界 \ qquad , Sigma subset mathbb{R}^2 qquad partialSigma為Sigma的邊界$

我們將以積分形式出發，推導出各個形式的麥氏方程組

微分形式

推導前說明一下，微分形式有"一詞多義", 在微分幾何領域裡指

微分流形M上外形式叢的一個光滑截面.設 $omega: m M ightarrow Lambda( m TM^*)$ ，若對於外形式叢的叢射影 $pi$ ，滿足 $pi^circ omega=id$ ，則稱 $omega$ 為 $m M$ 上的微分形式，又稱外微分。

在微積分領域內，大家就比較熟悉了，微分形式通俗的講就是對物理量求導數。我們現在要推導的就是微積分背景下的微分形式。

筆者個人在學習過程中，也接觸了微分幾何，這門學科名稱里雖有幾何二字，但是抽象程度很高，還必須結合代數學習，自學起來有一些難度。因此，短時間內不能給出麥氏方程組的外微分形式。這個「坑」很大也非常有價值，未來筆者學習過後甚至會用幾篇文章組成一個專題來討論。

下面正式開始推導

先看第一個方程，利用數學上的高斯定理(Gauss-Ostrogradskys theorem)，可以化面積分為體積分

$iint_{partial Omega} vec D cdot { m d}vec S＝iiint_{Omega} abla cdot vec D { m d}V=iiint_{Omega} ho_f { m d}V =q_f$

其中 $ho equivfrac{q}{V}$ 為電荷密度,被積函數相等得

$abla cdot vec D= ho_f$

同理，由第二個方程可以得到

$abla cdot vec B=0$

再來看第三個方程，由斯托克斯定理(Stokes theorem)，線積分化為面積分

$oint_{partial Sigma} vec E cdot { m d} vec l=iint_{Sigma} ( abla imes vec E) cdot { m d}S=-frac{ m d}{{ m d}t} iint_{Sigma} vec B cdot { m d}vec S$

$vec B$ 是一個矢量場，在空間內一致收斂，求導和積分可以交換次序

$iint_{Sigma} ( abla imes vec E) cdot { m d}S= iint_{Sigma} -frac{partial vec B}{partial t} cdot { m d}vec S$

對比等式兩邊得

$abla imes vec E= -frac{partial vec B}{partial t}$

最後一個方程，需要引入電流密度矢量，具體為 $vec j equiv hovec v$ ，且 $I=iint_{Sigma} vec j cdot { m d}vec S$

再由斯托克斯定理(Stokes theorem)

$oint_{partial Sigma} vec H cdot { m d} vec l =iint_{ Sigma} ( abla imes vec H) cdot { m d}vec S =iint_{Sigma} vec j cdot { m d}vec S , + iint_{Sigma} frac{partial vec D}{partial t} cdot { m d}vec S$

因此

$abla imes vec H = vec j , + frac{partial vec D}{partial t}$

上式第二項 $vec j_D=frac{partial vec D}{partial t}$ 表示的就是位移電流(displacement current)

綜上所述，麥氏方程組的微分形式為

$egin{cases} displaystyle{ abla cdot vec D= ho_f} \ \ displaystyle abla cdot vec B=0 \ \ displaystyle abla imes vec E= -frac{partial vec B}{partial t} \ \ displaystyle abla imes vec H = vec j , + frac{partial vec D}{partial t} end{cases}$

波動方程形式

歷史上，麥克斯韋通過他的方程組預言了電磁波的存在，之後赫茲(Hertz)用實驗證實了麥克斯韋的預言。

單看我們目前給出的方程好像並不能直接和電磁波聯繫起來，所以需要將方程寫為能表徵電磁波的波動方程形式。

以下我們討論真空(vacuum)中的情況，沒有電荷，即 $ho=0 qquad vec j=0$ ，狹義的來說，真空「空無一物」，自然也不存在介質，於是各個物理量有如下的關係

$vec D=varepsilon_0 vec E qquad vec B=mu_0 vec H$

方程組簡化為

$egin{cases} displaystyle abla cdot vec E=0 \ \ displaystyle abla cdot vec B=0 \ \ displaystyle abla imes vec E= -frac{partial vec B}{partial t} \ \ displaystyle abla imes vec B= varepsilon_0 mu_0 , frac{partial vec E}{partial t} end{cases}$

利用矢量分析中的性質 $abla imes( abla imes vec X)= abla( abla cdot vec X)- abla^2 vec X$

對第三和第四個方程兩邊同時取旋度(nabla運算元 $abla$ 可以與對時間導數交換次序)

$abla imes ( abla imes vec E)=- abla^2 vec E=-varepsilon_0 mu_0 , frac{partial^2 vec E}{partial t^2}$

$abla imes ( abla imes vec B) =- abla^2 vec B=- varepsilon_0 mu_0 , frac{partial^2 vec B}{partial t^2}$

整理為

$egin{cases} displaystyle abla^2 vec E-varepsilon_0 mu_0 , frac{partial^2 vec E}{partial t^2} =0 \ \ displaystyle abla^2 vec B-varepsilon_0 mu_0 , frac{partial^2 vec B}{partial t^2} =0 end{cases}$

這就是波動方程形式，由方程我們能讀出波速 $v=frac{1}{sqrt{varepsilon_0 mu_0}}$

$varepsilon_0= 8. 854187817 imes 10^{-12} , F/ m$

$mu_0=4pi imes 10^{-7} , N/A^2$

代入計算得出 $v=2.99792458 imes 10^8 , m/s$ 這個值等於真空光速

所以真空光速 $c=frac{1}{sqrt{varepsilon_0 mu_0}}=2.99792458 imes 10^8 , m/s$

這組方程是齊次波動方程，可以告訴大家，我們能得到波動解，而且是在真空的波動解，這表明電磁波不同於機械波，可以在真空中傳播。

綜上，波動方程形式給了我們兩個重要結論：

電磁波的波速等於光速
電磁波傳播不需要介質，可以在真空中傳播

電磁勢形式

眾所周知，電場可以由電勢 $varphi$ 這一標量場來描述， $vec E=- abla varphi$ ，「對稱」地想，磁場是否類似，也能用一個勢描述。人們還真就構造出磁場的勢。

矢量分析中有 $abla cdot( abla imes vec X)=0$ ,這是一個很自然的結果， $abla$ 運算元也是一個矢量，簡單的來說， $abla imes vec X$ 是一個既與 $abla$ 垂直，又和 $vec X$ 垂直的矢量，當 $abla$ 與前者做點積必為 $0$ 。

那麼微分形式的第二個方程 $abla cdot vec B=0$ 可以寫作

$abla cdot vec B= abla cdot ( abla imes vec A)=0$

$vec B= abla imes vec A$

此處的 $vec A$ 就是磁場的矢勢

將上式代入第三個方程

$abla imes vec E=- abla imes frac{partial vec A}{partial t} quad Rightarrow$

$abla imes (vec E+ frac{partial vec A}{partial t} )=0$

由此我們可以引入時變場的標勢

$- abla varphi=vec E+ frac{partial vec A}{partial t}$

從而

$vec E=- abla varphi - frac{partial vec A}{partial t}$

這樣我們就用 $(varphi,vec A)$ 表徵了 $(vec E,vec B)$

之後的工作就是簡單的將結果帶入我們未使用的兩個方程,得到

${displaystyle {egin{aligned} - abla ^{2}varphi -{frac {partial }{partial t}}left(mathbf { abla } cdot vec {A} ight)& ={frac { ho }{varepsilon _{0}}} end{aligned}}} \ {displaystyle {egin{aligned} (- abla ^{2}+{varepsilon_0 mu_0 ,frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}})vec {A} +mathbf { abla } left(mathbf { abla } cdot vec {A} +varepsilon_0 mu_0 ,{frac {partial varphi }{partial t}} ight)&=mu _{0} vec j end{aligned}}}$

上式是一般規範的電磁勢形式麥氏方程組

電動力學中時常使用一種方便的規範，在這個規範下有

$mathbf { abla } cdot vec {A} +varepsilon_0 mu_0 ,{frac {partial varphi }{partial t}}=0$

麥氏方程組化為

可以看出在此規範下，麥氏方程組被簡化成為上述形式，這麼"方便實用"的規範稱為洛侖茲規範(Lorenz gauge).

最早麥克斯韋在構建電磁場理論時(1864年)，認為電磁勢 $(varphi,vec A)$ 是描述電磁場的最基本物理量，後來赫茲(Hertz)和亥維賽(Heaviside)等人則認為 $(vec E,vec B)$ 是電磁場的基本量，而 $(varphi,vec A)$ 是輔助量，即沿襲至今的經典電動力學的觀點。赫茲和亥維賽等人的觀點是積極的，他們在這種觀點的指導下，將麥克斯韋當初的電磁場方程組改寫成如今對稱形式的麥氏方程組。然而在近代，麥克斯韋的觀點重新受到重視，它孕育著新的內容，這就是規範場。

電磁場是典型具有規範不變性的場，同一組 $(vec E,vec B)$ 可以由不唯一的 $(varphi,vec A)$ 描述。後期的量子場論中，規範場(gauge field)都是非常重要的研究手段。

四維矢量表述的電磁場

四維矢量通常記為4-矢量
一般文獻中若未聲明取值，默認拉丁字母( $a,b,c...i,j,k...$ )取值 $1～3$

希臘字母( $alpha,eta,gamma,...,mu, u,sigma...$ )取值 $0～3$
愛因斯坦求和約定(Einstein summation convention):
上下重複指標表示求和，通常這類指標也稱為啞標
例如： $a_mu b^mu=sum_{mu=0}^{3}{a_mu b^mu}=a_0 b^0+a_1 b^1 + a_2 b^2+ a_3 b^3$

本文也服從以上規則

閔可夫斯基時空(Minkowski timespace)

之前的問題都是在 $mathbb{R}^3$ 及其子空間下進行討論，我們並沒有想過時間 $t$ 能否作為一個獨立坐標，與另外的三個空間坐標 $(x_1,x_2,x_3)$ 放在一起考慮。這種做法可行嗎？

答案是：Yes，不僅可行還很實用。

數學家和物理學家真的構造出了符合我們預期的時空——閔可夫斯基時空,以下簡稱閔氏時空。

為了理解閔氏時空，需要引入線元和度規張量的概念。

我們熟悉的三維歐幾里德空間中，度量距離的基本方法就是勾股定理，即

$s=sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$s^2=x^2+y^2+z^2$

寫成微分形式，無非在各個量前加微分號

${ m d}s^2={ m d}x^2+{ m d}y^2+{ m d}z^2$

這裡 ${ m d}x^2 equiv ({ m d}x)^2$

仔細看，上式其實就是線性代數中的正定二次型 $f(x,y,z)=X^TDX$ ，其中矩陣為

$displaystyle D= delta_{ij}=displaystyle egin{pmatrix} 1 & \ & 1 \ & & 1 end{pmatrix}$

這一對角矩陣通常稱為度規

事實上度規是一個線性空間上對稱、非退化的(0，2)型張量(tensor)，後面還會出現電磁場張量，我們暫時可以將張量當作矩陣，但究其本質來說這樣做是不嚴格的，限於篇幅，我們在本文不談太深，其嚴格理論可以閱讀參考文獻中北京師範大學教授梁燦彬老師的《微分幾何入門與廣義相對論》

類比歐幾里德空間，閔可夫斯基大膽的嘗試，將時間 $t$ 引入到坐標中

$s^2=(ict)^2+x^2+y^2+z^2$

${ m d}s^2=-(cdt)^2+{ m d}x^2+{ m d}y^2+{ m d}z^2$

其中 $i$ 為虛數單位， $c$ 為真空光速

上式的形式還可以更簡化，所以在此引入幾何單位制，令光速和引力常量

$c=G=1$

所以， ${ m d}s^2=-dt^2+{ m d}x^2+{ m d}y^2+{ m d}z^2$

我們記 $eta_{mu u}= egin{pmatrix} -1 & & & \ & 1 & & \ & & 1 & \ & & & 1 \ end{pmatrix}$ 稱為閔氏度規

若採用抽象指標記號(the abstract index notation)
$g_{ab}=g_{mu u} (e^mu)_a (e^{ u})_b$ $g_{ab}$ 稱為度規張量， $g_{mu u}$ 為張量的分量
$e^mu$ 和 $e^{ u}$ 分別為基矢（對偶基矢）
所以，在很多文獻或教科書上給出的度規如 $g_{mu u}$ ，實際上是度規張量的分量
當選定坐標系(coordinate system)後（以下省略抽象指標）
${ m d}s^2 equiv g=g_{mu u} , { m d}x^{mu} otimes { m d}x^{ u}$ 其中 $otimes$ 表示張量積
這就是常見的線元（度規張量）形式

從數學的角度講，閔氏空間是一個特殊的四維空間 $(mathbb{R}^4,eta)$ , 物理學中我們賦予參數 $t$ 時間的物理意義，在這一前提下，閔可夫斯基空間可稱為閔可夫斯基時空。空間和時空二字加粗來區別二者的關係，筆者有時會聽到類似「四維空間的第四個維度就是時間」的言論，這是很不負責任的斷言，有非常大的誤導作用。在物理學中，我們的研究對象是四維時空，這種情況下才能談某一維度具體是什麼。

而空間僅僅是數學中的抽象概念，如果不加背景去談某個維度的內涵是荒謬的。所以一定要分清空間和時空，本文的相關內容包括後續的狹義相對論都是在閔氏時空下討論的。

電磁場中的四維矢量

麥氏方程組將電磁總結成為簡明的四個方程，隨著愛因斯坦在1905年投稿的《論動體的電動力學》論文，相對論的建立拉開了序幕。愛因斯坦以更深刻的觀點再次將人類對電磁場的認知提升了一個新高度，他指出，電場和磁場互為對方的相對論效應。簡單來說，自然界本身不分電和磁，電和磁就是同一事物。在這一全新的觀點下，引出我們下面的內容。

既然電磁本是同一事物，那麼我們之前一些電和磁分開的物理量可以共同考慮了。

定義

1. 4-位矢（時空坐標）

$x^mu=(t,vec x)=(t,x^1,x^2,x^3)$

2. 4-電流密度

$j^{mu}=( ho,vec j)=( ho,j_1,j_2,j_3)$

3. 4-電磁勢

$A_{mu}=(varphi,vec A)=(varphi,A_1,A_2,A_3)$

4. 4-梯度

$partial^mu=(frac{partial}{partial t} , abla_i)=(frac{partial}{partial t} , frac{partial}{partial x^1} , frac{partial}{partial x^2} , frac{partial}{partial x^3})$

有了以上的工具我們就能定義電磁場張量(electromagnetic tensor)了

$F_{mu u}=partial _mu A_ u-partial_ u A_mu$

上式可知電磁場張量是一個反對稱張量，因為

$F_{mu u}=-F_{ u mu}$

不難看出當 $mu= u$ 時 $F_{mu mu}=0$

這表明電磁場張量在 $4 imes4$ 的矩陣形式下，對角線元素全為 $0$

度規張量(metric)的其中一個重要作用是升降指標(raising or lowering the index)，具體操作如下
$x_mu=g_{mu u}x^ u$ $x^ u=g^{mu u}x_mu$
本文雖未進行升降指標的操作，但我們給出的是協變形式的電磁場張量，之後可能會遇到逆變形式，利用升降指標可以建立二者間的聯繫
$F^{mu u}=eta^{mu alpha} F_{alpha eta} ,eta^{eta u}$

我們不加證明地給出電磁場的拉格朗日密度

$mathcal L=frac{1}{4} F_{mu u} F^{mu u} +j^mu A_mu$

這部分將用到筆者上篇文章提到的變分法

考慮作用量

$S[A^mu (x^mu)]=int mathcal L { m d}^4x =int (frac{1}{4} F_{mu u} F^{mu u} +j_mu A^mu) { m d}^4x$

其中 ${ m d}^4xequiv { m d} vec x { m d}t$ 是時空體元

對上式進行變分，又因為變分運算與微分運算的法則類似，所以

$delta S= int [frac{1}{4} (delta F_{mu u}) F^{mu u} +frac{1}{4} F_{mu u} (delta F^{mu u})+j_mu (delta A^mu) ] { m d}^4x$

變分運算可以和微分運算交換次序，其中 $delta F_{mu u}=partial _mu, delta A_ u-partial_ u , delta A_mu$ , 代入並分部積分得到

$delta S = int { m d}^4x [frac{1}{4} (partial _mu, delta A_ u-partial_ u , delta A_mu) F^{mu u} +frac{1}{4} F_{mu u} (partial ^mu, delta A^ u-partial^ u , delta A^mu)+j_mu (delta A^mu) ]$

$=frac{1}{4}(F^{mu u} delta A_ u-F^{mu u} delta A_mu+F_{mu u} delta A^ u -F_{mu u} delta A^mu) + int { m d}x^4 frac{1}{4} (-partial _mu F^{mu u}delta A_ u+ partial_ u F^{mu u}delta A_mu -partial^mu F_{mu u} delta A^ u+partial^ u F_{mu u}delta A^mu)+j_mu (delta A^mu)$

得出來的式子很長，我們分兩部分看

第一部分：

$F^{mu u} delta A_ u-F^{mu u} delta A_mu+F_{mu u} delta A^ u -F_{mu u} delta A^mu$

仔細觀察，結合前面給出的愛因斯坦求和約定， $F^{mu u}$ 分別與 $delta A_ u$ ， $delta A_mu$ 分別有上下重複指標，所以表示求和，在這一過程中產生了啞標， $F_{mu u}$ 的變動指標就變成了一個了，於是

$F^{mu u} delta A_ u-F^{mu u} delta A_mu=0$ ，同理

$F_{mu u} delta A^ u -F_{mu u} delta A^mu=0$

當然，初次接觸指標表述或不熟悉的朋友可能會想不通這一步，有個很樸素的方法就是將這些分量的求和寫開，最後會發現與我們得出來的結果是一致的。

第二部分：

$int { m d}x^4 (-partial _mu F^{mu u}delta A_ u+ partial_ u F^{mu u}delta A_mu -partial^mu F_{mu u} delta A^ u+partial^ u F_{mu u}delta A^mu)+j_mu (delta A^mu)$

注意到積分中的每一項依舊是上下重複指標的，如果我們將第一項和第三項的指標交換,並利用之前提到的電磁場張量的反對稱性會發現

$-partial _mu F^{mu u}delta A_ u=-partial _ u F^{ u mu}delta A_mu=partial _ u F^{mu u}delta A_mu$

注意第二個等號後，只改變了電磁場張量的指標，4-梯度和4-電磁勢的指標維持原樣

同理，第三項

$-partial^mu F_{mu u} delta A^ u=partial^ u F_{mu u} delta A^mu$

上式的指標均為啞標，於是有

$partial^ u F_{mu u} delta A^mu=partial _ u F^{mu u}delta A_mu$

綜上可得

$egin{aligned} delta S &=int { m d}x^4 (partial^ u F_{mu u} delta A^mu+j_mu , delta A^mu) \ \ &=int { m d}x^4 delta A^mu (partial^ u F_{mu u}+j_mu) =0 end{aligned}$

$qquad egin{aligned} partial^ u F_{mu u}+j_mu &=0 end{aligned}$

這就是麥氏方程組的四維表述形式

這種表述形式看上去與我們熟悉的微分形式相差甚遠，但不要擔心，下面我們就來證明兩者的等價性

為了討論方便，將方程簡單改寫成

$partial^ u F_{ u mu}=j_mu$

討論：

當 $mu=0$ 時， $partial^t F_{00}+partial^{x_1} F_{10}+partial^{x_2} F_{20}+partial^{x_1} F_{30} = ho$

$0 +partial^{x_1} (partial _{x_1} varphi-partial_t A_1) +partial^{x_2} (partial _{x_2} varphi-partial_t A_2) +partial^{x_3} (partial _{x_3} varphi-partial_t A_3) = ho$

令上式的 $varphi=-varphi$ （這步操作根據電磁場的規範性以保證後續得出結果的正確）

再由電磁勢形式的麥氏方程組可知 $vec E=- abla varphi-partial_t vec A \ E_{x_1}=-partial_{x_1} varphi-partial_t vec A_1 \ E_{x_2}=-partial_{x_2} varphi-partial_t vec A_2 \ E_{x_3}=-partial_{x_3} varphi-partial_t vec A_3 \ vec B= abla imes vec A$

立即得到

$abla cdot vec E= ho$ ,在SI制（國際單位制）下則為 $abla cdot vec E=frac{ ho}{varepsilon_0}$

以及對 $vec E=- abla varphi-partial_t vec A$ 兩邊取旋度得

$abla imes vec E=- abla imespartial_t vec A=- partial_t ( abla imes vec A)=- partial_t vec B$

當 $mu=1、2、3$ 時， $partial^t F_{01}+partial^{x_1} F_{11}+partial^{x_2} F_{21}+partial^{x_1} F_{31} =vec j_1 \ partial^t F_{02}+partial^{x_1} F_{12}+partial^{x_2} F_{22}+partial^{x_1} F_{32} =vec j_2 \ partial^t F_{03}+partial^{x_1} F_{13}+partial^{x_2} F_{23}+partial^{x_1} F_{33} =vec j_3$

$mu=1$

$partial_t(partial_t A_1-partial_{x_1} (-varphi )) +partial^{x_2} (partial _{x_2} A_1-partial_{x_1} A_2) +partial^{x_3} (partial _{x_3} A_1-partial_{x_1} A_3) =vec j_1$

同理 $mu=2、3$ 同樣如此處理，再將所得的三個式子相加得

$abla imes egin{vmatrix} hat x_1 & hat x_2 & hat x_3 \ \ displaystyle frac{partial}{partial x_1} & displaystyle frac{partial}{partial x_2} & displaystyle frac{partial}{partial x_3} \ \ A_1 & A_2 & A_3 end{vmatrix} =vec j + partial_t vec E$

中間的行列式恰恰等於

$egin{vmatrix} hat x_1 & hat x_2 & hat x_3 \ \ displaystyle frac{partial}{partial x_1} & displaystyle frac{partial}{partial x_2} & displaystyle frac{partial}{partial x_3} \ \ A_1 & A_2 & A_3 end{vmatrix} = abla imes vec A =vec B$

所以

$abla imes vec B=vec j +partial_t vec E$

現在我們由四維表述的麥氏方程組得到了三個微分形式的方程，至於最後一個方程，它實際上蘊含在 $vec B= abla imes vec A$ 中

兩邊取散度得到

$abla cdot vec B =0$

將方程展開的過程中，還可以推導出電磁場張量的矩陣形式

$F_{mu u} = egin{pmatrix} 0 & E_{x_1} & E_{x_2} & E_{x_3} \ \ -E_{x_1} & 0 & -B_{x_3} & B_{x_2}\ \ -E_{x_2} & B_{x_3} & 0 & -B_{x_1} \ \ -E_{x_3} & -B_{x_2} & B_{x_1} & 0 end{pmatrix}$

我們由電磁場的拉格朗日密度得到了四維矢量表述的麥氏方程組，並用新的方程導出了原本微分形式的4個方程，證明了其二者的等價性。

在寫作用量時，不僅要對時間積分還要對空間積分，所以被積函數就從拉格朗日量變為拉格朗日密度了。

結語

本文討論了麥克斯韋電磁方程組的不同形式，最後引入了四維矢量的表述，並證明了這樣的新表述和舊錶述的等價性。

前面提到了利用微分幾何中外微分形式表述的麥氏方程組，其形式簡潔優美，筆者將來學習過後一定會為其寫文章，把這一漂亮的理論呈現出來。

筆者引入的這一套四維表述是後續狹義相對論表述的基礎，在此之上引入洛侖茲變換從而在方程中加入相對論因子，將這一套理論推廣到相對論範疇。

麥氏方程組是電動力學的根基，同時它也是一部歷史，人們從自然現象和實驗中總結規律，到麥克斯韋將這些規律用數學語言匯聚成方程組，在這之後隨著一代又一代科學家的付出，麥氏方程組的形式也越來越多，由複雜到簡潔，從具象至抽象。

至今人們從未停止對電磁的本質探索，正是人類這樣的執著，為解釋電動力學而生的量子電動力學問世了，但是我們依舊不知道終極在何處。總之，路還很長，我們能做的只有看著書帶著疑問繼續前行。

下回預告

下一遍文章筆者將帶來關於量子力學的相關內容，內容包括但不限於利用薛定諤方程嚴格求解一維諧振子，以及氫原子。除了這兩大塊內容，其他的補充還沒有想好，筆者是邊學邊寫，所以要等本人看完書後再作定奪。

筆者的上篇文章和本文以及下篇文章是一個專題系列，本人戲稱其為"三部曲"，本系列取材自理論課的上課內容，經過筆者查閱文獻並學習思考後，補充了大量的非上課內容而成文的。

感謝理論組的各位老師傳授給筆者這麼cool的知識！

能力一般水平有限，文章若有不妥之處，懇請專業人批評指導。

參考文獻

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梁燦彬, 周彬. 現代物理基礎叢書；7 微分幾何入門與廣義相對論上冊[M]. 北京:科學出版社, 2006.