還沒想好標題1——拉格朗日力學

02-21

打算寫個系列的緣由是有一位對物理感興趣的計院好胖友，作為胖友，覺得肥腸感動，希望能帶到四大力學的門口。所以系列的內容假定讀者至少都有肥科的一般的數學物理學習背景。因為內容主要想展現框架和圖像，所以文風比較像抄筆記。後續更新大概是理論力學繼續到哈密頓力學，量子力學的基本原理，統計物理（電動力學一直沒怎麼用到過。。。（實際上是忘得差不多了））。如果能堅持更到統計。。。統計部分寫的會多一點。會有一些非平衡統計的內容。水平有限，歡迎指正和討論。

送給。

拉格朗日力學

達朗貝爾原理
拉格朗日方程
運動積分與守恆定律

達朗貝爾原理

約束

幾何（完整）約束：僅與幾何位形、時間有關，與速度無關的約束；
可積的微分約束：與速度有關但能通過積分轉換為完整約束的約束； $dot{mathbf{r}}_1-dot{mathbf{r}}_2=mathbf{v}_0 \ Rightarrowmathbf{r}_1-mathbf{r}_2=mathbf{v}_0t+C$
定常約束：約束方程與時間無關；
單側約束與雙側約束。

廣義坐標

廣義坐標的數目等於系統的自由度數；
廣義坐標彼此獨立且能夠完備地描述位形；
引入廣義坐標的意義：普通坐標中，需要求解3N個坐標的方程加上k個約束方程，引入廣義坐標後，只需求解關於廣義坐標的3N-k個方程；
[位形空間]由s個廣義坐標張成的s維抽象空間。

達朗貝爾原理

[虛位移]質點在某時刻所假想的能滿足約束條件的任意無限小位移。與實位移的區別在於實位移發生的時間 $dt eq 0$ ，而虛位移發生的時間 $delta t = 0$ ；且對於定常約束而言，實位移是虛位移中的一個。

從牛頓力學到達朗貝爾原理:

由牛頓力學

$mathbf{F}_i+mathbf{R}_i-m_iddot{mathbf{r}}_i=0$

其中F為主動力，R為約束力，下面引入虛功。

[虛功]

$egin{equation} label{eq::delta_w} delta W = sum_i(mathbf{F}_i+mathbf{R}_i-m_iddot{mathbf{r}}_i)cdot deltamathbf{r}_i = 0 end{equation}$

由於虛位移除了滿足約束外具有任意性，因此，
ef{eq::newton}與
ef{eq::delta_w}是等價的。而接下來我們都考慮理想約束，即約束力為約束的法向，因此，

[達朗貝爾原理]

$egin{equation} label{eq::d_alembert} delta W = sum_i(mathbf{F}_i-m_iddot{mathbf{r}}_i)cdot deltamathbf{r}_i = 0 end{equation}$

對於靜力學問題，由於慣性力部分為0，因此，

[虛功原理]

$egin{equation} delta W = sum_i mathbf{F}_icdot delta mathbf{r}_i = 0 end{equation}$

拉格朗日方程

從達朗貝爾原理到拉格朗日方程

先對虛位移進行展開，

$egin{equation} label{eq::delta_r_exp} egin{split} delta mathbf{r}_i &= sum_{alpha}frac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}delta q_{alpha} + frac{partial mathbf{r}_i}{partial t}delta t\ &= sum_{alpha}frac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}delta q_{alpha} ~~~ (delta t = 0) end{split} end{equation}$

將
ef{eq::delta_r_exp}帶入
ef{eq::d_alembert}，得到

$egin{equation} sum_i (mathbf{F}_i-m_iddot{mathbf{r}}_i)cdotsum_{alpha}frac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}delta q_{alpha} = sum_{alpha,i}[(mathbf{F}_i-m_iddot{mathbf{r}}_i)cdotfrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}]delta q_{alpha} end{equation}$

根據廣義坐標的獨立性，得到s個獨立方程

$egin{equation} sum_i[(mathbf{F}_i-m_iddot{mathbf{r}}_i)cdotfrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}] = 0 end{equation}$

[廣義力]

$egin{equation} Q_{alpha} = sum_i mathbf{F}_icdot frac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}} end{equation}$

引理
物理量 $A(q,t)$ 滿足 $egin{equation} frac{partial A}{partial q} = frac{partial dot{A}}{partial dot{q}} end{equation}$

證明：

根據全微分關係，

$egin{equation} dot{A} = sum_{eta}frac{partial A}{partial q_{eta}}dot{q_{eta}} + frac{partial A}{partial t} end{equation}$

$frac{partial A}{partial q_{eta}}$ 與 $dot{q}$ 無關，並且由廣義坐標的獨立性， $frac{partial q_{alpha}}{partial q_{eta}}=delta_{alpha, eta}$ ，因此，

$egin{equation} frac{partial dot{A}}{partial dot{q_{alpha}}} = sum_{eta}frac{partial A}{partial q_{eta}}delta_{alpha, eta} = frac{partial A}{partial q_{alpha}} end{equation}$

下面從廣義力出發得到拉格朗日方程。

$egin{equation} label{eq::l_eq_1} egin{split} Q_{alpha} &= sum_i mathbf{F}_icdot frac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}\ &= sum_i m_iddot{mathbf{r}}_icdotfrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}\ &=sum_i [frac{d}{dt}(m_idot{mathbf{r}}_icdotfrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}})-m_idot{mathbf{r}}_icdotfrac{d}{dt}(frac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}})]\ &=sum_i [frac{d}{dt}(m_idot{mathbf{r}}_icdotfrac{partial dot{mathbf{r}}_i}{partial dot{q_{alpha}}})-m_idot{mathbf{r}}_icdotfrac{d}{dt}(frac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}})] ~~~~ (Lemma)\ &= frac{d}{dt}frac{partial }{partial dot{q}_{alpha}}(sum_ifrac{1}{2}m_idot{mathbf{r}}_i^2)-frac{partial }{partial q_{alpha}}(sum_ifrac{1}{2}m_idot{mathbf{r}}_i^2)\ &= frac{d}{dt}frac{partial T}{partial dot{q}_{alpha}}-frac{partial T}{partial q_{alpha}} end{split} end{equation}$

在保守力情形下，有 $mathbf{F}_i = - abla_i V$ ，所以，

$egin{equation} label{eq::l_eq_2} Q_{alpha} = sum_imathbf{F}_icdotfrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}} = -sum_ifrac{partial V}{partial mathbf{r}_i}cdotfrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}} = -frac{partial V}{partial q_{alpha}} end{equation}$

將
ef{eq::l_eq_2}帶入
ef{eq::l_eq_1}，有

$egin{equation} frac{d}{dt}frac{partial (T-V)}{partial dot{q}_{alpha}} - frac{partial (T-V)}{partial q_{alpha}} = 0 end{equation}$

[拉格朗日量] L = T - V

拉格朗日量具有非唯一性和可加性。

若L是拉格朗日量，則

$egin{equation} L(q,dot{q},t) = L(q,dot{q},t) + frac{d f(q,t)}{dt} end{equation}$

也是拉格朗日量，其中f為任意函數。

[拉格朗日方程]

對於保守系統， $egin{equation} frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}} - frac{partial L}{partial q_{alpha}} = 0 end{equation}$
對於混合情形，設 $V$ 為保守力的勢能，非保守力的廣義力記為 $Q_{alpha}$ ， $egin{equation} frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}} - frac{partial L}{partial q_{alpha}} = Q_{alpha} end{equation}$

運動積分和守恆定律

[運動積分] 函數 $f(q,dot{q},t)$ 不隨時間變化，即 $frac{df}{dt}=0$ ，則稱f為運動積分。

時間平移不變性、能量守恆定律

若拉格朗日量不顯含時間，則

$egin{equation} egin{split} frac{dL}{dt} &= sum_{alpha}frac{partial L}{partial q_{alpha}}dot{q}_{alpha} + frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}}ddot{q}_{alpha}\ &= sum_{alpha}frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}}dot{q}_{alpha} + frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}}ddot{q}_{alpha}\ &= frac{d}{dt}(sum_{alpha}frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}}dot{q}_{alpha}) end{split} end{equation}$

[廣義能量]

$H = sum_{alpha} frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}}dot{q}_{alpha} - L$ 為廣義能量，對於具有時間平移不變性的系統，廣義能量為運動積分，即廣義能量守恆。

在廣義坐標下，動能

$egin{equation} egin{split} T &= sum_i frac{1}{2}m_iddot{mathbf{r}}_i^2\ &= sum_i frac{1}{2}m_i(sum_{alpha} frac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}dot{q}_{alpha}+frac{partial mathbf{r}_i}{partial t})^2\ &= sum_ifrac{1}{2}m_i(frac{partial mathbf{r}_i}{partial t})^2 + sum_{i,alpha}m_ifrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}cdotfrac{partial mathbf{r}_i}{partial t}dot{q}_{alpha} + sum_{alpha,eta,i}frac{1}{2}m_ifrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{alpha}}cdotfrac{partial mathbf{r}_i}{partial q_{eta}}dot{q}_{alpha}dot{q}_{eta}\ &= T_0 + T_1 + T_2 end{split} end{equation}$

所以， $egin{equation} H = T_2 - T_0 + V end{equation}$ ，當系統的約束為定常約束時， $frac{partial mathbf{r}_i}{partial t} = 0$ ，則有廣義能量等於總能量，即 $H = T + V$ 。

空間平移不變性、動量守恆定律

若拉格朗日量不顯含某一個廣義坐標 $q_{alpha}$ ，則對於 $q_{alpha}$ 是平移不變的，即

$egin{equation} frac{partial L}{partial q_{alpha}} = frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}} = 0 end{equation}$

[廣義動量]

$egin{equation} p_{alpha} = frac{partial L}{partial dot{q}_{alpha}} end{equation}$ ，若系統對於廣義坐標 $q_{alpha}$ 平移不變，則廣義動量 $p_{alpha}$ 為運動積分，即廣義動量守恆。

空間各向同性、角動量守恆定律

若系統整體在空間中任意轉動，力學性質保持不變，則系統具有空間各向同性。考慮無限小轉動 $delta phi$ ，則有 $delta q = delta phi imes q，delta dot{q} = delta phi imes dot{q}$ 。

$egin{equation} egin{split} delta L &= sum_{alpha}frac{partial L}{partial q}delta q + frac{partial L}{partial dot{q}}delta dot{q}\ &= dot{p} cdot delta q + p cdot delta dot{q}\ &= dot{p} cdot (delta phi imes q) + p cdot (delta phi imes dot{q})\ &= delta phi cdot (q imes dot{p} + dot{q} imes p)\ &= delta phi cdot frac{d}{dt}(sum_{alpha}q_{alpha} imes p_{alpha})\ &= 0 end{split} end{equation}$

[角動量]

$egin{equation} mathbf{M} = sum_{alpha} q_{alpha} imes p_{alpha} end{equation}$ 為系統的角動量，對空間各向同性的系統，角動量為運動積分，即角動量守恆。