Sato-Tate猜想的歷史記錄(梗概)

02-21

本文是難波完爾關於Sato-Tate猜想日本方面記錄的梗概。原文發表於津田塾大學數學史シンポジウム報告集――第16回數學史シンポジウム(2005)，共73頁。

1. 作者難波完爾，1939年出生於岡山縣。據作者本人的記錄，他於1962年3月畢業於岡山大學數學系，1962年4月進入東京教育大學數學系（1978年廢校，主體成為後來的筑波大學）攻讀研究生。

2. 作者在講自己與Sato-Tate猜想的工作之前，拉拉雜雜講了一大堆自己讀書時的事情。

3. 1962年，東京教育大學數學系購買了電子計算機HIPAC103。作者本人受到本校岩村聯教授的影響，與其他人合作進行了各種各樣的計算，譬如說驗證Goldbach猜想。

4. 作者回憶(應當是回憶1962年的事情)，那一年夏天的某個晚上，作者與佐藤幹夫以及岩村聯乘西武——池袋線回家。三人的住所都在這條線附近。途中三人去酒屋喝酒。在那裡兩位年長的人就問作者最近在做什麼。作者回答：我在用計算機研究Goldbach猜想。對方回應道：有個有意思的計算或許你不知道，做這個計算多少還有點意義，你要不要試試？這就是作者與模形式和谷山——志村猜想的頭次碰面。

5. 作者之後參與到用HIPAC計算機進行相關計算的行動中來。根據記錄，HIPAC的內存是磁芯構成的。內存地址位13位，共有8192字，每字由48位構成。計算中，兩條指令併入一個字送入處理器進行處理。共有110種不同指令，可以進行浮點數處理。日立生產了大約三十台這樣的計算機，絕大多數賣給了高校及研究所。

6. 以今天的標準看來一切都發生了天翻地覆的變化。空調在作者那時是計算機房的專屬設備。讀寫數據都是用紙帶咔嚓咔嚓讀出來寫進去。計算時紙帶讀寫器的聲音，打字機的聲音，機械運作的聲音，空調運行的聲音以及機油和臭氧的味道混雜在機房的整個空間里。總而言之，計算投入的能量不小，計算者的情緒也是很高漲的，正是所謂投入了熱度(情)的計算。

7. 作者自敘：

a. 可以靠聽空調的聲音判斷是否會出現故障。一旦聽到「啪嘰」的聲音，就意味著空調設備里的電流有大的變化。這一變化帶來的電磁振蕩會直接導致計算錯誤。

b. HIPAC 103的運算速度：加法0.4ms, 乘法1.8ms，除法6.5ms。作者想到自己寫文章時稍微老式一點的計算機都可以在兩分鐘內產生出數量上數倍於他們當年處理的數據，不禁有恍如隔世之感。

8. 根據作者的回憶，他們首先計算的是曲線 $C:y^2=x(x^2+x-1)$ [註：Conductor=20，Rank=0]對應的模形式[此處難波完爾的敘述容易讓人誤解，故作少量改動]

$f=eta(2 au)^2eta(10 au)^2$

其中 $eta(q)=q^{1/24}prod_{n=1}(1-q^n),q=e^{2pi i au}$ 。根據當時剛成型不久的谷山——志村猜想，曲線在 $mathbb{F}_p$ 上的點的個數與模形式 $f$ 第p項的係數 $a_p$ 有著一一對應的關係。作者需要計算的就是 $f$ 的q-級數的展開係數。

9. 佐藤考慮的不只是上面的 $f$ ，他還考慮了 $(eta(m au)eta(mn au))^p$

這樣的函數，其中 $(n+1)mp=24$

(整理者註：根據下文，佐藤本人可能在考慮含Euler積的Cusp form，因此q-級數首項必不為零，從而導出這個約束)。計算 $eta$ 函數及其乘積的q-級數展開需要用到Euler的五角數定理[更進一步說，Jacobi triple product]：

藉此可以大幅簡化計算。

10. 根據Hasse的結果，橢圓曲線的Hasse-Weil函數 $1-a_pT+pT^2$ 對幾乎所有的質數而言，它們的兩個根的虛部都不是0。換言之， $vert a_pvert<2sqrt{p}$ 。佐藤本人試圖進一步研究的是：這個係數隨p的變化是什麼樣的？這就需要數值計算來積累數據。兩個根都是虛根，這意味著兩個根的模都是 $1/sqrt{p}$ 。那麼緊要的就是研究根的幅角隨p的變化情況。佐藤本人考慮了種種幅角分布的可能，這時需要的正是數據的支撐。有了Euler五角數定理以及Jacobi乘積，下面所做的無非是冪級數的形式運算。

11. 佐藤以及難波等人一直計算到質數 $papprox 14000$ 處的係數。為了研究Hasse-Weil級數根的分布，需要進行繪圖。佐藤貼了一張告示，雇了兩個學生在50*80平方厘米的繪圖紙上表示所有的復根。(吐槽：這至少有一千個點，正是苦力該做的事情-_-|||)同時計算機上還有兩項工作：其一是數值計算Hasse-Weil函數的根，其二是驗證 $C$ 在 $mathbb{F}_p$ 上的點的個數等於 $p-a_p$ 。這些工作一直延續到1963年。

12. 數據顯示，[如果取幅角在0到pi之間的復根],那麼幅角的分布似乎關於pi/2對稱，顯示出兩頭低中間高的特性。但是一開始並不肯定這分布具體的表達式是什麼。起初的猜想是 $~csin^{k}( heta)$ ，但是k是什麼數並不能確定。

13. 1963年4月佐藤寄給難波的明信片中寫道：

數日前に永島君が、 $frac{1}{2}(a_p+sqrt{a_p^2-4p})$ の角分布を出してくれました。大體思った通りのものになったようです。役に立つ結論が出そうです。いづれ落著いてからまた余紙をかくつもりです。

[幾天前永島[孝]得到了 $frac{1}{2}(a_p+sqrt{a_p^2-4p})$ 的幅角分布。和我想的差不多。得到的結論是有意義的。等安頓下來再用別的紙寫給你。]

14. 1963年佐藤寄給難波一封長信。信的開頭日期為[1963年]5月13日。

……それはさておき、同封するのは3月に君が計算した例の楕円母數形式……の偏角の分布を、永島君に実行して貰って結果に、少し整理を加えたものです。……
グラフの方も、見れば意味は解るでしょう。この場合、実際の度數分布を「確率変化」と見るとき、期待値からのズレの大きさを示す標準偏差を點線で示しておきました。（これは、正しくは二項分布を使って算出すべきだが、近似的にPoisson分布で代用できる。そうすると、図中の平均値をN（=1650/18=91.7）とすると、期待値の曲線は $2Nsin^2 heta$ 、標準偏差は $sqrt{2Nsin^2 heta}=sqrt{2N}sin heta$ 従って點線の曲線は $2Nsin^2 hetapmsqrt{2N}sin heta$ となる。）
図と表とから推定されるように
$alpha_p$ の角分布が $sin^2 heta$ に比例する。
という仮説は極めて確からしいと言えます。このことは、落著いて充分時間をかけて考えれば、現在の我々の能力でもたぶん理論的に説明できるだろう、と思うのですが、いま差當たってはそのようなheavyな頭脳労働は気が重いので、それはしばらく後廻しにして、もう少しいろいろと、筋肉労働で実行できる資料収集をしたいと考えています。……
$eta( au)^2eta(5 au)^2$ 以外の分、つまり $eta( au)^2eta(11 au)^2,eta( au)^4eta(5 au)^4,eta( au)^2eta(2 au)^4,eta( au)^8eta(2 au)^8,eta( au)^{12},eta( au)^{24}$ など、についても、永島君のProgramを使って、 $heta_p$ の分布表を作ってくれませんか。僕の予想では、これらはすべて上と同じ $sin^2{ heta}$ 則に従うだろうと、期待しているのですが。

從這裡可以看出，佐藤在1963年5月已經非常確定，這些模形式的係數的分布遵從同一法則。他認為當時的知識足夠對他發現的分布作一些理論上的研究，但是證明到50多年後才得以完成。

15. 難波本人後來又對虧格為2的曲線展開探索，那是在1964年。但精準表述其Hasse-Weil函數根的分布已經遠遠超出當時人的能力。欲知詳情，請點這裡。