標籤：

如何利用各品種的相關係數矩陣在決定品種分配時最大化夏普率？

02-20

如下圖，求各位大佬指教。

11.30更新，這個答案好像有人看，我重新組織一下吧。之前寫的不少地方有問題。

我們用 $R$ （一個隨機向量）表示每個投資品種的超額回報率，那麼對應的的期望為 $r = mathbb{E}[R]$ ,協方差係數矩陣是 $V = mathbb{E}[RR^T]-rr^T$ ；題主所說的相關係數矩陣應該是 $Sigma = ext{diag}(V)^{-frac{1}{2}}V ext{diag}(V)^{-frac{1}{2}}$ . 我們假定 $r, V,Sigma$ 均已知。

首先，什麼是SharpRatio？

Sharpe ratio = (Mean portfolio return ? Risk-free rate)/Standard deviation of portfolio return (from http://www.investopedia.com/terms/s/sharperatio.asp)

假如我們對各個投資品種的頭寸是 $h$ (一個列向量)，那麼我們投資組合的SharpRatio可以表示成 $frac{h^Tr}{sqrt{h^TVh}}$ 。為了得到最大的SharpRatio，我們解下面的優化為題就可以了:

$max quad frac{h^Tr}{sqrt{h^TVh}}$ .

但這個問題可以有比較closed-form的最優解，一個比較重要的觀察就是對於一個給定投資組合 $hat{h}$ ，那麼對任何常數 $delta$ ，投資組合 $delta hat{h}$ 具有相同的SharpRatio。這樣，我們就可以在固定預期收益率 $h^Tr$ 的情況下最小化 $sqrt{h^TVh}$ ，即最小化 ${h^TVh}$ 就可以了，優化問題變成了

$min quad h^TVh\ h^Tr = 1$

上面這個問題的最優解是可以直接給出的給出的（解的過程可以再Active Portfolio Management這本書裡面找到，不過也不麻煩，就不寫了），即

$h^* = frac{V^{-1}r}{r^TV^{-1}r}$ 。

當然，這個是在非常寬泛的結果下給出的解，在更加具體的場景下面可能會有不同的要求，比如在中國股票市場內不能做空，那麼會有 $h_i geq 0 , forall i$ ；為了控制風險要求總的倉位不能超過某個限制，單個品種的投資比重不能過大，就會有 $sum_i h_i leq eta\ h_i leq alpha, forall i$ ，一般而言這些條件都是凸的，我們不妨用 $mathcal{X}$ 表示滿足這些條件的區域，即feasible region。那麼，我們感興趣的問題就是如何求解

$max quad frac{h^Tr}{sqrt{h^TVh}}\ ext{s.t.}quad hin mathcal{X}$

為了進一步化簡目標函數，我們加入一個另外一個簡單的 $h^Tr geq 0$ , 這麼做是合理的，因為在最優解一定滿足這個條件。

這樣我們可以把目標函數進行平方並如下化簡

$left(frac{h^Tr}{sqrt{h^TVh}} ight)^2\ = frac{h^Trr^Th}{h^TVh} \$

ref

[1] Grinold, Richard C., and Ronald N. Kahn. "Active portfolio management." (2000).

[2] Investopedia

[3] Dahl, Joachin, and Lieven Vandenberghe. "Cvxopt: A python package for convex optimization." Proc. eur. conf. op. res. 2006.

對於進行資產配置這一問題，

1.最簡單最簡單的方法肯定就是Markowitz的均值-方差模型了，但不管是用情景分析法還是歷史模擬法，均值-方差模型對所需要的輸入參數，即預期收益率和協方差都具有高度敏感性。

2.一個對上述模型的改進，也是後來高盛比較常用的模型，是Black-Litterman模型，由Fisher Black和Robert Litterman在1992年首先提出。

對於Markowitz模型和BL模型的說明，我幫題主找了一個比較簡單的ppt，Black-Litterman模型的初步介紹及應用。如果還想具體操作試一試，我又找了一個excel，black-litterman模型，自己去看吧。

網上這方面的資料有很多，百度文庫都有一大堆。如果要想更好的了解，建議還是先去Jstor或者Google學術上看原本的文獻，再結合一些其他資料具體應用。

印象中學過一個shrinkage的方法來做portfolio optimization。

這個問題建議拆分成幾個問題來看

1、品種相關係數高，不代表經過策略分析加工後相關係數一定高。

舉個極限案例，比如X序列（0.1.1.0），Y序列（2.3.34），策略f(x)=0,經策略分析後，序列都變成（0.0.0.0），相關度從低相關變成高相關。

2、如何提高夏普率

大的方向是一致的，就是不斷組合。但是我認為夏普比率是逐步提升的過程，不是一步到位的過程。

a、品種篩選

策略不能保證適應所有品種，所以策略有自適應範圍。

可以通過每個品種分配頭寸的調整（極限情況下，某個品種的資金可以分配為0），降低策略與品種不匹配導致的虧損。

b、交易系統要保證每個品種組合模塊都是盈利的（最好是穩定盈利）

交易系統包括策略、資金管理（主要指單品種加減倉）和組合。其中最核心的策略必須要通過壓力測試，壓力測試級別分為多參數壓力測試、多周期壓力測試、多品種壓力測試。

後續還有若干環節，但是本人不擅長語言組織能力，比較擅長畫圖說明。只能根據我做過的一個小批量統計結果來證明組合越豐富，夏普率越高，抱歉沒有更多貼圖說明。

最近也在整理一些資料，發到知乎上求交流，若你在上海，有機會可以大家交流一下

上海量化投資學會第三次研討會順利舉行——這個鏈接是我前一段剛參加的一個上海交流會照片，其中關於交易系統構成和功能的圖片是我的經驗總結，供參考

這個問題和多因子選股裡面給各個因子分配權重，是一樣的問題。

推薦閱讀：

※匯付天下怎麼樣，有誰了解過匯付天下這家公司的嗎？
※從美聯儲加息到王思聰解讀樓市毒奶一波

TAG:金融 |