關於連續複利，到底應該如何理解？

02-20

連續複利：是指在期數趨於無限大的極限情況下得到的利率，此時不同期之間的間隔很短，可以看作是無窮小量。
然而我翻閱一些論文發現，對於連續複利，大家也是頗有爭議，因為我們平常理解的年複利的現金流同樣是連續的，比如本金100元、年利率10%的存款半年後取出的話還是能獲得部分利息的。所以連續複利的連續到底意在何處？

連續複利，是一種理論上的付息方式，現實中根本不存在，也不具備可操作性。在學術上，它有許多數學上的好處，方便我們在分析複雜金融問題的時候，剝離離散的付息對連續的價格函數所造成的影響。John C. Hull的衍生品聖經在開始的幾章裡面對連續複利的好處有過比較詳細的論述（這是我模糊的印象了。。。太多年以前讀的書）

簡單粗暴點說，連續複利的公式以e為底數，可積可導指數可加，對於做數學推導來說，實在性質太好了。

這就是一個搞理論金融的人，幻想出來的付息方式。實踐中沒有人用，但是對於許多定價模型卻是必不可少的。

人們常說的利息，實際上是票面利息，只是到時間需要支付的現金流而已，與本金只是支付時間和額度上有不同，其實沒有太大本質上的差別。零息債就沒有票息，但可以說它沒有利息嗎？肯定有利息，因為零息債是有利率的。

誰都認同，利息是債權人在債務上獲取的回報，問題是如何來衡量回報。顯然不可以使用利息（實際上是票息）的大小來衡量，因為利息是個絕對值，無法比較，即便是相同的利息，由於實際支付時間的不同，其價值也是不一樣的。所以必須使用利率來比較，而且要使用相同的利率計算方式。歸根結底，利率是用來比較，計算，和推導債務價值的重要變數。

（以下內容全部是無違約風險的債券）

實際上利率是在隨時間不停變化的，或者說債券的價值是在不停變化的。大家都知道，平價債券的到期收益率等於票息率，如果市場利率不變化，或者說債券的價格不變化，那麼你在債券的任何時刻計算它的利息（到期收益率）都是不變的。一旦債券價格發生了變化，利率也產生了變化。連續複利的作用時間是瞬間的，它在數學上反應了利率隨機變化的微分過程，如果市場上不存在套利機會，所有期限利率都應該等於它的積分路徑的函數。只要知道連續複利的隨機過程，就可以計算任意期限的債券價值，也就是說可以產生任意的利率期限結構，這也是金融工程中一項最重要的內容。

你說的那是單利，本金永遠不變，按照10%的利率連續計算利息。

複利是指，你這個月的利息累積入下個月的本金，下個月要計算利息的利息。再下一個月，這些本金和利息再次統統都計入本金，計算利息的利息的利息。

複利連續是指，今天的利息明天就開始算利息的利息，這一秒的利息下一秒就要算利息的利息……以至於剛剛生出的利息馬上就生出利息的利息，就生出利息的利息的利息，幾乎沒有時間間隔。

差別在於算不算利息的利息，以及利息要等多久生出利息的利息。

中文表述拗口又晦澀，你還是看數學公式吧。

有另一個概念叫 名義利率（nominal interest rate），此處的名義利率對應 實際利率（effective interest rate），而跟通脹率對應的名義利率不同。

實際利率是什麼呢？

情景一：年初存入銀行100塊錢，銀行承諾利率12%。於是年末能拿到112塊錢。

這裡的12塊錢就是利息，12%就是實際利率。

情景二：年初存入銀行100塊錢，銀行承諾利率12%。聰明的人發現一個漏洞（假設半年就是12%/2），銀行承諾12%，也就是半年利率可記為6%。然後當存入100塊半年後，取出來106塊錢，接著轉身去另一個櫃員處存入106塊半年，期末將得106*（1+6%）=112.36白白多得3毛6。這裡的實際利率就是12.36%。

情景三：年初存入銀行100塊錢，銀行承諾利率12%。更加聰明的人把100塊錢存取了三次，就是100*（1+4%）^3=112.4864比聰明的人還多得1毛2分6厘4。此時的實際利率是12.4864%。

這裡銀行承諾的就是名義利率，而實際所得的是實際利率。（當然現實生活中的商業銀行會把半年利率調低，而不是單純的用一年的利率除以期數。）

而後面兩種情景的計息方式為 複利。俗稱利滾利。不要以為利滾利就能滾上天，有一個條件限制住了它，叫名義利率。隨著存取次數的不斷增加，每一個期數內的利率也在逐漸減小。現在把計息次數擴大到∞，實際利率就變成了（1+12%/∞）^∞，而這玩意計算出來就是e^12%。

這就是題主所謂的連續複利，而我們通常管 e^σ (σ為名義利率，以上σ均為12%，計息期為1年)叫 利息力（force of interest ）。

意義是什麼呢？就是在名義利率給定的情況下，儘可能早的獲得利息用於再生息。

票面利率一定的情況下，利滾利利息的上限。

從理論上講，整個社會的資金是在不停地運動，每刻都在通過生產和流通在增值，然而在實際使用中對具體的項目都採用間斷複利法。不過這種連續複利的概念對投資決策，制定數學模型很重要，而且在數學分析中，連續是一個必要的前提。比如用連續複利計算的利息要高於普通複利，故資金成本偏高，可以提醒決策者融資的時候注意下。

這其實是個數學概念，哈哈。按照e的定義，（1+1/x)的x次方在n趨於無窮時，收斂於e (其實收斂得很快）。於是（1+r/n)的n次方，收斂於e的r次方；t年就是e的rt次方。（推導嘛，你可以把n換個元，比如令n=mr, 這樣括弧內就是1+1/m, 指數就是mrt。r,t看作常數，帶m的部分收斂於e。

為啥要引入連續複利的概念，我覺得是因為計算方便。比如計算下2年7個月由1000塊錢變成1750塊錢年收益率多少，最簡單方法就是用連續複利公式吧（這裡不寫過程了）。而且剛才也說了收斂得很快，剛才我寫的 m=n/r，一般m都比較大，所以按連續複利這種理想狀況算出來的結果和實際不會差的很大。

可以這樣理解：在每年付利息次數無限多的時候所能得到的本金加利息的最大值

單利其實嚴格來說在現實生活中是不存在的，只是一個簡單便利計算的方法。

就比如你拿100塊存進銀行，收到的利息還是會存進去繼續利滾利。利滾利是實際情況。

算真正收到的錢需要算有效年利率，EAR。

銀行報價，我們平常看到的銀行年利率是名義利率，不考慮複利的情況。

連續複利是複利頻率無窮大的情況，其實也是一個理想中的狀態。

一般來說，如果銀行年利率是10%，季度利率就是10%/4=2.5%。

連續複利是一個理論概念，其具體是指假設付息期間無限小，同時將上一期利息計入下一期計算利息的本金中，就可以得出相應的連續複利現值係數和連續複利終值係數。在假定利息是連續支付，利息支付的頻率比一秒還頻繁的情況下，可以得出以下推導：

年複利和連續複利是兩個概念：

複利就是複合利息，它是指每年的收益還可以產生收益，具體是將整個借貸期限分割為若干段，前一段按本金計算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作為下一段計算利息的本金基數，直到每一段的利息都計算出來，加總之後，就得出整個借貸期內的利息，簡單來說就是俗稱的利滾利。

這個分段可以是天、月、季度、年，深圳可以更小或者更大，當小到極致才能算連續，然而這種情況並不存在，現實中也無法計量計算，故日常生活中都選擇常用間斷時間月/年來計，這種情況下的複利，都算作間斷複利。

一個固定總時間的名義利率，如果分段越小，其實際利率較名義利率比值越高。

就是複利計算中，間隔變成無窮小，分段變成無窮大的一個趨勢。高數中的求極限。

我比較不理解的是這個連續複利到底有什麼用…就是為了讓銀行多算一些利息嗎…有沒有大神能通俗易懂地解釋一下…

世界上沒有這種事物，根據一年增長100%，得出半年就增長50%，所以兩個半年後就又增長了（1+50%）（1+50%）-1=125%..

銀行是根據多長時間計算一次利息規定相應的年利率。一年內的計息次數m 和相應的年利率 r 一起確定。計息時間長短改變，相應的年利率 r 一定改變。銀行沒有不管計息期長短，只規定統一的年利率 r 的演算法，所以，構成連續複利的基礎，所謂複利分期計算式子A=A。(1+r/m)^(mt) 就是不對的。可以查證，各種銀行業務中不會用到A=A。(1+r/m)^(mt).

在增長率 r 不動，m可任意變動的前提下，世界上任何事物都不會用到A=A。(1+r/m)^(mt).，可有些書中把這個式子用到分析樹木生長、細胞繁殖、化學反應中去了。

對沒有實際意義的式子A=A。(1+r/m)^(mt)取極限，得出的所謂連續複利自然也就沒有意義。

按年利率r 計算本利和的公式A。（1+r ）^ t 與A。e^ (tln(1+r ))是一回事。按年利率r 計算本利和的公式A。（1+r ）^ t 無論如何也變不成A。e^ (r t )=A。[1+(e^ r -1)] ^ t .

無理數 e 有特別重要的用處，但這不表明通常書中講的這種所謂的連續複利推導不是錯誤的。

其他的暫且不管，首先你要有本金，其次你要找到能長期穩定給你帶來的回報率。現在連國家GDP都從8%下調到7.5% 風險和收益成正比。一般來說，7%的收益率算是正常的了。影響未來財富的關鍵因素是投資報酬率的高低與時間的長短，而不是資金的多寡。

通俗的說，就是利滾利

如果r是年化利息率，那麼每個月的利率就是r/12，月結的複利計算方式就是本金＊（1+r/12）^12。日結就是本金*（1+r/365）^365。如果是連續複利的話p=本金＊（1+r/n）^n n趨近無窮大。如此理解可否？